“圖形平移”以靜制動(dòng)解決參數(shù)分類討論問題

武志容

摘要：帶參數(shù)的函數(shù)求值問題是近幾年的高考?？碱}，通常需要根據(jù)參數(shù)的情況進(jìn)行分類討論，那參數(shù)怎么取值，怎么分類通常困擾了廣大的師生，有時(shí)候遇到多個(gè)參數(shù)更是不知該依照哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行分類討論好，特別是對(duì)于思維不是很靈活的學(xué)困生而言，往往會(huì)思路一片混亂導(dǎo)致無從下手.“圖形平移”就是通過數(shù)形結(jié)合的方式，利用圖形的平移，給參數(shù)解決鋪一條主線，沿著這條主線動(dòng)態(tài)的刻畫參數(shù)變化的過程，從而找到不同狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的情況，其直觀感知的思維特點(diǎn)非常適合學(xué)困生掌握.

關(guān)鍵詞：圖形平移以靜制動(dòng)參數(shù)學(xué)困生

“圖形平移”在課本人教版必修5《線性規(guī)劃》中有應(yīng)用：

引例已知實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+2≥0，

x+y-4≥0，

2x-y-5≤0，則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為.

圖1解析先畫出不等式組所確定的區(qū)域范圍即△ABC（圖1），再將直線y=-x2的圖像向上平行移動(dòng)穿過△ABC，顯然最大值的位置為過點(diǎn)C的直線.

此解法主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，這里的目標(biāo)函數(shù)值z(mì)是一個(gè)參數(shù)，當(dāng)這個(gè)參數(shù)取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)不同的直線方程.將這個(gè)參數(shù)通過圖像平移的方式找到它的最值狀態(tài)，從而求得它相對(duì)應(yīng)的最大值.在平移的過程中特別要注意的是臨界狀態(tài)或特殊情形，這里有3個(gè)臨界點(diǎn)A，B，C，這3點(diǎn)處的靜態(tài)囊括了整個(gè)移動(dòng)過程，只要抓住這3點(diǎn)位置就可以達(dá)到以靜制動(dòng)的效果.用此方法也可以解決其他的參數(shù)分類討論問題，下面列舉幾例.1集合含參數(shù)問題

例1已知集合A={x∈R2≤x≤6}，B={x∈R2a≤x≤a+3}，若B≠且BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析這里有一個(gè)參數(shù)a，有兩個(gè)臨界位置2和6，a取不同的值集合B表示不同的區(qū)間范圍.哪個(gè)區(qū)間才滿足BA呢？事先不好確定.我們先畫出集合A的固定位置，再將集合B從左往右的位置平行移動(dòng)，從中發(fā)現(xiàn)符合條件的情況：

2二次函數(shù)含參數(shù)問題

例3（2007年廣東高考21）已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析標(biāo)準(zhǔn)答案的解法是根據(jù)參數(shù)a的值和零點(diǎn)個(gè)數(shù)來分類，其中a的值有a=0，a>0，a<0三種情形，零點(diǎn)有1個(gè)零點(diǎn)和2個(gè)零點(diǎn)兩種情形，其中1個(gè)零點(diǎn)可能是一次函數(shù)也可能是二次函數(shù)情形，由于分類情況較多，很難在短時(shí)間內(nèi)分清各種情形的條件，所以學(xué)生做起來普遍感覺比較凌亂，也容易遺漏掉其中的某種情況.我們通過圖形平移來找滿足的條件，思路要順暢很多.

解先考慮特殊情形：

a=0時(shí)，x=32[-1，1]；Δ=4+8a3+a=8a2+24a+4=0時(shí)，得a=-3±72.

其中a=-3-72時(shí)，x=-12a∈[-1，1].令f（x）=2ax2+2x-3-a=0，解得x1=-1-Δ2a，x2=-1+Δ2a.

平移二次函數(shù)圖像：

1）a>0時(shí)，開口向上

解析上例函數(shù)盡管不是嚴(yán)格意義上的二次函數(shù)，是一個(gè)復(fù)合型函數(shù)，但通過求導(dǎo)變形后最后還是變成二次函數(shù).這也是近幾年高考題及高考模擬題?？碱愋?利用圖像從左往右平移分別得到不同狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的情況，思路非常清晰、簡(jiǎn)潔、完整、嚴(yán)密，不會(huì)遺漏掉某一種情形.這種解法非常適合學(xué)困生的思維特點(diǎn)，方便學(xué)困生掌握應(yīng)用.下列幾例最值或取值范圍問題可用同樣方法解決：

變式1（2013年珠海高三學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)20）已知函數(shù)f（x）=lnx+a-xx，其中a為常數(shù)且a>0.若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為2，求a的值.

變式2（2013年梅州高三總復(fù)習(xí)質(zhì)檢20）已知函數(shù)f（x）=a-12x2+lnxa∈R.若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=2ax的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.3圓錐曲線含參數(shù)問題

例5（2013年惠州高三第三次調(diào)研測(cè)試20）如圖7，橢圓M：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.

（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線l：y=x+mm∈R與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T，求PQST的最大值及取得最大值時(shí)m的值.圖7

解（1）由題意，ca=32且2a×2b=8，所以a=2，b=1，橢圓M的方程為x24+y21=1.

（2）聯(lián)立方程y=x+m，

x24+y2=1，54x2+2mx+m2-1=0，

所以PQ=2-85m2-4×4m2-45=4255-m2.

如圖7，在原來矩形ABCD區(qū)域畫出直線y=x+m平行移動(dòng)的過程，

先考慮臨界狀態(tài)情形：

當(dāng)直線l與橢圓M相切時(shí)即Δ=2m2-4×54×m2-1=0，所以m=±5.

當(dāng)直線l過點(diǎn)A（-2，-1）時(shí)，m=1；當(dāng)直線l過點(diǎn)C（2，1）時(shí)，m=-1；

以臨界狀態(tài)為基礎(chǔ)，再考慮直線在平移過程中的其他狀態(tài)，按從左往右的順序分別對(duì)應(yīng)：

a）當(dāng)1

b）當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，點(diǎn)S1-m，1，點(diǎn)T-1-m，-1，ST=22，PQST=255-m2，所以當(dāng)m=0時(shí)，PQST取最大值255；

c）當(dāng)-5

綜上可知：當(dāng)m=±53或0時(shí)，PQST取最大值255.

小結(jié)含參數(shù)的分類討論問題關(guān)鍵是如何分類，按照怎樣的標(biāo)準(zhǔn)或依據(jù)來分類通常是困擾廣大學(xué)子的疑團(tuán)所在，圖形平移直觀形象地給出了一個(gè)分類的操作依據(jù)，將相應(yīng)圖形按照一定的順序平移，從而找到相對(duì)應(yīng)的不同狀態(tài)，特別是臨界狀態(tài)，往往就劃分了一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)，也往往能找到它的最值狀態(tài)及取值范圍，按此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論通常比較完整、全面，沒有遺漏，有一定的順序?qū)W生理解起來比較簡(jiǎn)單，尤其是對(duì)學(xué)困生.新課標(biāo)更側(cè)重“通式通法”的應(yīng)用，圖形平移就是將動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)，以靜制動(dòng)，用常規(guī)思路和解法來解決不常規(guī)的問題，以期達(dá)到出其不意的效果.