培養(yǎng)直覺思維的教學(xué)設(shè)計研究

張昆++張乃達(dá)

【摘要】利用數(shù)學(xué)教育資源，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，邏輯思維只能起檢驗與確證作用，創(chuàng)新能力培養(yǎng)目標(biāo)的生命所系與關(guān)鍵所在是培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力.稍微困難一點的數(shù)學(xué)問題的解決，邏輯思維對探究活動過程沒有多大幫助，直覺思維卻起著支點性的作用.因為，支持邏輯思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的取得總是在探究問題所提供的外在信息的過程中，獲得關(guān)鍵性暗示，進而檢驗暗示，如果獲得成功，說明暗示是正確的，否則，重新生成暗示，由此構(gòu)成暗示-檢驗-再暗示-再檢驗的過程，而這種暗示的取得，正是直覺思維的用武之地，也是學(xué)生創(chuàng)造力的源泉所在.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)直覺思維；數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計；數(shù)學(xué)課程資源

《現(xiàn)代漢語詞典》第五版，在第1748頁，將“直覺”界定為“未經(jīng)充分邏輯推理的感性認(rèn)識”.接著，對此界定加以解釋，“直覺是以已經(jīng)獲得的知識和累積的經(jīng)驗為依據(jù)的，而不是像唯心主義者所說的那樣，是不依靠實踐、不依靠意識的邏輯活動的一種天賦認(rèn)識能力”.同時，在第1294頁，將“思維”界定為“在表象、概念的基礎(chǔ)上進行分析、綜合、判斷、推理等認(rèn)識活動的過程”.并對此進一步解釋，“思維是人類特有的一種精神活動，是從社會實踐中產(chǎn)生的”.由此，我們可以將“直覺思維”界定為，不受固定的邏輯規(guī)則的約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)認(rèn)識活動過程的一種思維形式.

1直覺思維的特點與教學(xué)價值

為了研究通過數(shù)學(xué)教學(xué)的手段，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，直覺思維具有模糊性、整體性、突發(fā)性、創(chuàng)造性與超前性等特點[1].直覺思維的這些特點決定了它的教學(xué)價值，威廉·卡爾文說，“智力就是你不知怎么辦時動用的東西，但是，富有智慧則有更多的涵義，這是一種創(chuàng)造性能力，憑借這種能力，會迅捷地想出新主意，各種答案在你的大腦中接踵而至”[2].這種新主意（表現(xiàn)為暗示的出現(xiàn)）不可能是經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證的，它主要是由直覺思維所提供的，有待于經(jīng)由實踐的或邏輯的檢驗，因此，依據(jù)這種觀點，智力或者智慧主要是從直覺思維中生成的，正如愛因斯坦所言，“科學(xué)發(fā)現(xiàn)并沒有邏輯的道路，只有通過那種以對經(jīng)驗的共鳴的理解為依據(jù)的直覺”[3].其實，科學(xué)與數(shù)學(xué)活動中的創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)也都是符合這條原則的.

直覺思維恰恰可以通過對問題信息的整體把握，猜測出所需要的合理環(huán)節(jié)及其聯(lián)接中介的暗示來，這正是聯(lián)想能力與想象力發(fā)揮作用的地方，因此，通過它可以培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力與想象力，也是人的整體精神活動的創(chuàng)造性源泉所在.實際上，創(chuàng)造過程是有意識地與無意識地交織進行著活動，它更多地是從材料中獲得暗示，形成對其組成的結(jié)構(gòu)的猜想，于是，形式邏輯一點也不能參與進來，真理不是通過有目的的推理，而是憑著直覺思維的形式感覺到的，直覺使用自己現(xiàn)成的判斷，不帶有任何論證的形式進入了具有創(chuàng)造性的意識范圍，當(dāng)然，最后的檢驗是邏輯思維活動的用武之地.那么，如何利用數(shù)學(xué)解題教學(xué)的資源培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力呢？

2基于數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的典型課例

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一項結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性的整體工程，構(gòu)成它的要素所組成的技術(shù)結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)集中地體現(xiàn)于互相關(guān)聯(lián)的三個側(cè)面：理解要傳授的具體數(shù)學(xué)知識所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的組成序列（簡稱“教材分析”）；把握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識（針對“教材分析”獲得的知識環(huán)節(jié)及其聯(lián)接中介的結(jié)果）的心理活動環(huán)節(jié)及其過渡性中介的組成序列（簡稱“學(xué)情分析”）；通過創(chuàng)造性工作找到貫通這兩方面環(huán)節(jié)序列之間的切合點（可以溝通的元素）、實現(xiàn)兩者之間的關(guān)聯(lián)（簡稱“關(guān)聯(lián)分析”）.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計相對穩(wěn)定的技術(shù)結(jié)構(gòu)組成環(huán)節(jié)，可以簡化地表達(dá)成如框架圖1所示[4].我們通過一個數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的例子，說明培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的技術(shù)結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的手段.

2.1教材分析

教材分析就是將知識打開.王策三先生說，“知識好比一個百寶箱，里面藏了大量的珍寶；不僅內(nèi)含有關(guān)于客觀事物的特性與規(guī)律，而且內(nèi)含有人類主觀能力、思想、情感、價值觀等精神力量、品質(zhì)與態(tài)度.因為知識是人類歷史實踐、認(rèn)識活動的結(jié)果凝結(jié)在里面的，因而知識更內(nèi)含有知識原始獲得的實踐認(rèn)識活動方式和過程”[5].對于解題教學(xué)而言，打開知識就是要求教師盡可能地窮盡問題的解法，據(jù)此，才有可能充分認(rèn)識數(shù)學(xué)知識當(dāng)中隱藏的教學(xué)價值.

分析一將②代入①，可知Sn=∑nk=1loga1+13k-2，于是，要比較③、④兩個數(shù)的大小，一般情況我們想到可否把③式轉(zhuǎn)化為已知運算的結(jié)果，得到一個具體的數(shù)，然后，將這個數(shù)與④進行大小比較.在學(xué)生探究問題解決的方法庫中，應(yīng)對這種情況，已經(jīng)具有了觀念形態(tài)的“裂項相消”方法及其應(yīng)用經(jīng)驗，我們可以據(jù)此啟發(fā)學(xué)生運用“裂項相消”法加以試探.由于loga1+1bn=loga3n-13n-2=loga3n-1-loga3n-2⑤，于是，當(dāng)a>1時，an=∑nk=1loga1+13k-2單調(diào)遞減，從而可得loga3n-1-loga3n-2>loga3n-loga3n-1>loga3n+1-loga3n⑥，由⑥，知3[loga3n-1-loga3n-2]>[loga3n-1-loga3n-2]+[loga3n-loga3n-1]+[loga3n+1-loga3n]⑦=loga3n+1-loga3n-2=logabn+1-logabn，于是3∑nk=1loga1+1bn>[logab2-logab1]+[logab3-logab2]+…+[logabn-logabn-1]+[logabn+1-logabn]=logabn+1；同理，當(dāng)0

分析二要比較③、④兩個數(shù)的大小，③式是一個數(shù)列的前n項和，④式只是一個具體的數(shù)，前者復(fù)雜，后者簡單，但是，如果考慮到，“<”、“=”、“>”等所連接的兩邊就內(nèi)含了形式上的“對稱美”的要素，從這種“對稱美”的審美意向出發(fā)，兩邊應(yīng)該具有對等的形式，不失一般性，我們以“小于”為例，若ak1時，3Sn>logabn+1；同理，當(dāng)0

分析三由于an=loga1+1bn=loga1+13n-2⑧，設(shè)an′=loga1+13n-1⑨，an″=loga1+13n⑩，且{an′}與{an″}的前n項和分別為Sn′與Sn″.⑴當(dāng)a>1時，有an>an′>an″，于是Sn>Sn′>Sn″，知3Sn>Sn+Sn′+Sn″=∑nk=1ak+ak′+ak″=∑nk=1loga3k-13k-2+loga3k3k-1+loga3k+13k=∑nk=1loga3k+13k-2=loga41·74·107·…·3n+13n-2=loga3n+1=logabn+1，知3Sn>logabn+1；⑵當(dāng)0

分析四數(shù)學(xué)歸納法，高考閱卷參考答案提供的方法.數(shù)學(xué)歸納法除了固定的程序與冗長的計算之外，創(chuàng)造性是非常地的，這里略而不記.

2.2學(xué)情分析

學(xué)情分析除了理解學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的一般心理活動過程以外，最重要的是針對掌握具體數(shù)學(xué)知識所需要的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，設(shè)計具體的教學(xué)目標(biāo)，從而選擇學(xué)生掌握知識心理活動的教學(xué)路向.在本例的四種典型性解法中，分析一解決問題的“裂項相消法”在學(xué)生的方法庫中已經(jīng)具備了，并且經(jīng)由多次運用，因此，只是再次強化其應(yīng)用而已，它內(nèi)含的教學(xué)價值相對于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實而言，已經(jīng)不太高了.

分析二與分析三其實都是所謂的“分項放縮法”[6]的應(yīng)用，在筆者解題教學(xué)的整體性安排中，曾經(jīng)使用了更具針對性的知識促進學(xué)生萌生了這種方法，因此，對于學(xué)生而言，在他們的思維結(jié)構(gòu)中，分析二與分析三的處境不同.與分析一一樣，分析二在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實中已經(jīng)具有了發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用的經(jīng)驗了，從而，它的教學(xué)價值也比不上也就不是十分重要了.

因此，對于筆者的教學(xué)設(shè)計而言，就不應(yīng)該選擇分析二與分析三的方法，而應(yīng)該選擇分析三的這種解法在課堂上實施教學(xué)（其他教師可以依據(jù)自己的高考解題教學(xué)的整體安排作出具體選擇，這并不是僵死不變的，而是依據(jù)具體學(xué)生、具體教學(xué)內(nèi)容配置而定），分析三從形式上看是一種全新的解題方法，學(xué)生到目前為止，還沒有現(xiàn)成的駕馭它的數(shù)學(xué)觀念，因此，這是啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新體驗的優(yōu)質(zhì)教育資源.

從分析三的整個解答過程來看，這種從⑧萌生成⑨、⑩中的暗示或觀念的產(chǎn)生，其效果是解題者直抵問題信息的一種結(jié)構(gòu)本質(zhì)，但是，得到它其實是沒有什么道理的，不是分析思維所能控制的，故而，這正是直覺思維的典型體現(xiàn)，因此，就數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計而言，這正是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的課程資源，而且這種資源是極其匱乏的，因此，它蘊藏著巨大的培養(yǎng)直覺思維的教學(xué)價值.因為，只有內(nèi)含直覺思維教育價值的資源才能培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，這是不言自明的.那么，如何借助于這道習(xí)題的如此思路通過教學(xué)設(shè)計的關(guān)聯(lián)分析實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維的教學(xué)目的呢？

2.3關(guān)聯(lián)分析

由上述的學(xué)情分析，知如何啟發(fā)學(xué)生從表達(dá)式⑧設(shè)出表達(dá)式⑨、⑩，構(gòu)成了這道例題關(guān)聯(lián)分析的重中之重，否則教師就極有可能將解題活動的現(xiàn)成的發(fā)現(xiàn)結(jié)果奉送于學(xué)生，造成教學(xué)資源的巨大損失.然而，由于直覺思維的模糊性與突發(fā)性的特點，這種暗示與觀念的得來，本身就說不清楚.因此，設(shè)計出相對理想的教學(xué)情境，需要滿足兩個方面的主要條件：其一，這種解題方法確實是出自于教師自己的心靈活動，即這種想法是教師自己親自構(gòu)想出來的，它最為重要，教師如果沒有那種直覺思維的體驗，那么就很難在課堂上建立促進學(xué)生進行直覺思維活動的場域，使學(xué)生產(chǎn)生如此相似的體驗[7]，這不言自明；其二，精心地把握學(xué)生掌握知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介的構(gòu)建過程，在學(xué)生心理環(huán)節(jié)的啟、承、轉(zhuǎn)、合的過程中，最為關(guān)鍵的又是“啟”，思維動力的起點與生成直覺的內(nèi)驅(qū)力的實現(xiàn)，是決定可否達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的關(guān)鍵因素.

關(guān)于這個例題，下面的教學(xué)設(shè)計“關(guān)聯(lián)分析”活動過程是2006年，筆者在常州國際學(xué)校的一節(jié)江蘇省省級高三復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教學(xué)展示課的片段實錄.下面括號里的注解，是現(xiàn)場聽課的著名特級教師（1990年）張乃達(dá)先生提供的，本文寫作時，筆者在部分地方稍作技術(shù)性處理（其中的省略號是表示學(xué)生思維活動的中斷之處）：

師：由問題的結(jié)論，我們發(fā)現(xiàn)，③式與④式肯定是存在一種不等的關(guān)系.那么，與其對立的命題是，③式與④式可以變得相等嗎（這種生成問題情境的方式，乃是模擬學(xué)生的原始想法，其實是一種直覺信念，這種信念對啟動解題的思維活動往往特別重要，這是啟動“問題的一般性解決”活動）？

生1：不可能.不等的數(shù)量，怎么可能變成相等呢（對教師所提出的問題，大多數(shù)學(xué)生可能都出現(xiàn)了如此想法，從而否定了上面教師提供的直覺信念.但是與生1一樣，這種直覺的否定也過于輕易了，這種暗示與觀念沒有得到檢驗，是學(xué)生思維活動的一種較大損失，教學(xué)中鼓勵學(xué)生聽從自己的心靈呼喚，對一些暗示或觀念進行估計與檢驗，往往具有很重要的價值，這應(yīng)該是真正的培養(yǎng)直覺思維的萌芽）？

生2：可以.我們將③式的數(shù)量值放大或縮小就應(yīng)該能夠得到④式，從理論上說是能夠達(dá)到這種目的的（學(xué)生對教師的直覺的暗示或觀念的出現(xiàn)與生成的一種評估，生2選擇了這種暗示，它是轉(zhuǎn)入檢驗行動的動力與前提.獲得從“問題的一般性解決”轉(zhuǎn)化為“問題的功能性解決”的一種途徑）.

師：我同意生2的想法，“不等”與“相等”這兩者之間是相對的，為了獲得不等關(guān)系的結(jié)論，我們可以通過相等的途徑來達(dá)到（這是一種辯證思維，發(fā)展它對培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維的成果，從而轉(zhuǎn)化為檢驗的行動，具有很好的價值，生2的想法想法是對教師的直覺信念的堅持與支持）.

師：那么，如何放縮才能將③式轉(zhuǎn)化為④式呢（轉(zhuǎn)入對暗示的檢驗途徑程序的構(gòu)想，啟動構(gòu)造檢驗的現(xiàn)實方法，從而促進學(xué)生萌生從“問題的功能性解決”轉(zhuǎn)化為“問題的具體解決”的指令）？

生3：我們許多同學(xué)都想方設(shè)法對③式中的Sn進行放縮，但不能轉(zhuǎn)化成④式，……因為，③式太復(fù)雜而④式太簡單（在“問題的功能性解決”中，邏輯活動出現(xiàn)了中斷，此時，正是需要直覺思維的幫助，也正是產(chǎn)生直覺思維的地方，否則，“問題的功能性解決”就很難轉(zhuǎn)化為“問題的具體解決”方式，最終問題不可能解決.生3通過比較表達(dá)式③與表達(dá)式④，生成了新的暗示，這種暗示顯得有點不妙，有可能放棄地將③式轉(zhuǎn)化為④式的具體方法，退回到“問題的功能性解決”環(huán)節(jié).這對教師的教學(xué)設(shè)計的技藝或技術(shù)手段提出了極高的要求，教師的教學(xué)能夠取得轉(zhuǎn)機嗎？），……

師：如果將③式寫成∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2⑧的形式（板書）后，將⑧式放縮，產(chǎn)生④式是否會更容易些（教師重新表征條件信息，突出相同的三項的更為原始的表達(dá)，主要目的是促進學(xué)生形成直覺思維，即提醒學(xué)生萌生“分項放縮”的暗示，這種暗示的取得邏輯思維活動是幫不上忙的.看似教師的靈機一動的重新表征，正是教師的匠心獨運，它構(gòu)成了促進學(xué)生生成新的暗示的比較有效的教學(xué)手段）？

生4：從⑧式中獲得啟示：如果對⑧式中的∑nk=1loga1+13k-2直接放縮，那么，這三個同樣的∑nk=1loga1+13k-2就不能產(chǎn)生互補作用，發(fā)揮不了將問題條件搭配從而形成結(jié)構(gòu)性的整體功能的發(fā)揮，因此，我們考慮將三個∑nk=1loga1+13k-2進行各自不同的放縮，以期能利用問題結(jié)構(gòu)的整體性，形成一種相互協(xié)調(diào)與相互補充的結(jié)果，可能有利于問題的解決，但是，……（學(xué)生如此想法的出現(xiàn)，正是典型的直覺思維活動過程.事實上，如果需要進一步加以分析的話，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生是從審美意向的角度來考察問題的，從和諧美的視角產(chǎn)生出如此暗示的，數(shù)學(xué)中審美意向是直覺思維憑借的重要方法之一，即“以美啟真”，通過這種暗示，可以立即過渡到“問題的具體解決”的環(huán)節(jié)，為檢驗這種暗示的具體行動提供了動力，也奠定了基礎(chǔ)）

生5：我想，將⑧式中第一個∑nk=1loga1+13k-2不放縮，第二個∑nk=1loga1+13k-2放縮成∑nk=1loga1+13k-1，第三個∑nk=1loga1+13k-2放縮成∑nk=1loga1+13k，如此進行試探（果然，生5找到了一種非常具體的方法，就是“分項放縮”這一暗示的心理來源）.下面，對a分兩種情形加以分類討論：

當(dāng)a>1時，由函數(shù)y=logax在所在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知3∑nk=1loga1+13k-2>∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-1+∑nk=1loga1+13k，這個式子的右端化簡的結(jié)果就是④式，此時，3Sn>logabn+1；當(dāng)0

這個例子中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是從表達(dá)式⑧設(shè)出表達(dá)式⑨、⑩，邏輯思維活動在這里已經(jīng)中斷，而且不容易獲得暗示.在這種情況下，如何啟動學(xué)生直覺思維，對教師的教學(xué)能力提出了極高的要求，將教師逼入了兩難的境地：教學(xué)過程絕對不能將這種教師自己已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的思路，即直接設(shè)出表達(dá)式⑨、⑩奉送于學(xué)生，為達(dá)到啟發(fā)學(xué)生發(fā)生這種暗示的目的，教師需要極高的教學(xué)技藝與能力.如此教學(xué)設(shè)計是提供了學(xué)生的一種獲得暗示的方法，其實這也是培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的一種方法，筆者直覺提醒自己這種教學(xué)活動還可能不是最佳的方法，但是，到目前為止，沒有找到一種更為有效的方法進行這道例題的教學(xué)設(shè)計.

3簡要結(jié)語

在高中教學(xué)階段，利用數(shù)學(xué)課程資源，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，邏輯思維只能起檢驗與確證作用，創(chuàng)新能力培養(yǎng)目標(biāo)的生命所系與關(guān)鍵所在是培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力.稍微困難一點的數(shù)學(xué)問題的解決，它邏輯思維表達(dá)，對探究活動過程沒有多大幫助，而直覺思維卻起著支點性的作用.因為，支持邏輯思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的取得總是在探究問題所提供的外在信息的過程中，獲得關(guān)鍵性暗示，進而檢驗暗示，如果獲得成功，說明暗示是正確的，否則，重新生成暗示，由此構(gòu)成暗示—檢驗—再暗示—再檢驗的過程，而這種暗示的取得，正是直覺思維的用武之地，也是學(xué)生創(chuàng)造力的源泉所在，也是創(chuàng)新的教學(xué)目標(biāo)的具體化化與現(xiàn)實化的體現(xiàn).對此，我們數(shù)學(xué)教育工作者要思之再思，慎之又慎！

參考文獻

[1]張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1990：75-76

[2][美]威廉·卡爾文.大腦如何思維：智力演化的今昔[M].楊雄里，梁培基譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1996：1

[3][美]愛因斯坦.愛因斯坦文集（第一卷）[M].許良英，譯.北京：商務(wù)印書館，1976：156

[4]張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實現(xiàn)途徑[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（1）：35

[5]王策三.認(rèn)真對待“輕視知識”的教育思潮——再評由“應(yīng)試教育”想素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌提法的討論[J].北京大學(xué)教育評論，2004（7）；2（3）：16

[6]張昆.數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新實踐研究——基于“美學(xué)”的視點[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（5）：43

[7]張昆.函數(shù)概念教學(xué)的哲學(xué)思考——基于一種可操作的設(shè)計程序的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2016（3）：10