一道高考三角形試題的多解與多變

劉剛++趙毅

解三角形試題是每年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查正（余）弦定理、和差角、倍角公式等知識(shí)，以及三角恒等變換中的數(shù)學(xué)思想方法，檢測(cè)學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯推理能力，通常屬于基礎(chǔ)題.在解三角形試題中有一類四邊三角形（有三條邊是三角形的邊，第四條邊由三角形中的一條邊上的點(diǎn)與相對(duì)的頂點(diǎn)連線得到）問(wèn)題出現(xiàn)的頻率較高，下面以一道2015年這樣的高考試題為例，進(jìn)行解法探究與變式梳理，供大家參考.

1試題

例1（2015年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理17）△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C；

（Ⅱ）若AD=1，DC=22，求BD和AC的長(zhǎng).2試題特點(diǎn)

本題在三角形三邊的基礎(chǔ)上多了一條角平分線，屬于典型的四邊三角形問(wèn)題.本題考查了正（余）弦定理、角平分線性質(zhì)定理、等底同高三角形面積相等等知識(shí).第（Ⅰ）問(wèn)直接用正弦定理、角平分線性質(zhì)定理即可得到答案；第（Ⅱ）問(wèn)的難點(diǎn)是怎樣求出AC的長(zhǎng)，通過(guò)角平分線AD得到了三個(gè)三角形：△ABC，△ABD及△ACD，對(duì)于學(xué)習(xí)較死板的學(xué)生不知道在哪一個(gè)三角形中用定理、套公式，很容易盲目代數(shù)運(yùn)算，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效果適得其反.這樣的試題很能考查學(xué)生的識(shí)圖能力以及靈活的解題思路.

3解法分析

（Ⅰ）略.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ACAB=12，設(shè)AC=m，則AB=2m.由△ABD面積是△ADC面積的2倍，得BD=2CD.又DC=22，所以BD=2.接下來(lái)求線段AC的長(zhǎng).具體解法如下：

思路一代數(shù)法.

解析1如圖1，在△ACD中，cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=324-22m2.圖1

在△ABD中，cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=324-2m2.

因?yàn)椤螦DB+∠ADC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0，即（324-22m2）+（324-2m2）=0，解得m=1，由此可求AC=1.

解析2如圖1，在△ACD中，cos∠CAD=AD2+AC2-CD22AD·AC=2m2+14m.

在△ABD中，cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD·AB=4m2-14m.

因?yàn)椤螧AD=∠CAD，所以cos∠BAD=cos∠CAD，即2m2+14m=4m2-14m，解得m=1，由此可求AC=1.

點(diǎn)評(píng)解析1利用∠ADB與∠ADC互補(bǔ)，然后利用余弦定理建立等式關(guān)系；解析2利用∠BAD與∠CAD相等，然后利用余弦定理建立等式關(guān)系.兩種方法共同特點(diǎn)都是借助△ABD與△ACD角之間的關(guān)系建立方程，體現(xiàn)了方程的解題思想.

思路二向量法.

解析3因?yàn)锳C=AD+DC，所以AC2=AD2+DC2+2AD·DC，

即m2=32+2cos∠ADB.①

因?yàn)锳B=AD+DB，所以AB2=AD2+DB2+2AD·DB，

即2m2=32+2cos∠ADC.②

因?yàn)閏os∠ADB+cos∠ADC=0，所以①+②，得3m2=3，解得m=1，由此可求AC=1.

點(diǎn)評(píng)向量既具有大小又有方向，所以向量是解決有關(guān)邊長(zhǎng)與角問(wèn)題的重要工具，本題在兩個(gè)三角形中利用向量的三角形法則，通過(guò)平方建立長(zhǎng)度關(guān)系，這是常見(jiàn)的把向量轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度的一種處理方式.

思路三幾何法.圖2

解析4如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)DE=x.

在Rt△AED中，有AE2=1-x2；

在Rt△ABE中，有AE2=4m2-（2+x）2；

在Rt△ACE中，有AE2=m2-（22-x）2.

由此得到4m2-（2+x）2=m2-（22-x）2，1-x2=m2-（22-x）2，分別整理得3m2=32+32x，m2=32-2x，消掉x得6m2=6，即m=1，由此可求AC=1.圖3

解析5如圖3，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，設(shè)ED=x，由AD平分∠BAC，則DF=ED=x，借助Rt△AED，Rt△BED，Rt△AFD，Rt△DFC根據(jù)勾股定理可得AE=1-x2，BE=2-x2，AF=1-x2，CF=12-x2，由AB=2AC，可得212-x2+1-x2=2-x2，解得x=74，由此可求AC=1.

點(diǎn)評(píng)解析4通過(guò)過(guò)點(diǎn)A作高，借助AE利用勾股定理得到方程組使問(wèn)題得到解決.解析5由角平分線聯(lián)想到構(gòu)造角平分線的基本圖形，雖然有一些計(jì)算量，但深刻認(rèn)識(shí)了圖形的特征，是學(xué)生較容易想到的一種解決方法.圖4

解析6如圖4，延長(zhǎng)AD至E，使得∠ACE=∠ADB，由∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ADB=∠ACD+∠DAC，

得∠DAC=∠DCE.由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠DAC=∠DCE，所以△ABD∽△AEC，△ABD∽△CED，即ABAE=ADAC，ADCD=BDDE，解得AE=2m2，DE=1.由AE-ED=AD，得m=1，即AC=1.

點(diǎn)評(píng)解析6結(jié)合已知角平分線的條件，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，通過(guò)相似建立邊的關(guān)系從而使問(wèn)題得到解決，具有一定技巧性.

解析7由斯特瓦爾特定理（在△ABC中，若D是BC邊上一點(diǎn)，則AB2·CD+AC2·BD-AD2·BC=BD·CD·BC）得：圖522（2m）2+2m2-322×12

=22×322×2，解得m=1，即AC=1.

解析8如圖5，作△ABC的外接圓交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE，EC.由AD平分∠BAC，得BE=CE.

因?yàn)椤螮AC=∠EBC，∠BDE=∠ADC，所以△BDE∽△ADC，即BDAD=DEDC=BEAC，解得DE=1，BE=CE=2.

由托勒密定理有AB·CE+AC·BE=AE·BC，代入得2（2m）+2m=322×2，解得m=1，即AC=1.

點(diǎn)評(píng)解析7，8借助平面幾何中的定理使問(wèn)題得到解決，對(duì)于平時(shí)接觸競(jìng)賽的同學(xué)來(lái)說(shuō)游刃有余，通過(guò)高考體現(xiàn)了對(duì)不同層次的學(xué)生都有不同發(fā)展的新課標(biāo)理念.

本題一共用了三種思路：代數(shù)法，向量法，幾何法，8種解法使問(wèn)題得以解決，這些方法在解題中都是常用的方法.在解題過(guò)程中通常先用幾何法挖掘圖形特點(diǎn)，適當(dāng)添加輔助線，然后再用代數(shù)法進(jìn)行解決，這就是通性通法.教師要注意這方面的引導(dǎo)，這樣才能取得較好的解題效果，才能揭示問(wèn)題的本質(zhì)，從而提升解題的針對(duì)性.

4變式梳理

四邊三角形問(wèn)題在近幾年的高考中頻繁出現(xiàn)，學(xué)生在解題時(shí)不知利用哪一個(gè)三角形，很容易陷入被動(dòng)，下面把近幾年的有關(guān)高考題進(jìn)行梳理，在解法上尋找最簡(jiǎn)捷的方式，總結(jié)解題規(guī)律，從整體上認(rèn)識(shí)和把握，做到有的放矢.

變式一角平分線型.

例2（2015年重慶理13）在△ABC中，∠B=120°，AB=2，∠A的角平分線AD=3，則AC=.圖6

解析如圖6，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，因?yàn)椤螧=120°，所以∠ABE=60°.在Rt△ABE中，AB=2，則AE=62.在Rt△ADE中，sin∠ADE=AEAD=22，即∠ADE=45°.所以∠CAD=∠BAD=15°，即∠C=30°，在Rt△ACE中，AC=6.

點(diǎn)評(píng)遇到角平分問(wèn)題注意利用角平分線性質(zhì)定理或構(gòu)造角平分線的基本圖形，這是常見(jiàn)的處理方式.本題∠B給出，構(gòu)造了與∠B有關(guān)的直角三角形，通過(guò)解直角三角形使問(wèn)題得到解決.

變式二中線型.

例3（2005年湖北理18）在△ABC中，已知AB=463，cosB=66，AC邊上的中線BD=5，求sinA的值.圖7

解析如圖7，延長(zhǎng)BD至E，使BD=DE，連接AE，CE，則四邊形ABCE是平行四邊形.過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，則四邊形APFE是矩形.在Rt△ECF中，cos∠ECF=cosB=66，CE=AB=463，所以EF=453，CF=43，即BP=43.在Rt△BEF中，BE=25，所以BF=103，即CP=23，由此得BC=2.在Rt△ACP中，AC=CP2+AP2=2213.在△ABC中，ACsinB=BCsinA，解得sinA=7014.

點(diǎn)評(píng)中線問(wèn)題通常倍長(zhǎng)構(gòu)造平行四邊形，這是常見(jiàn)的處理方式.本題也可以過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線構(gòu)造三角形的中位線使問(wèn)題得到解決.

變式3∠ADC或∠ADB已知型.圖8

例4（2014年北京理15）在△ABC中，∠B=π3，AB=8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2，cos∠ADC=17.

（Ⅰ）求sin∠BAD；（Ⅱ）求BD，AC的長(zhǎng).

解析如圖8，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt△ABE中，由AB=8，∠B=π3，得AE=43，BE=4.在Rt△ADE中，由cos∠ADC=17得sin∠ADC=437，所以AD=7，DE=1，即BD=3，EC=1.所以在Rt△ACE中，AC=7.在Rt△BDF中，∠B=π3，所以DF=332.在Rt△ADF中，sin∠BAD=3314.

例5（2010年高考全國(guó)課標(biāo)卷理16）在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面積為3-3，則∠BAC=.

解析如圖9，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，因?yàn)椤螦DB=120°，所以∠ADE=60°.在Rt△ADE中，AD=2，所以AE=3，DE=1.由△ADC的面積為3-3，得CD=23-2，所以CE=23-3，BD=3-1，即BE=3.由此得∠BAE=45°，tan∠CAE=CEAE=2-3，即∠CAE=15°，所以∠BAC=60°.圖9圖10

例6（2010年全國(guó)大綱Ⅱ理17）△ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD=33，sinB=513，cos∠ADC=35，求AD.

解析如圖10，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，在Rt△ADE中，由cos∠ADC=35，設(shè)DE=3x，

則AD=5x，AE=4x.在Rt△ABE中，tanB=AEBE=4x33+3x=512，解得x=5，所以AD=25.

點(diǎn)評(píng)由于∠ADC或∠ADB已知，所以可以作高構(gòu)造直角三角形解決；也可以利用∠ADC與∠ADB互補(bǔ)關(guān)系通過(guò)余弦定理建立等式關(guān)系.

變式4其他類型.

例7（2010年陜西文17）在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10，AC=14，CD=6，求AB的長(zhǎng).

解析如圖11，在△ADC中，AD=10，AC=14，CD=6，由余弦定理得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=-12，

所以∠ADC=120°，即∠ADB=60°.

在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB，解得AB=56.

點(diǎn)評(píng)本題△ADC的三邊已知，所以可以用余弦定理求出某一個(gè)角，通過(guò)分析角之間的關(guān)系從而將問(wèn)題解決.圖11圖12

例8（2013年福建理13）如圖12，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，則BD的長(zhǎng)為.

解析因?yàn)锳D⊥AC，所以∠DAC=90°，即sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）

=cos∠BAD=223.在△ABD中，BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD，把AB=32，AD=3代入求得BD=3.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)已知條件△ABD可解，直接用余弦定理得出答案.

例9（2015年安徽理16）在△ABC中，∠A=3π4，AB=6，AC=32，點(diǎn)D在BC邊上，AD=BD，求AD的長(zhǎng).圖13

解析如圖13，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作

CF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由A=3π4，得∠CAF=π4，所以△CAF是等腰直角三角形.因?yàn)锳C=32，所以CF=AF=3，即BF=9.在Rt△BCF中，通過(guò)勾股定理求得BC=310.因?yàn)锳D=BD，DE⊥AB，所以AE=BE=3.由DE⊥AB，CF⊥BF，得DE∥CF，所以BDBC=BEBF，由此求得BD=10，即AD=10.

點(diǎn)評(píng)本題角A為鈍角，因此把角A的補(bǔ)角放在一個(gè)直角三角形內(nèi)便于解決問(wèn)題，所以可以過(guò)點(diǎn)C或B作三角形的高.本題通過(guò)化斜為直運(yùn)用勾股定理、平行線分得對(duì)應(yīng)線段成比例等知識(shí)，大大減少了計(jì)算量.

教育家波利亞說(shuō)過(guò)“即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問(wèn)題的解答后，就會(huì)合上書(shū)本，找點(diǎn)別的事來(lái)干，這樣做，他就錯(cuò)過(guò)了解題的一個(gè)重要方面”.如果教師能使學(xué)生在每次解題之后捫心自問(wèn)：“這道題的解法是否完善？這道題有沒(méi)有更好的解題途徑？能不能換個(gè)角度考慮一下？還能不能再推廣呢？”，那么學(xué)生的思維品質(zhì)必然由量變產(chǎn)生徹底的質(zhì)變.本文通過(guò)一道高考試題的多種解法探究培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.同時(shí)對(duì)一類問(wèn)題多題歸一、一題多變進(jìn)行梳理，真正做到了觸類旁通，從而提高了解題的靈活性.