導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的同課異構(gòu)對(duì)比分析

王剛陶++煜瑾

【摘要】三位省評(píng)優(yōu)課一等獎(jiǎng)獲得者的同課異構(gòu)，各有千秋，說(shuō)明了一節(jié)“好課”沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)，沒(méi)有程式化的設(shè)計(jì)，但教師一定要肯下功夫，投入真感情，琢磨新套路，注重課堂的真實(shí)性、生成性和師生交流的和諧性.

【關(guān)鍵詞】真實(shí)性；生成性；和諧性；同課異構(gòu)

教材對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的解釋隱藏較深，不易提煉教學(xué)主線.因此，不同的教師對(duì)教材的編寫意圖有著不同的理解，不同的教學(xué)策略產(chǎn)生了不同的效果，這也使我對(duì)如何實(shí)現(xiàn)課堂的高效有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí).以下是筆者對(duì)其中三位一等獎(jiǎng)的授課情況的對(duì)比分析.1三位教師的教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)介

1.1A教師的解釋過(guò)程

1.11問(wèn)題情境：黑暗中，你是怎樣通過(guò)遠(yuǎn)處汽車自身的燈光判斷該車是上坡還是下坡的？

A教師利用生活中的常見(jiàn)問(wèn)題：“汽車燈光的指向與上下坡之間的聯(lián)系”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)道路可以抽象成函數(shù)的圖象，燈光可以抽象為切線（圖1），這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為切線斜率與函數(shù)增減之間的聯(lián)系，從而輕松高效地聯(lián)系起導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.

1.12猜想歸納：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么聯(lián)系呢？

從圖象上，我們發(fā)現(xiàn)，單調(diào)遞增區(qū)間上，曲線呈上升趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)遞增，每一點(diǎn)處的切線傾斜角均為銳角，斜率大于0（圖2）；在單調(diào)遞減區(qū)間上，曲線呈下降趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)遞減，每一點(diǎn)處的斜線傾斜角為鈍角，斜率小于0（圖3）.

于是，可以猜想結(jié)論：對(duì)于函數(shù)y=f（x），

如果在某區(qū)間上f′（x）>0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù)；

如果在某區(qū)間上f′（x）<0，那么f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù).

A教師從“形”的角度，對(duì)具體例子進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，通過(guò)觀察、猜想到歸納、總結(jié)出結(jié)論，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過(guò)程.

1.13驗(yàn)證猜想：請(qǐng)舉出幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)，探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，驗(yàn)證前面猜想的結(jié)論.

函數(shù)f（x）=x3+xf（x）=exf（x）=cosx，x∈0，π

圖象

單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減

導(dǎo)數(shù)

符號(hào)f′（x）=3x2+1>0f′（x）=ex>0f′（x）=-sinx<0，

x∈（0，π）

A教師通過(guò)師生合作，歸納已經(jīng)學(xué)過(guò)的常見(jiàn)函數(shù)的特征，進(jìn)一步驗(yàn)證了所猜想的結(jié)論的正確性.

1.14例題設(shè)置：

例1：確定函數(shù)f（x）=x2-4x+3在哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，在哪個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

例2：確定函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在哪些區(qū)間上是增函數(shù).

例3：確定函數(shù)f（x）=sinx（x∈（0，2π））的單調(diào)減區(qū)間.

變式：證明函數(shù)f（x）=sinx在區(qū)間（π2，3π2）上是單調(diào)減函數(shù).

A教師從二次函數(shù)、三次函數(shù)到三角函數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的一般性和普遍適用性.

1.2B教師的解釋過(guò)程：

1.21認(rèn)知沖突：是否能用已有的初等方法來(lái)確定函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)區(qū)間？若不行，是否存在其它工具來(lái)研究該類函數(shù)的單調(diào)性.

B教師以學(xué)生的認(rèn)知沖突為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究新方法，培養(yǎng)學(xué)生的好奇心，從而引入了導(dǎo)數(shù)工具，同時(shí)，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性具有一般性和有效性.

1.22數(shù)形結(jié)合：

代數(shù)角度：函數(shù)y=f（x），在定義域內(nèi)某區(qū)間I上，若對(duì)任意x1≠x2都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)區(qū)間I為單調(diào)增區(qū)間.圖4

幾何角度：在區(qū)間I上，存在x=x0，使得fx1-fx2x2-x1=f′x0>0（圖4）.

故此，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系為：

如果在某區(qū)間上f′（x）>0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù)；

如果在某區(qū)間上f′（x）<0，那么f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù).

B教師采用中學(xué)生能夠接受的方式引入了拉格朗日中值來(lái)證明上述結(jié)論，用直觀的方法來(lái)分析和說(shuō)明，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和意識(shí).

1.23例題設(shè)置

證明函數(shù)f（x）=x3+x在R上單調(diào)遞增.

變式1：確定函數(shù)f（x）=x3-x在哪些區(qū)間上是增函數(shù).

變式2：確定函數(shù)f（x）=ex-x的單調(diào)區(qū)間.

變式3：你能編制出相應(yīng)一道題目嗎？

試結(jié)合y=x3思考：如果f（x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上必有f′（x）>0嗎？

B教師的例題設(shè)置從充分性與必要性兩個(gè)角度來(lái)讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系.

1.3C教師的解釋過(guò)程：

1.31尋找共性

函數(shù)的單調(diào)性刻畫了函數(shù)在某區(qū)間上的變化趨勢(shì)（上升或下降的變化趨勢(shì)）.

導(dǎo)數(shù)刻畫了函數(shù)在某點(diǎn)處的變化趨勢(shì)（圖像經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)的上升或下降趨勢(shì)）.

C教師基于學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從兩點(diǎn)知識(shí)的功能出發(fā)，尋找共性，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)兩者之間可能存在的聯(lián)系.

1.32定義再探

單調(diào)遞增函數(shù)：函數(shù)y=f（x），在定義域內(nèi)某區(qū)間I上，若對(duì)任意x1≠x2都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增.

幾何解釋：區(qū)間I上任意兩點(diǎn)的割線斜率大于零則函數(shù)單調(diào)遞增.

導(dǎo)數(shù)的定義：當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx=fx0+Δx-fx0Δx→f′x0.

幾何解釋：當(dāng)割線兩端點(diǎn)無(wú)限逼近時(shí)，割線斜率逼近切線斜率.

C教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)“定義”出發(fā)尋找兩者之間的關(guān)系，通過(guò)兩個(gè)定義的再解釋，發(fā)現(xiàn)割線的斜率是溝通導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的紐帶.

1.33以直代曲

圖5

隨著點(diǎn)Q沿曲線向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在P點(diǎn)附近越來(lái)越逼近曲線（圖5），當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限逼近P點(diǎn)時(shí)，割線PQ最終成為在P點(diǎn)附近最逼近曲線的直線切線l（圖6）.圖6

C教師利用導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)思想：“以直代曲”溝通了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系，即曲線經(jīng)過(guò)P的上升與下降的變化趨勢(shì)可用P點(diǎn)處的切線斜率的正負(fù)來(lái)刻畫.

1.34量到質(zhì)變

若f′x0>0刻畫的是曲線f（x）在點(diǎn)P0處的上升趨勢(shì)，那么若對(duì)任意x∈a，b都有f′（x）>0時(shí)，則函數(shù)f（x）在a，b上單調(diào)性如何呢？

C教師運(yùn)用“動(dòng)點(diǎn)成線”的原理，由曲線經(jīng)過(guò)某區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)的上升與下降趨勢(shì)來(lái)刻畫函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而由量變到質(zhì)變獲得了結(jié)論.

1.35例題設(shè)置

例1：確定函數(shù)f（x）=x2-4x+3的單調(diào)區(qū)間.

例2：確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）fx=2x3-6x2+7

（2）fx=xlnx

例3：請(qǐng)用導(dǎo)數(shù)證明f（x）=sinx-x在區(qū)間0，π上是減函數(shù).

變式1：請(qǐng)思考該函數(shù)在區(qū)間-π，0、-π，π上的單調(diào)性？

變式2：請(qǐng)思考該函數(shù)在區(qū)間-π，π上導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)？

變式3：結(jié)合以上問(wèn)題判斷，函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，f′x<0一定成立嗎？

C教師的例題設(shè)置除了讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的一般性和普遍適用性以外，更利用例3的變式讓學(xué)生理解了導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的非必要性.2教學(xué)目標(biāo)的對(duì)比

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)的航向，是教學(xué)成功與否的關(guān)鍵.三位教師的教學(xué)目標(biāo)的主旨均為：理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，掌握用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性.通過(guò)課堂練習(xí)來(lái)看，三堂課學(xué)生基本都能掌握用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，然而在實(shí)現(xiàn)“理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系”這一目標(biāo)時(shí)，三位教師所達(dá)到的效果不盡相同：A教師遵循的課堂展開(kāi)思路是“猜想”——“驗(yàn)證”——“實(shí)踐”，在這三個(gè)環(huán)節(jié)中結(jié)論是由不完全歸納得到，師生雖然花了大量的時(shí)間與例子去驗(yàn)證，但在實(shí)踐過(guò)程中例題設(shè)置只是前者猜想歸納的簡(jiǎn)單重復(fù)，沒(méi)有思維的層次性，學(xué)生沒(méi)能理解.B教師的例題設(shè)計(jì)有了層次性，并且設(shè)置了一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生自主編寫題目，教師由此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：若函數(shù)單調(diào)遞增則f′（x）的符號(hào)是否一定為正？C教師的例題設(shè)置不僅完成了讓學(xué)生鞏固導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間，并且每個(gè)例題都有其目的：例1的目的是讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)法的有效性；例2的目的是讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)法的一般性；例3及變式的安排是讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)單調(diào)性的工具性及非必要性.從目標(biāo)的完成度來(lái)說(shuō)C教師完成的更好，更自然.3重難點(diǎn)突破方法的對(duì)比

從教學(xué)過(guò)程中可看出三位教師確定的重難點(diǎn)均為：探索函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.但三位教師對(duì)這個(gè)內(nèi)容的理解角度不同，處理方式也就不同：A教師的探索過(guò)程是由不完全歸納法得到，缺乏嚴(yán)密的推理論證，并且該教師是由從函數(shù)的單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，但在應(yīng)用時(shí)又將該結(jié)論對(duì)調(diào)，邏輯較為混亂.B教師從學(xué)生能接受的角度引入了拉格朗日中值定理，學(xué)生能在一定程度上理解該定理，但由于缺乏羅爾中值定理的鋪墊，該定理的出現(xiàn)顯得很突兀.C教師能從學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，緊扣教材，從導(dǎo)數(shù)的根本含義“以直代曲”的角度出發(fā)，由點(diǎn)到線，逐步深入取得了十分好的效果.從思維層次與教學(xué)效果來(lái)看，C教師的設(shè)計(jì)顯然更勝一籌.4總結(jié)

帶評(píng)比性質(zhì)的公開(kāi)課是教學(xué)“示范園”，它更多的是引導(dǎo)教師怎樣去做，它追求著這樣一個(gè)境界：教師在課堂上語(yǔ)言生動(dòng)，具有感染力；教態(tài)灑脫，富有激情；教法精當(dāng)，洋溢著布局之美.學(xué)生在教師的鼓動(dòng)和引導(dǎo)下，充滿著生命的活力，課堂讓他們感受到學(xué)習(xí)的快樂(lè).然而我們是否更應(yīng)該追求課堂教學(xué)的本真：課堂思維的深度，師生的思維交流，學(xué)生的教育引導(dǎo)，教學(xué)設(shè)計(jì)的特色.都說(shuō)課堂教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，所以課堂教學(xué)更不應(yīng)該追求表面的完美，應(yīng)該留有“遺憾”.