對(duì)一道復(fù)合最值型數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考題的探究

張金良

2015年1月舉行的浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試是我省實(shí)施學(xué)業(yè)水平考試后的第三次考試.本次考試起點(diǎn)低、層次多、落點(diǎn)高，全省抽樣平均約為76分，獲得了廣大一線(xiàn)教師的好評(píng). 試卷中的壓軸題特別引人注目，試題是圍繞二次函數(shù)設(shè)計(jì)而成的一個(gè)最大值中的最小問(wèn)題，呈現(xiàn)時(shí)又以任意存在的描述方式展現(xiàn)給考生，試題不僅情景樸實(shí)、敘述簡(jiǎn)潔，而且立意高遠(yuǎn)，背景深刻，它對(duì)考生的抽象思維能力與解題能力提出了很高的要求.閱卷表明，絕大多數(shù)學(xué)生無(wú)從入手，難以破題，全省16萬(wàn)考生的難度抽樣平均為0.2.為了幫助教師把握該題的本質(zhì)，現(xiàn)撰文介紹，期待著教師站在知識(shí)系統(tǒng)的高度，把握課堂教學(xué)，從而實(shí)現(xiàn)輕負(fù)擔(dān)高質(zhì)量.

題目：設(shè)函數(shù)f（x）=

-ax-b，a，b∈R.（I）當(dāng)a=0，b=1時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;（II）當(dāng)a=時(shí)，記函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]的上的最大值為g（b），在b變化時(shí)，求g（b）的最小值;（III）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x0∈[0，4]使得f（x0）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

一、解法探究

試題分成三小題，第一小題較基礎(chǔ)，本文不作討論. 第二小題為解第三小題作了鋪墊，但閱卷表明，約有四分之一的學(xué)生能夠解決.第三小題只有非常優(yōu)秀的學(xué)生才能解答.然而仔細(xì)品味其中的奧秘，不僅有深刻的背景，而且有精彩優(yōu)美的多種解法，是命題教師獨(dú)具匠心的佳作，下面逐一介紹.

解法1 ?從二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸是否在給定區(qū)間的視角入手.令=t，得f（x）=at2-t+b，t∈[0，2]，原命題等價(jià)于m≤[min][a，b∈R] [max][t∈[0，2]]at2-t+b，設(shè)g（a，b）=[max][t∈[0，2]]at2-t+b. ①當(dāng)a=0時(shí)，g（a，b）=[max][t∈[0，2]]t-b=max{b，b-2}，所以[min][a，b∈R] g（a，b）=1. ②當(dāng)a<0，或0

[a<0，或0.③當(dāng)a≥時(shí)，g（a，b）=[max][t∈[0，2]]{b，b-

，b-2（1-2a）}.若a≥時(shí)，如圖1，2（1-2a）≤0<，所以[a≥，b∈R][min] g（a，b）=

[a≥][min] [b∈R][min]g（a，b）=[a≥][min]

-

=[a≥][min]（2a+-1）.因?yàn)?a+-1關(guān)于a在[，+∞）單調(diào)遞增，所以[a≥][min]（2a+-1）≥. 若≤a<時(shí)，如圖2，0<2（1-2a）≤，[≤a<，b∈R][min]g（a，b）=[≤a<][min][min][b∈R]g（a，b）=[≤a<][min]

=[≤a<][min]>，綜合得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，].

解法2 ?從幾何意義的視角入手.

令y1=，y2=ax+b，f（x）=y1-y2表示冪函數(shù)y1=圖象上點(diǎn)（x，y1）與動(dòng)直線(xiàn)y2=ax+b上點(diǎn)（x，y2）的距離，記d=y1-y2.

①當(dāng)a=時(shí)，如圖3，設(shè)點(diǎn)A（4，2），過(guò)O，A的直線(xiàn)為l1，與函數(shù)y1=圖象相切的直線(xiàn)為l3，與l1，l3等距的直線(xiàn)為l2，則l1，l3，l2的方程分別為y=x，y=x+，y=x+，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，動(dòng)直線(xiàn)l：y=x+b平移時(shí)，f（x）=y1-y2的最大值在端點(diǎn)O，A，及與l2冪函數(shù)圖象相切時(shí)的切點(diǎn)處取到，于是[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b是l2在y軸上的截距.

②當(dāng)a>時(shí)，如圖4，同上假設(shè)（下同），與函數(shù)y1=圖象相切的直線(xiàn)l3為y=ax+，過(guò)點(diǎn)A與l3平行的直線(xiàn)l1為y=ax+2-4a，與l1，l3等距的直線(xiàn)l2為y=ax+（-4a+2）.由冪函數(shù)性質(zhì)知，動(dòng)直線(xiàn)l：y=ax+b平移時(shí)， f（x）=y1-y2的最大值在端點(diǎn)A，或l2與冪函數(shù)圖象相切的切點(diǎn)處取到，于是動(dòng)直線(xiàn)l與l2重合時(shí)， f（x）=y1-y2的最大值關(guān)于a，b取到最小值.即[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b=[a≥][min]（4a+-2），因?yàn)?a+在（，+∞）單調(diào)遞增，所以（-2+4a）>，所以[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b>.

③當(dāng)≤a<時(shí)，如圖5，仿②處理，直線(xiàn)l：y=ax+與y1=圖象相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)小于4，過(guò)O與l3平行的直線(xiàn)l1為y=ax，與l1，l3等距的直線(xiàn)l2為y=ax+.由冪函數(shù)性質(zhì)知，動(dòng)直線(xiàn)l：y=ax+b平移時(shí)，f（x）=y1-y2的最大值在端點(diǎn)O，或l2與冪函數(shù)圖象的切點(diǎn)處取到，于是動(dòng)直線(xiàn)l與l2重合時(shí)， f（x）=y1-y2的最大值關(guān)于a，b取到最小值，于是[min][a，b∈R] [max][x∈[0，4]]

-ax-b=[≤a<][min]，因?yàn)?，所以[max][x∈[0，4]]

-ax-b>.

④當(dāng) 0