談學(xué)生數(shù)感和符號意識的培養(yǎng)

楊紅芬

有些人能很敏銳地從問題情境中發(fā)現(xiàn)，并抽象出數(shù)學(xué)問題，然后利用符號組建數(shù)學(xué)模型，把要解決的問題清晰簡明地表現(xiàn)出來，用來與人們交流和作進(jìn)一步的深入研究，這就是具有良好數(shù)感和符號意識的表現(xiàn). “建立數(shù)感、符號意識”是《課標(biāo)（2011年版）》在“數(shù)學(xué)思考、符號意識”中的一項重要目標(biāo)，落實這項目標(biāo)將對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)、生活和工作帶來深遠(yuǎn)的影響.

要培養(yǎng)學(xué)生敏銳的數(shù)感和符號意識，我們可以從以下幾方面進(jìn)行努力.

一、幫助學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會抽象

人們在現(xiàn)實生活中遇到的往往是紛繁的情境，甚至是困惑，很少有像課本中那樣已經(jīng)抽象、概括好了的數(shù)學(xué)問題. 幫助學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會抽象，是問題解決的必需準(zhǔn)備. 要幫助學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會抽象，首先我們要提供更多的密切聯(lián)系學(xué)生生活實際的，緊扣數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的，而且富有趣味的問題情境. 然后引導(dǎo)學(xué)生主動提出有意義的數(shù)學(xué)問題，并尋找問題解決的方法.

案例1 ?教師提供的問題情境：超市里某種襪子包裝分大包、小包和散裝三種. 小包每包10雙，每個大包含10個小包.定價：散裝每雙10元;小包每包80元;大包每包700元.

下面是教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，抽象并提出問題的過程實錄：

教師：如果你想買這種襪子，你會提出什么問題和發(fā)現(xiàn)與大家分享？

學(xué)生A：我發(fā)現(xiàn)若買9雙散裝的襪子，不如買1小包劃算. 后者比前者少付10元錢，襪子反而多了1雙.

學(xué)生B：我發(fā)現(xiàn)若買90雙襪子，買9個小包不如買1個大包劃算. 后者比前者少付20元錢，襪子卻多了10雙.

學(xué)生C：如果有人想買1087雙，怎樣買才劃算？如果想買878雙呢？能找出一般規(guī)律嗎？

學(xué)生D：選擇怎樣的購買方法比較劃算，是否視購買的數(shù)量而定？要找到一般規(guī)律需要對購買的數(shù)量進(jìn)行分類討論，那么怎樣進(jìn)行分類討論呢？

下面是在教師的引導(dǎo)下，師生共同完成了如下的分類討論：

（1） 設(shè)購買數(shù)量為個位數(shù)n，當(dāng)0

（2） 設(shè)購買數(shù)量為兩位數(shù)，則購買m個小包和n雙散裝襪子所需的錢為80m+10n，當(dāng)80m+10n=700時，解得m=8，n=6，也就是說當(dāng)≥86時，應(yīng)購1個大包;當(dāng)<86，且n≥8時，應(yīng)購（m+1）小包;當(dāng)<86，且n<8時，應(yīng)購m小包另加n雙.

有了以上的一般化結(jié)果，對任何購買數(shù)量，我們都不難找出最劃算的購買方案，例如，若要買1087雙，最劃算的購買方案為買11個大包;若要買878雙，最劃算的購買方案為買8大包加8小包.

案例2 ? ?教師提供的問題情境是：近幾年來人民幣對美元快速升值，對我國的出口貿(mào)易帶來很大的影響，是人們以及各種媒體廣泛議論的事，對此同學(xué)們有哪些感興趣的問題？圍繞這一問題情境，學(xué)生提出來的問題主要有：

（1） 人民幣升值是通過什么數(shù)量來反映的？

（2） 人民幣升值是通過匯率的變化來反映的，那么匯率的含義是什么？

（3） 如果美元對人民幣的匯率為1∶a，那么人民幣對美元的匯率應(yīng)怎樣表達(dá)？它的具體含義是什么？（4） 若美元對人民幣的匯率為1∶6.16，人民幣升值1%，則升值后美元對人民幣的匯率是多少？美元貶值1%與人民幣升值1%含義一樣嗎？

（5） 某外貿(mào)公司有一單出口貨物，與外商簽約時，美元對人民幣的匯率為1∶6.16，貨物定價為12萬美元. 簽約一個月后結(jié)匯時（外貿(mào)公司把貨款兌換成人民幣）人民幣升值3‰，那么該外貿(mào)公司將損失人民幣多少元？（提出此問的學(xué)生家長是開外貿(mào)公司的）

在啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程中，我們要著重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘問題情境中蘊(yùn)含的數(shù)和數(shù)量關(guān)系，在把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題時要著重啟發(fā)學(xué)生用數(shù)、字母以及數(shù)學(xué)符號使問題數(shù)學(xué)化，一般化.這一步往往是學(xué)生在探索中比較困難的一步，案例2中的第3問也是在教師啟發(fā)幫助下才提得出來的.這一問題的提出和解決，為后面的一系列問題的解決提供基本依據(jù). 在把美元對人民幣的匯率表示為1∶a后，即表示1美元可兌換a元人民幣（指中間價），那么人民幣對美元的匯率為1∶，表示1元人民幣可兌換美元，人民幣升值1%后，人民幣對美元的匯率變?yōu)椋?∶（1+1%）=，那么美元對人民幣的匯率變?yōu)?∶. 由此顯而易見，人民幣升值1%與美元貶值1%的匯率變化是不相同的，后者對人民幣的匯率則變?yōu)?∶. 對于第5問，人民幣升值3‰后美元對人民幣的匯率從1∶6.16變?yōu)?∶，即約為1∶6.14，由此可得該外貿(mào)公司結(jié)匯時損失的人民幣約為12×（6.16-6.14）=0.24（萬元）.

對問題情境的抽象不局限于“數(shù)與代數(shù)”，還包括“圖形與幾何”，也就是需要用幾何圖形來直觀、清晰地表達(dá)問題情境，通過對幾何圖形的性質(zhì)和各部分位置關(guān)系的分析，揭示蘊(yùn)含其中的數(shù)量關(guān)系，建立合適的數(shù)學(xué)模式，達(dá)到問題解決的目的.

案例3 ?問題情境：要從矩形的板材中裁取一塊圓形的板，怎樣裁材料的利用率會盡可能地大？這樣的問題可以抽象成如何在矩形內(nèi)作出或結(jié)合剪拼等構(gòu)造出一個半徑盡可能大的圓. 環(huán)繞著這樣的問題情境，我們可以啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出并探索以下這些問題：

（1） 如果這個矩形是正方形，怎樣作這個最大的圓？如果不是正方形呢？兩者在思想方法上有什么共同之處？

（2） 設(shè)矩形的一組鄰邊長分別為a，b，且a>b，能否先作出圓的兩個部分，或者將矩形適當(dāng)分割后作出圓的兩個部分，而這兩部分合起來成為一個半徑盡可能大的圓？還有其他方法嗎？

（3） 怎樣比較各種作法所得的圓的大小？怎樣分析圖形中的位置關(guān)系和圖形的性質(zhì)，求出各種方案中所得圓的半徑？endprint

上述這些問題由淺入深，由簡單到復(fù)雜為學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)搭起合適的階梯. 第（1）問雖簡單，但給出一系列探索的基本思路——盡可能使圓與更多邊相切. 第（2）問為學(xué)生的思考帶來飛躍，激發(fā)學(xué)生想出一些有趣的問題解決方案. 例如以下這些方案都是學(xué)生曾經(jīng)提出過的.

方案1：如圖1，圓心O1，O2分別在AB，CD上，等圓☉O1與☉O2相切.

方案2：如圖2，沿對角線把矩形先分割成兩個直角三角形，然后錯位，作出圓心為O分別位于不同的兩個直角三角形中的兩個半圓.

方案3：如圖3，考慮到矩形的對稱性，不妨設(shè)0

方案4：如圖4，同樣可設(shè)0

當(dāng)然方案還有許多，比如有同學(xué)先把矩形割補(bǔ)成邊長為的正方形，然后作這個正方形的內(nèi)切圓. 不妨設(shè)a=5，b=，作法如圖5. 在探索過程中我們的宗旨是讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)，學(xué)會抽象，學(xué)會表達(dá)，學(xué)會探索，并不一定需要找出所有的可能. 當(dāng)然這樣似乎有點意猶未盡，要知道這種“意猶未盡”卻給學(xué)生后續(xù)自主設(shè)問，自主探索，留下了懸念和空間. 把情境抽象成幾何圖形就為數(shù)量關(guān)系的研究提供了方便. 從圖1、圖2、圖3、圖4得到盡可能大的圓的半徑分別是，，，.有了圖3，圖4，我們還可以對方案3、方案4作進(jìn)一步的研究. 方案3、方案4并不都是可行的. 對于方案3（如圖3），作圖存在的條件是弦AB≤b，即2≤b，4bx≤b2，0

如果我們能引導(dǎo)學(xué)生提出上述這些作圖的存在性問題，并予以解決，那么應(yīng)該說我們對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)已經(jīng)取得很大的成功. 值得注意的是，為了讓學(xué)生能夠積極主動地提出問題，教師需要改變“光老師問，學(xué)生答”的啟發(fā)式教學(xué)模式，要多鼓勵學(xué)生自主提出問題.

二、幫助學(xué)生正確理解符號、使用符號，并學(xué)會創(chuàng)造

數(shù)學(xué)符號是刻劃、表現(xiàn)問題情境中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵的有力工具. “+”、“-”這兩個符號看似簡單，其實不然. 有不少學(xué)生就是因為對這兩個符號理解不透徹、不全面，造成有理數(shù)運(yùn)算的許多差錯. 教學(xué)中教師要幫助學(xué)生認(rèn)識這兩個符號的雙重性，作為性質(zhì)符號它們表示一個數(shù)的正、負(fù)，作為運(yùn)算符號它們又表示數(shù)與數(shù)的“加”“減”. 算式11+（-4）-（-9）-（+6）表示“正11加負(fù)4減負(fù)9減正6”，在學(xué)生對“+”“-”意義的正確理解基礎(chǔ)上，學(xué)生才能把算式簡化成省略加號的和式子“11-4+9-6”，才能正確使用運(yùn)算律簡化運(yùn)算：11-4+9-6=（11+9）+（-4-6）=0.

在講三角形相似符號“∽”時，教師不僅要講清它的意義是表示兩個三角形之間的一種關(guān)系，還要掌握它與符號“△”以及三角形頂點字母一起表示兩個三角形相似時課本中的一些具體的約定，而且不同版本的課本對符號的約定也許不甚相同. 在浙教版課本中這種約定要把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)的位置上. 例如對于“已知D，E分別是AB，AC上的點，△ADE與△ABC相似”的語句在用符號“∽”表示時，就應(yīng)分兩種情況：（1）如圖7，△ADE∽△ABC;（2）如圖8，△AED∽△ABC.

為了更有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號意識，我們不僅要幫助學(xué)生透徹地理解，正確地使用課本中已有的符號，還需要幫助學(xué)生逐步學(xué)會根據(jù)研究的需要創(chuàng)造符號，在符號創(chuàng)新中感受符號的魅力.

案例4 ? 提供的問題情境是：把一個正奇數(shù)乘以3，再加1，約去所有的偶因數(shù)，然后重復(fù)前面的結(jié)果，這樣一直反復(fù)繼續(xù)下去，經(jīng)有限次反復(fù)之后，這個正奇數(shù)將變?yōu)?.這在國外叫角谷猜想，是一個至今未能證明的世界難題，我們能否通過創(chuàng)設(shè)符號，使表述簡化，給問題的深入研究帶來方便？

在教學(xué)中我們這樣啟發(fā)學(xué)生，“現(xiàn)在需要表達(dá)的是一個過程，你會創(chuàng)設(shè)怎樣的符號？”有的學(xué)生創(chuàng)設(shè)了如下的符號：他說每一次把一個正奇數(shù)乘以3，再加1，約去所有偶因數(shù)的過程定義為一個C變換，并用符號“[→][C]”表示，例如，對于正奇數(shù)3的一個C變換就可以簡單地表示成“3[→][C]5”（3×3+1，約去2）. 這樣對于17經(jīng)過多次C變換變成1的過程就可以簡便地表示成“17[→][C]13[→][C]5[→][C]1”.

符號創(chuàng)新離不開新概念的定義，我們可以在教學(xué)中讓學(xué)生多經(jīng)歷一些自定義的閱讀理解題.

案例5 ? 我們把代數(shù)式定義為x與y之間的一種運(yùn)算，用符號“※”表示，即x※y=，并規(guī)定a※b※c=（a※b）※c.

（1）計算：（-1）※0= .

（2）判斷下列命題的真假：

①對于任何實數(shù)x，都有x※3﹦6;

②運(yùn)算x※y使用交換律：x※y=y※x.

（3）計算：2015※2014※2013※…※4※3※2.

解答：（1）-96. （2）①真;②假（舉反例可得）. （3）原式=6※2=.

自定義的符號創(chuàng)新還廣泛地應(yīng)用于圖形表示.

案例6 ? ?我們把長邊和短邊的比是2∶1的長方形稱為基本長方形. 用短邊互不相同的基本長方形拼出一個更大的矩形，要求：任意兩個基本長方形之間既沒有重疊部分，也沒有空隙. 記用來拼更大矩形的各個基本長方形的較短邊長為a1，a2，a3，…，an，且a1

（1） 若a2，a3都為正整數(shù)，求（1，a2，a3），并畫出拼成的矩形，把每個基本長方形的較短邊長填入所在基本長方形中.

（2） 任意寫出四個（1，a1，a2，a3，a4），并畫出拼成的矩形，把每個基本長方形的較短邊長填入所在的基本長方形中.

（3） 已知（1，a3，a4，a5）如圖9，求a2，a3，a4，a5的值，然后填入所在的基本長方形中.

簡解：（1） （1，a2，a3）如圖10，

（2）如圖11，（1，2，5，6），（1，2，2.25，2.5），（1，2，2.5，4.5），（1，2，2.5，5）.

（3）如圖12，設(shè)AB=x，由題意可得，2x+（2+2x）=+4+2x.

解得x=. ∴（1，a2，a3，a4，a5）=

1

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