基于球桿系統(tǒng)的現(xiàn)代控制理論課堂教學(xué)實例設(shè)計*

樓旭陽（江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，無錫江蘇214122）

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基于球桿系統(tǒng)的現(xiàn)代控制理論課堂教學(xué)實例設(shè)計*

樓旭陽
（江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，無錫江蘇214122）

摘要：為解決現(xiàn)代控制理論授課過程中學(xué)生對于理論設(shè)計控制器和實際工程例子中如何應(yīng)用的脫節(jié)問題，本文設(shè)計了一個教學(xué)實例，便于學(xué)生深入理解與掌握教學(xué)過程中的基本理論與方法，并結(jié)合現(xiàn)代控制理論課程特點，以“球桿系統(tǒng)”為例探討了工程實例式教學(xué)法在現(xiàn)代控制理論課堂教學(xué)中的應(yīng)用和實施效果。

關(guān)鍵詞：實例教學(xué)；現(xiàn)代控制理論；教學(xué)方法

Abstract:In order to solve the disjointed problem for students about designing controllers theoretically and applying actual engineering example in the modern control theory teaching process, this paper presents a teaching example so that students can in-depth understand and retain basic theory and methods. Moreover, based on the characteristics in the course of modern control theory, the engineering teaching method is discussed to illustrate the effectiveness in the teaching process of modern control theory by taking the ball-and-beam system as an example.

Keywords:case teaching; modern control theory; teaching method

一、概述

“現(xiàn)代控制理論”是工科類自動化專業(yè)的重要專業(yè)核心課，理論性和研究性均較強，其教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生掌握現(xiàn)代控制系統(tǒng)的基本概念，掌握狀態(tài)控制系統(tǒng)的建模、分析與綜合設(shè)計的基本方法，掌握狀態(tài)控制系統(tǒng)的計算機模擬與仿真的基本技能。本課程具有學(xué)科交叉性，理論性、實踐性和綜合性都很強，學(xué)生對基本概念的理解和掌握有一定的困難。結(jié)合工程實際例子，在“現(xiàn)代控制理論”課堂教學(xué)中開展相應(yīng)教學(xué)實例設(shè)計，有助于提高教學(xué)效果。

二、課堂教學(xué)知識點舉例

現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)反饋極點配置和狀態(tài)觀測器是教學(xué)內(nèi)容的重點，與系統(tǒng)的性能分析不同，涉及到系統(tǒng)控制設(shè)計。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對繁瑣的數(shù)學(xué)計算以及系統(tǒng)分析過程普遍感到難以理解，覺得非常抽象，因而對課程的學(xué)習(xí)興趣慢慢就會減弱。結(jié)合工程實例進行教學(xué)內(nèi)容的傳授，不僅可以激發(fā)起學(xué)生的興趣，而且可以克服單一、呆板的教學(xué)方式，使課堂氣氛變得生動有趣。由劉豹和唐萬生主編的《現(xiàn)代控制理論》（第3版），在第五章5.2節(jié)極點配置和5.5節(jié)狀態(tài)觀測器的課堂教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容的常規(guī)教學(xué)在這里不做具體闡述。這里主要介紹結(jié)合學(xué)生的特點和課程教學(xué)實踐，在《現(xiàn)代控制理論》教學(xué)中應(yīng)用“球桿系統(tǒng)”實例的設(shè)計過程，說明此種教學(xué)方式可以取得良好的教學(xué)效果。

三、教學(xué)實例的設(shè)計

實例式教學(xué)法是以貫穿整個學(xué)期的綜合實例為中心，逐步將新知識點融入到案例中的一種教學(xué)方法。隨著案例的完善，學(xué)習(xí)的知識點也融入到案例中，這樣就將理論和實踐完全結(jié)合起來，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣而且加深了學(xué)生對新知識點的理解。該方法與傳統(tǒng)的“理論知識講授+習(xí)題作業(yè)+計算機仿真”的教學(xué)模式完全不同，它采用的是“知識點的講解+應(yīng)用實例分析+綜合設(shè)計討論”模式，把重點放在知識點的貫穿講解上，并注意應(yīng)用到實際中。

這里以分析“球桿系統(tǒng)”為例，探討該系統(tǒng)的建模、時域分析、根軌跡分析、校正控制的教學(xué)設(shè)計。

（一）系統(tǒng)建模

球桿系統(tǒng)是一個典型的單輸入單輸出的機電類控制系統(tǒng)，通過改變平衡桿與水平方向的夾角，而控制平衡桿上滾動小球的位置。圖1為由固高科技開發(fā)的球桿系統(tǒng)裝置實物圖。整個裝置由球桿執(zhí)行系統(tǒng)、控制器和直流電源等部分組成。該系統(tǒng)對控制系統(tǒng)設(shè)計來說是一種理想的實驗?zāi)Ｐ汀?/p>

圖1　球桿系統(tǒng)裝置

圖2　球桿系統(tǒng)組成原理圖

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。系統(tǒng)為一個單輸入（電機轉(zhuǎn)角θ）、單輸出（小球位置）系統(tǒng)，輸入量θ利用伺服電機的角度編碼器來測量，輸出量由軌道上直線位移傳感器（電位器）的電壓信號來獲得。智能伺服控制器可以通過RS232接口和計算機通訊，利用鼠標(biāo)或鍵盤可以輸入小球的控制位置和控制參數(shù)，通過控制方案計算輸出（電機轉(zhuǎn)動方向、轉(zhuǎn)動速度、加速度等），并由智能伺服驅(qū)動器來實現(xiàn)該控制方案，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動杠桿臂運動，使球到達預(yù)期的位置。

教學(xué)過程中首先要分析小球在導(dǎo)軌上滾動的動態(tài)過程來建立系統(tǒng)模型。使小球在導(dǎo)軌上加速滾動的力是小球的重力在同導(dǎo)軌平行方向上的分力同小球受到的摩擦力的合力。設(shè)小球的位置偏移為γ，則小球在桿上滾動的加速度??？紤]小球滾動的動力學(xué)方程：

其中，m為小球質(zhì)量，J表示小球的轉(zhuǎn)動慣量，R為小球半徑，g為重力加速度，α為軌道桿與水平面之間的夾角。

考慮到：

其中，θ為電機轉(zhuǎn)角，d為齒輪半徑，L為支撐桿橫桿連接點的長度。

由于實際摩擦力較小，所以可以忽略摩擦力。又由于α較小，所以可以忽略此項的影響。因而，式（1）可簡化如下：

當(dāng)α＜＜1時，將上式線性化，兩邊做拉氏變換，并利用（2）式可得：

進而，可得球桿系統(tǒng)關(guān)于小球位置R（s）和齒輪角度θ（s）之間的傳遞函數(shù)：

至此，球桿系統(tǒng)已簡化為一個二階系統(tǒng)。進一步地，可以將該傳遞函數(shù)模型表示成狀態(tài)空間表達式。

選取小球位置為狀態(tài)變量x1，小球速度為狀態(tài)變量x2，將電機轉(zhuǎn)角θ作為輸入。于是，狀態(tài)方程為：

輸出方程為：

代入系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)，可得：

因此，球桿系統(tǒng)可簡化為標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)：

針對這一球桿系統(tǒng)建模獲得的狀態(tài)空間表達式，在課堂教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的知識，求解系統(tǒng)的解、分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性等鞏固知識點。本文僅將結(jié)合該實例介紹極點配置控制器和狀態(tài)觀測器知識點的教學(xué)設(shè)計。

（二）極點配置的控制器設(shè)計

狀態(tài)反饋的極點配置是指對于給定的A∈Rn×n和B∈Rn，以及期望閉環(huán)系統(tǒng)極點si,i=1,2,…，n（可能包含重極點），確定一個增益向量K使特征值方程D(s)=0以si為根。注意到，系統(tǒng)可以任意配置極點的條件是系統(tǒng)完全可控。這一條件可以讓學(xué)生利用學(xué)過的秩判據(jù)自行完成。

對于球桿系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式（5），令狀態(tài)反饋控制為u=v-Kx，其中v為參考輸入向量，K=[k1,k2,…，kn]為待設(shè)計的控制增益向量。直接寫出閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為

設(shè)期望閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)極點為-3和-2。于是，期望的閉環(huán)特征多項式為

比較系數(shù)后，可得K=[6 5]/1.853。

設(shè)初始小球狀態(tài)x(0)=[0 0]T，為了將小球控制到狀態(tài)xd=[20 0]T（即期望小球靜止位置為20cm），取狀態(tài)反饋控制為u=v-Kx，則參考輸入向量為v=Kxd。顯然，若未施加控制時（即u=0），小球狀態(tài)將保持在初始位置不變；圖3所示為施加反饋控制后系統(tǒng)輸出變量（小球位置）y的時間響應(yīng)曲線圖。從圖3可見，施加控制后，小球位置最終收斂到期望位置。

圖3　球桿系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制下輸出曲線圖

（三）基于觀測器的控制器設(shè)計

本節(jié)將結(jié)合球桿系統(tǒng)來分析狀態(tài)觀測器的教學(xué)設(shè)計過程。我們的目標(biāo)是設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測器，使觀測器的閉環(huán)極點為λ1=-1，λ2=-2。

首先，考察系統(tǒng)的可觀性矩陣

因為rank(V)=2滿秩，所以系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，故存在如下全維觀測器：

于是，觀測器特征多項式為：

期望的閉環(huán)特征多項式為：

因此，全維狀態(tài)觀測器設(shè)計為：

設(shè)初始小球狀態(tài)X（0）=[1 6]T，觀測狀態(tài)變量初始值為。其目的是在觀測出球桿系統(tǒng)所有狀態(tài)的同時，將小球控制期望靜止位置為2cm（類似于3.2節(jié)中的設(shè)計方法，取狀態(tài)反饋控制為則參考輸入向量為v= K[2 0]T）。圖4所示為基于觀測器的反饋控制作用下系統(tǒng)狀態(tài)變量x和觀測狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線圖。從圖4可見，系統(tǒng)所有狀態(tài)可以被觀測出來，并且小球位置x1最終收斂到期望位置。

四、結(jié)束語

通過教學(xué)實踐表明，以“球桿系統(tǒng)”為例進行的工程實例式教學(xué)法在《現(xiàn)代控制理論》課堂教學(xué)中的實施有利于促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，真正做到學(xué)以致用，從而提升課堂學(xué)習(xí)效率。同時，由于要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中通過計算機仿真軟件驗證所設(shè)計控制器在實例中的實施效果，并結(jié)合課堂所學(xué)理論知識分析合理性，進一步可提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

圖4　基于觀測器的狀態(tài)變量曲線圖

參考文獻

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作者簡介：樓旭陽（1982-），男，副教授，博士，主要研究方向為復(fù)雜系統(tǒng)控制理論與應(yīng)用。

中圖分類號：G642

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）08-0078-03

*基金：江蘇高校品牌建設(shè)工程（PPZY2015A036）資助。