也談“高中對數(shù)函數(shù)常見的解題策略”

蔡華俊

對數(shù)值的大小比較，對數(shù)運(yùn)算，對數(shù)函數(shù)是高中函數(shù)中的一個重要內(nèi)容，這些問題在高考試題中屢見不鮮，下面對幾類常見的對數(shù)題型的解題策略作出歸納.

一、知識歸納

1.對數(shù)的概念

（1）對數(shù)的定義

一般地，對于指數(shù)式ab=N，我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作loga，即b=loga N（a>0，且a≠1）.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).備注：通常將以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，N的常用對數(shù)記作：lgN；將以自然常數(shù)e=2.71828…… 為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，N的自然對數(shù)記作：lnN.

（2）幾種常見對數(shù)

對數(shù)形式特點(diǎn)記法 一般對數(shù)底數(shù)為a（a>0且a≠1）logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

（1）對數(shù)的性質(zhì)

①alogaN=N；②logaaN=N（a>0且a≠1）.

（2）對數(shù)的重要公式

①換底公式：logbN=logaNlogab（a，b均大于零且不等于1）；

②logab=1logba，推廣logab·logbc·logcd=logad.

（3）對數(shù)的運(yùn)算法則

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga（MN）=logaM+logaN；②logaMN=logaM-logaN；

③logaMn=nlogaM（n∈R）；④logamMn=nmlogaM.

3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

表2

續(xù)表

性質(zhì)定義域：（0，+∞）值域：R過點(diǎn)（1，0） 當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)x>1時，y<0當(dāng)00是（0，+∞）上的增函數(shù)是（0，+∞）上的減函數(shù)4.難點(diǎn)疑點(diǎn)突破

對數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a>0，，且a≠1？

理由如下：

①若a<0，則N的某些值不存在，例如log（-2）8.

②若a=0，則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數(shù).

③若a=1時，則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數(shù).

為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對數(shù)式的底是一個不等于1的正數(shù).

5.解題技巧

一種思想：對數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對數(shù)式可以互化，對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則都可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化進(jìn)行證明.

兩個防范：解決與對數(shù)有關(guān)的問題時，（1）務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；（2）注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.

三個關(guān)鍵點(diǎn)：畫對數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn).（a，1），（1，0），（1a，-1）.

四種方法：對數(shù)值的大小比較方法.（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性.（2）作差或作商法.（3）利用中間量（0或1）.（4）化同真數(shù)后利用圖象比較.

二、例題分析

例1求函數(shù)f（x）=loga（2x2-5x+3）的單調(diào)區(qū)間.

解析設(shè)y=logau，u=2x2-5x+3.

由2x2-5x+3>0，解得x<1或x>32.

且u=2x2-5x+3在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（32，+∞）上是增函數(shù).

當(dāng)a>1時，y=logau是增函數(shù)，

則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（- ∞，1），單調(diào)增區(qū)間是（32，+∞）.

當(dāng)0

則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1），單調(diào)減區(qū)間是（32，+∞）.

點(diǎn)評利用對數(shù)函數(shù)的定義，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)列方程求解，注意對數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值范圍，需要進(jìn)行分類討論.

例2當(dāng)0

A.（0，22）B.（22，1）C.（1，2）D.（2，2）

解析利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

因為0

所以logax>4x>1，所以 0

取a=12，x=12，則有412=2，log1212=1，顯然4x

點(diǎn)評對數(shù)的運(yùn)算法則是進(jìn)行同底的對數(shù)運(yùn)算的依據(jù)，對數(shù)的運(yùn)算法則是等式兩邊都有意義的恒等式，但運(yùn)用法則進(jìn)行對數(shù)變形時要注意對數(shù)的真數(shù)的范圍是否改變.例3已知1

解由于需要比較的三個式子都與lgx有關(guān)，先計算lgx范圍，易知00，lgx2=2lgx>0.

而作差得到）lgx）2-2lgx=lgx（lgx-2）<0，

所以得到lg（lgx）<（lgx）2

點(diǎn)評巧用中間橋梁比較對數(shù)值的大小，無論是指數(shù)式還是對數(shù)式的大小比較，一般都是使用“中間橋梁法”來進(jìn)行比較，一般常用的中間橋梁是0或者1，有時還會使用作差比較.

例4當(dāng)函數(shù)y=16-2x有意義時，求函數(shù)f（x）=（log2x4）·（log2x2）的最值及此時x的值.

解由16-2x≥0，得到x≤4，又由f（x）=（log2x4）·（log2x2）有意義，可知x>0，故0

f（x）=（log2x4）·（log2x2）=（log2x-2）（log2x-1），

令t=log2x，則t≤2，

f（t）=（t-2）（t-1）=t2-3t+2 （t≤2）.

由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)t=32，f（32）=-14最小，此時log2x=32，解得x=22；該函數(shù)沒有最大值.

點(diǎn)評巧換元來求與對數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域，換元法是高中數(shù)學(xué)中的一個重要方法，通過換元的思想將問題簡化，特別常用于一些復(fù)合函數(shù)求值域的問題，換元法需要注意的是所換元的范圍不能改變.

例5.已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）為偶函數(shù).（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a·2x-a）有且只有一個根，求實數(shù)a的取值范圍.解析：（1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx，即（2k+1）x=0，所以k=-12.（2）依題意令log4（4x+1）-12x=log4（a·2x-a），即4x+1=？a·2x-a？·2xa·2x-a>0，令t=2x，則（1-a）t2+at+1=0，只需其有一正根即可滿足題意.①當(dāng)a=1，t=-1時，不合題意.②上式有一正一負(fù)根t1，t2，即Δ=a2-4？1-a？>0，t1t2=11-a<0， 經(jīng)驗證滿足a· 2x-a>0，所以a>1.③上式有兩根相等，即Δ=0？a= ±22-2，此時t=a2？a-1？，若a=2（2-1），則有t=a2？a-1？<0，此時方程（1-a）t2+at+1=0無正根，故a=2（2-1）舍去；若a=-2（2+1），則有 t=a2？a-1？>0，且a·2x-a=a（t-1）=aa2？a-1？-1=a？2-a？2？a-1？>0，因此a= -2（2+1）.綜上所述，a>1或a=-2-22.點(diǎn)評：此題為綜合性題，需要運(yùn)用偶函數(shù)的定義，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想.注意：在對數(shù)方程求解過程中，有些變形會改變未知數(shù)的范圍，方程可能產(chǎn)生增根或失根，故對數(shù)方程求解后必須檢驗.