極坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)中關(guān)鍵性問題解析

楊龍婷　付現(xiàn)亞

眾所周知，“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”是高中數(shù)學(xué)中的一大教學(xué)難點(diǎn)，更是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接過渡的重要節(jié)點(diǎn)，故而高中數(shù)學(xué)老師或多或少都會(huì)給班級(jí)學(xué)生講授與“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，以此達(dá)到教學(xué)目的.本文以“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)中關(guān)鍵性問題解析”為題，闡明了“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的主要內(nèi)容，隨后結(jié)合具體例題論述了教學(xué)“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”過程中常見的問題，旨在有效解決學(xué)習(xí)過程中遇到的疑難問題.

一、“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的主要內(nèi)容

1.極坐標(biāo)系的主要內(nèi)容

生活中常常用距離和方位兩種元素確定點(diǎn)的位置，將這種方法“數(shù)學(xué)化”之后便是“極坐標(biāo)系”的雛形.高中數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“極坐標(biāo)系”延伸了多樣內(nèi)容，具體為：極坐標(biāo)系的概念；借互化兩種坐標(biāo)系方程的方法讓學(xué)生明晰了解極坐標(biāo)方程的形式；對(duì)一些簡單曲線、過極點(diǎn)直線、極坐標(biāo)方程推導(dǎo)等做以闡釋，讓學(xué)生更加清楚認(rèn)知極坐標(biāo)系；教學(xué)過程中重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，使得學(xué)生會(huì)求簡單曲線的極坐標(biāo)方程，并明確其價(jià)值意義.

2.參數(shù)方程的主要內(nèi)容

在“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”中，數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化、分解合成等數(shù)學(xué)思想應(yīng)用范疇較為廣闊，所以數(shù)學(xué)老師可借此培育學(xué)生的辯證思維.“參數(shù)方程”涵蓋內(nèi)容眾多，不僅涉及直線、圓、圓錐曲線方程等內(nèi)容，而且要求教會(huì)學(xué)生通過優(yōu)化參數(shù)的方式求出已知曲線方程的參數(shù)形式，由此等價(jià)互化參數(shù)方程與普通方程.除此之外，老師也適時(shí)運(yùn)用現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例，利用數(shù)學(xué)習(xí)題加深并鞏固學(xué)生對(duì)參數(shù)方程的學(xué)習(xí)和理解.

二、結(jié)合例題論述教學(xué)“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”過程中常見的問題

在“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)老師必須在高考大綱的指導(dǎo)下開展針對(duì)性教學(xué)，以便學(xué)生能夠掌握該知識(shí)點(diǎn)的考試方向，從而降低學(xué)習(xí)的難度.基于此，此處選定的幾道例題都是高考中曾出現(xiàn)的真題，以期“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”的學(xué)習(xí)能夠深入學(xué)生之心.

1.在極坐標(biāo)系下探求圖形形狀

例1極坐標(biāo)方程ρ=cosθ和參數(shù)方程x=-1-t，

y=2+3t （t為參數(shù)），這兩個(gè)方程所表示的圖形分別是什么？

解析直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)可以互化，根據(jù)公式可知，ρ=cosθ等價(jià)為（x-0.5）2+y2=0.25，表示圓心在（0.5，0）半徑為0.5的圓.再根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化規(guī)則，可知，該參數(shù)方程就是直線方程.因此這兩個(gè)方程所代表的圖形就是圓和直線.

點(diǎn)撥做好此類題目，一是要熟練記憶簡單圖形的曲線方程，二是利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的辦法求出答案.

2.真實(shí)掌握兩類轉(zhuǎn)化

例2已知圓C的參數(shù)方程為x=cosα，

y=1+sinα （α是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1，求直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

解析將圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程x2+（y-1）2=1，直線的直角坐標(biāo)方程為y=1，聯(lián)立兩個(gè)方程即可解得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，1），（-1，1）.

點(diǎn)撥對(duì)于這種類型的題目，老師可教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用交點(diǎn)含義，轉(zhuǎn)化成平面直角坐標(biāo)系的方式解題，亦可用解析幾何知識(shí)求解答案.

例3給定曲線C的參數(shù)方程為x=2+3cosθ，

y=-1+3sinθ，其中θ為參數(shù)，如若直線方程為x-3y+2=0，則曲線C上到直線距離為71010的點(diǎn)有多少個(gè)？

解析曲線C的參數(shù)方程可以轉(zhuǎn)化為普通方程，即（x-2）2+（y+1）2=9，所以可得曲線C是圓心在（2，-1），半徑為3的圓.此外，它和直線相交，圓心到直線的距離為71010，3-71010<71010，故而經(jīng)過圓心，且與直線l平行的直線與圓相交的兩個(gè)點(diǎn)符合題意.

3.感受直線的參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)所代表的幾何意義

例4在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=3-22t，

y=5+22t （t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的單位長度，并且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）圓C的方程為ρ=25sinθ.①求圓C的直角坐標(biāo)方程；②設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，如若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5），求|PA|+|PB|.

解析①圓C的直角坐標(biāo)方程為：x2+（y-5）2=5；

②方法一：把直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，即x+y-3-5=0，將此方程與圓C的直角坐標(biāo)方程相聯(lián)立，計(jì)算得出交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2+5），（2，1+5），將這兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)代入兩點(diǎn)之間距離公式，得出：|PA|+|PB|=32.

方法二：題目中的直線一定經(jīng)過定點(diǎn)P，所以可以把直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得出：（3-22t）2+（22）2=5，即t2-32t+4=0.在此基礎(chǔ)上根據(jù)圖形和參數(shù)t的幾何

意義得出：|PA|+|PB|=|t1+t2|=32.

4.綜合極坐標(biāo)系與參數(shù)方程

例5已知曲線C1的參數(shù)方程是x=2cosφ，

y=3sinφ （φ是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，π3）.

（Ⅰ）求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.

解析由已知可得

A（2cosπ3，2sinπ3），B（2cos（π3+π2，2sin（π3+π2）），

C（2cos（π3+π），2sin（π3+π）），

D（2cos（π3+3π2），2sin（π3+3π2）），

即A（1，3），B（-3，1），C（-1，-3），D（3，-1）.

（Ⅱ）設(shè)P（2cosφ，3sinφ），

令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，

則S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.

因?yàn)?≤sin2φ≤1，所以S的取值范圍是[32，52].

點(diǎn)撥對(duì)于此種類型的題目，老師必須強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)，運(yùn)用好轉(zhuǎn)化思想.

總而言之，高中數(shù)學(xué)老師在開展“極坐標(biāo)系和參數(shù)方程”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)時(shí)，老師必須適宜滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，緊扣教材、悉心講解，從而滿足學(xué)生需求，讓學(xué)生把此類知識(shí)點(diǎn)掌握得更加?jì)故?