剖析函數(shù)中定義域的易錯(cuò)點(diǎn)

趙清華

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線(xiàn)，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三要素之一，是函數(shù)的靈魂.函數(shù)的定義域看似非常簡(jiǎn)單，然而在解決問(wèn)題中若不加以注意，常常會(huì)誤入歧途，導(dǎo)致失誤.下面就學(xué)生在解題時(shí)所出現(xiàn)的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)加以探討.

易錯(cuò)點(diǎn)1求函數(shù)解析式時(shí)不能忽視定義域.

在求函數(shù)的解析式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)解析式的定義域否則所求函數(shù)解析式可能是錯(cuò)誤的.

例1某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為50米，求矩形的面積S關(guān)于矩形長(zhǎng)x的函數(shù)解析式.

解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為（25-x）米.

由題意得S=x（25-x），故函數(shù)解析式S=x（25-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)解析式還欠完整，缺少自變量x的范圍，也就是說(shuō)解題思路不夠嚴(yán)密.因?yàn)閺膶?shí)際出發(fā)，矩形的長(zhǎng)和寬均為正值，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0

評(píng)析這個(gè)例子說(shuō)明，在求解函數(shù)的解析式時(shí)（尤其是在實(shí)際問(wèn)題中），必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)2求反函數(shù)時(shí)錯(cuò)解定義域.

在求解一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，忽略了求反函數(shù)的定義域就是求原函數(shù)的值域這一知識(shí)點(diǎn)，而是根據(jù)反函數(shù)解析式的本身求出其定義域?qū)е鲁霈F(xiàn)錯(cuò)誤.

例2f（x）=a·2x+11+2x是R上的奇函數(shù)：（1）求a的值；（2）求f（x）的反函數(shù)f-1（x）.

解析（1）利用f（x）+f（-x）=0 （或f（0）=0），求得a=1.

（2）由a=1即f（x）=2x-12x+1.

設(shè)y=f（x），則2x（1-y）=1+y，

由于y≠1，故2x=1+y1-y，x=log21+y1-y，

而f（x）=2x-12x+1=1-22x+1∈（-1，1），

所以f-1（x）=log21+x1-x （-1

評(píng)析在求解一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過(guò)確定原函數(shù)的值域來(lái)求解，而不能根據(jù)反函數(shù)解析式本身求解，最后要在反函數(shù)的解析式后標(biāo)明（若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略）.

易錯(cuò)點(diǎn)3判斷奇偶性時(shí)易忽略定義域.

函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以，在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域.

例3判斷函數(shù)f（x）=（x-1）x+1x-1的奇偶性.

解析因?yàn)閤+1x-1≥0 （x+1）（x-1）≥0，

x-1≠0，

x≤-1或x>1.

所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1]∪（1，+∞）.

由于函數(shù)f（x）的定義域在數(shù)軸上不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù).

評(píng)析判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，再用奇偶性定義加以判斷.如果定義域區(qū)間不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)就無(wú)奇偶性可談.

易錯(cuò)點(diǎn)4判斷單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間時(shí)忘記定義域.

在判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須是在定義域范圍內(nèi)，即必須保證函數(shù)有意義.

例4求函數(shù)f（x）=log2（x2+2x）的單調(diào)區(qū)間.

解析先求定義域，因?yàn)閤2+2x>0，

所以x>0或x<-2，則函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（0，+∞）.

令u=x2+2x，當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，u為減函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，u為增函數(shù)；

又f（x）=log2u在（0，+∞）是增函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，即函數(shù)f（x）=log2（x2+2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）.

評(píng)析如果在做此題時(shí)，沒(méi)有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就會(huì)導(dǎo)致失誤，得到錯(cuò)誤的結(jié)論.

易錯(cuò)點(diǎn)5求函數(shù)的值域時(shí)易忽視定義域.

在求函數(shù)值域的相關(guān)問(wèn)題中易忽視解析式本身對(duì)變量的約束關(guān)系，造成定義域范圍的擴(kuò)大，從而導(dǎo)致求解結(jié)果不準(zhǔn)確.

例5已知（x+2）2+y24=1，求x2+y2的取值范圍.

解析由于（x+2）2+y24=1，

得（x+2）2=1-y24≤1，

所以-3≤x≤-1，

從而x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283.

因此當(dāng)x=-1時(shí)x2+y2有最小值1，

當(dāng)x=-83時(shí)，x2+y2有最大值283.

故x2+y2的取值范圍是[1，283].

評(píng)析在解決函數(shù)范圍問(wèn)題時(shí)，要注意幾個(gè)參數(shù)之間的相互制約，要挖掘題目中內(nèi)在的隱含條件，否則易出錯(cuò).