關(guān)于三角函數(shù)求值中平方的技巧

華愛國

三角函數(shù)的給式求值問題是三角變換的重要形式，是體現(xiàn)三角函數(shù)綜合運算能力的一種題型.雖然題目變化多，解題復(fù)雜，但解題思路廣闊，極富挑戰(zhàn)性和思考性，其中平方法就是一種常用的解題技巧，下面舉例介紹平方法的用法，供參考.

一、兩邊同時平方

例1已知-π2

解析（Ⅰ）由sinx+cosx=15，

兩邊平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125，

即2sinxcosx=-2425.

因為（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=4925，

又因為-π2

所以sinx<0，cosx>0，sinx-cosx<0，

故sinx-cosx=-75.

（Ⅱ）3sin2x2-2sinx2cosx2+cos2x2tanx+cotx

=2sin2x2-sinx+1sinxcosx+cosxsinx=sinxcosx（2-sinx-cosx）

=-1225×（2-15）=-108125.

點評在已知條件中，若含有等式sinx±cosx=a時，使用兩邊平方的方法可將其轉(zhuǎn)化為sinxcosx的表達式，為繼續(xù)解題提供了依據(jù).

例2已知sinα=2cosβ①，tanα=3cotβ②，-π2<α<π2 ，0<β<π，求α，β的值.

解析當tanα=0時，cotβ=0，

又-π2<α<π2，0<β<π，

所以α=0，β=π2.

當tanα≠0時，①÷②得cosα=23sinβ.③

①2+③2得2cos2β+23sin2β=1，

所以cos2β=14cosβ=±12.

因為0<β<π，所以β=π3或2π3.

代入①得α=π4或-π4.

故α=0，

β=π2或α=π4，

β=π3或α=-π4，

β=2π3.

點評本題利用兩邊同時平方的手段達到了消元的目的，這是解決三角多元問題求值的主要方法之一.

二、兩式平方相加

例3已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos2α+cos2β的值.

解析由已知得sinα=1-sinβ，①

cosα=-cosβ.②

①2+②2得1=1-2sinβ+1，即sinβ=12，

所以sinα=12.

所以cos2α+cos2β=2-2sin2α-2sin2β=1.

點評在利用兩式平方相加消元時，應(yīng)根據(jù)題目的需要，本題中若直接將已知二式平方，不能夠消元，需將二式移項變形后再平方，才能達到目的.

例4已知0<α<β<γ<2π，且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求β-α的值.

解析由于條件中有三個角α﹑β﹑γ，結(jié)論中只有兩個角α﹑β，故考慮消去γ.因為

sinα+sinβ=-sinγ，①

cosα+cosβ=-cosγ，②

①2+②2得2+2（sinαsinβ+cosαcosβ）=1，

即有cos（β-α）=-12.

又0<α<β<γ<2π，0<β-α<2π，

故β-α=2π3（4π3舍去）.

點評本題對照欲求的結(jié)論，必須將γ消去，把sinγ、cosγ移到等式一邊，再兩邊平方既可消元，又構(gòu)造出含有β-α的三角函數(shù)表達式，使問題順利解決.

三、兩式平方相減

例5（1）求證sin2α-sin2β=sin（α+β）sin（α-β）.

（2）已知sin（α+π12）=12，sin（α-π12）=32，求sin2α的值.

解析（1）因為sin（α+β）sin（α-β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2β=sin2α-sin2β.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論知sin2（α+π12）-sin2（α-π12）=sin2αsinπ6.將已知條件代入得14-34=12sin2α，故sin2α=-1.

點評本題給出了兩個正弦平方相減的一個公式，在適宜的情況下，使用此公式可獲簡解.