圓錐曲線綜合問(wèn)題

張仁志

在每年的高考數(shù)學(xué)試卷中，有關(guān)圓錐曲線的試題約占全卷總分的13%，是相當(dāng)重要的考點(diǎn)，而圓錐曲線綜合問(wèn)題又是難點(diǎn).筆者從平時(shí)教學(xué)中總結(jié)出以下幾個(gè)?？挤较?

考向一圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景的證明題常見(jiàn)的有：證明直線過(guò)定點(diǎn)和證明某些量為定值.而解決這些定點(diǎn)與定值問(wèn)題的方法有兩種：一是研究一般情況，通過(guò)邏輯推理與計(jì)算得到定點(diǎn)或定值，這種方法難度大，計(jì)算量大，且思路不好尋找；另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點(diǎn)或定值，然后驗(yàn)證，這樣在整理式子或求值時(shí)就有了明確的方向.

例1已知拋物線C：x2=4y，過(guò)點(diǎn)M（0，2）任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；

（2）作C的任意一條切線l（不含x軸）與直線y=2相交于點(diǎn)N1，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2|2-|MN1|2為定值，并求此定值.

解設(shè)AB為y=kx+2，代入x2=4y，

得x2=4（kx+2），即x2-4kx-8=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1x2=-8.

直線AO的方程為y=y1x1x；

BD的方程為x=x2.

解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x2，y1x2x1）.

注意到x1x2=-8及x21=4y1，

則有y=y1x2x1=x21x24x1=x1x24=-2，

因此D點(diǎn)在定直線y=-2（x≠0）上.

（2）依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于零，設(shè)切線l的方程為y=ax+b （a≠0），代入x2=4y得x2=4（ax+b），

即x2-4ax-4b=0，由Δ=0得（4a）2+16b=0，

化簡(jiǎn)整理得b=-a2，故切線l的方程可寫(xiě)為y=ax-a2.

分別令y=2，y=-2，

得N1，N2的坐標(biāo)為N1（2a+a，2），N2（-2a+a，-2），

則|MN2|2-|MN1|2=（2a-a）2+42-（2a+a）2=8.

考向二求最值與范圍問(wèn)題的方法

求范圍的方法同求最值及函數(shù)值域的方法類(lèi)似.求最值常見(jiàn)的解法有兩種：代數(shù)法和幾何法.若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；若題目的條件隱蔽，無(wú)明顯的幾何意義時(shí)，一般可用代數(shù)法求解.

例2已知點(diǎn)A（0，2），橢圓E：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的離心率為32，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為233，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求E的方程.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

解（1）（過(guò)程略）E的方程x24+y2=1；

（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，

故設(shè)l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

將y=kx-2代入x24+y2=1，

得（1+4k2）x2-16kx+12=0.

Δ=16（4k2-3）>0，

即k2>34時(shí)，x1，2=8k±24k2-34k2+1，

從而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.

又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=2k2+1.

所以ΔOPQ的面積S△OPQ=12d·|PQ|=44k2-34k2+1.

設(shè)4k2-3=t，則t>0，S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.

當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=±72時(shí)△OPQ的面積最大，此時(shí)l的方程為y=±72x-2.

考向三圓錐曲線中的探索性問(wèn)題

解決存在性問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，結(jié)論不正確則不存在.

（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論.

（2）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.

（3）當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開(kāi)放，采取另外的途徑.

例3已知P（2，3），Q（2，-3）是橢圓上x(chóng)216+y212=1的兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解因∠APQ=∠BPQ，則PA，PB的斜率之和為0.設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，直線PA的直線方程為y-3=k（x-2），由y-3=k（x-2），

x216+y212=1，

得（3+4k2）x2-（24k2+24k）x+16k2+48k+36=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=24k2+24k3+4k2，x1x2=16k2+48k+363+4k2，

則kAB=y1-y2x1-x2=k（x1-x2）x1-x2=12，

所以AB的斜率為定值12.考向四求解某些圓錐曲線的范圍問(wèn)題時(shí)，若一時(shí)找不到相應(yīng)的不等關(guān)系，則需再分析題設(shè)或題段，從中尋找潛在的信息，挖掘出題目的隱含條件，建立不等式，解法獨(dú)辟蹊徑，使問(wèn)題輕松獲解.

例4若在直線 上存在點(diǎn) ，使線段 的中垂線過(guò)點(diǎn) 求橢圓離心率范圍.解：本題目的目標(biāo)是要尋求含離心率 的不等式，而問(wèn)題給出的條件不足以構(gòu)建含 的不等式，只能得到等式.這時(shí)我們無(wú)法看到用什么來(lái)構(gòu)建所需的不等式，對(duì)此，只有采用化隱為顯策略，挖掘隱含條件將等式轉(zhuǎn)化為不等式. 線段 的中垂線過(guò)點(diǎn) ， ，設(shè) 則有 注意到隱含條件 則有 整理化簡(jiǎn)得 解之，得 縱觀近年來(lái)的數(shù)學(xué)高考解答題，對(duì)解析幾何主要考查圓錐曲線的知識(shí)，這類(lèi)題型涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，創(chuàng)新能力高，成為歷年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，筆者本文總結(jié)的一些破解圓錐曲線綜合問(wèn)題的幾種方法，供同行參考.