巧用數(shù)學(xué)思想方法 妙解初中數(shù)學(xué)問題

陳強(qiáng)

數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要注意結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透，從而幫助學(xué)生開拓解題思路，快速找到解題突破口，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

一、巧用分類討論思想解數(shù)學(xué)問題

分類討論思想是解數(shù)學(xué)問題中至關(guān)重要的解題策略.它是指在解某些數(shù)學(xué)問題時，有時會出現(xiàn)多種情況，此時我們需要一一對多種情況進(jìn)行分類討論，然后綜合概括和歸納多種討論結(jié)果，得出正確答案.巧用分類討論思想，有助于避免學(xué)生思維的片面性，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性、嚴(yán)密性和條理性，提升學(xué)生全面思考問題、分析問題和解決問題的能力.

1.巧用分類討論思想解函數(shù)問題

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用較為廣泛，在求解函數(shù)問題過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生正確地運(yùn)用分類討論思想，以避免出現(xiàn)漏解.

例1 求函數(shù)y=（k-1）x2+kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

分析 由于本題中的要件并不是唯一的，因此，在進(jìn)行求解時需要對問題可能出現(xiàn)的情況進(jìn)分類討論：

（1）當(dāng)此函數(shù)為一次函數(shù)時，k=1，可求得與x 軸交點(diǎn)為（-1，0）；

（2）當(dāng)此函數(shù)為二次函數(shù)時，k≠1，Δ=（k-2）2，

①當(dāng)Δ=0時，即k=2，有一個交點(diǎn)（-1，0）；

②當(dāng)Δ<0時，即（k-2）2<0，不存在k的值；

③當(dāng)Δ>0時，即k≠2，有兩個交點(diǎn)（-1，0）、（11-k，0）.

綜上所述，當(dāng)k=1時，與x軸交點(diǎn)為（-1，0）；當(dāng)k≠1且k≠2時，與x軸交點(diǎn)為（-1，0）、（11-k，0）；當(dāng)k=2時，與x軸交點(diǎn)為（-1，0）.

2.巧用分類討論思想解實(shí)際應(yīng)用題

數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活，巧用分類討論思想解實(shí)際應(yīng)用問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生多向思考問題、分析問題和解決問題的能力.

例3 某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶.西裝每套定價200元，領(lǐng)帶每條定價40元，廠方在開展促銷活動期間向顧客提供兩種優(yōu)惠方案：方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶；方案二：西裝領(lǐng)帶均按定價打9折（兩種優(yōu)惠方案不可同時采用）.某店老板要去廠里購買20套西裝和若干條領(lǐng)帶（超過20條），請幫店老板選擇一種較省錢的購買方案.

分析 因為已知條件中未明確購買領(lǐng)帶的數(shù)量，因而較省錢的購買方案也是不確定的，而是由不同的領(lǐng)帶購買數(shù)量決定的.

解 設(shè)店老板需購買領(lǐng)帶x條.

方案一購買需要付款

200×20+（x-20）×40=40x+3200（元），

方案二購買需要付款

（200×20+40x）×0.9=36x+3600（元）.

假設(shè)y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元），

①當(dāng)y>0時，即x>100， 方案二比方案一省錢；

②當(dāng)y<0時，即20

③當(dāng)y=0時，即x=100，方案一和方案二同樣省錢.

二、巧用轉(zhuǎn)化思想方法解數(shù)學(xué)問題

轉(zhuǎn)化思想方法是解數(shù)學(xué)問題中常用的思想方法之一，其實(shí)質(zhì)是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題、抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題、生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，從而使問題得以快速求解.

1.未知問題與已知問題的轉(zhuǎn)化

在解數(shù)學(xué)問題過程中，將未知問題通過變形、轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的已知問題，運(yùn)用已有知識進(jìn)行求解，往往可以化難為易，化繁為簡，使問題很快迎刃而解.

例4 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD相交于O點(diǎn)，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的長.

分析 此題根據(jù)梯形對角線互相垂直的特點(diǎn)，通過平移對角線將等腰梯形轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的直角三角形和平行四邊形，這樣學(xué)生自然就能輕松求解.

解 過D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E，

則可得AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8.

因為AC⊥BD，所以BD⊥DE，

在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2，

所以BD=22BE=42，即AC==42.

2.一般情況與特殊情況的轉(zhuǎn)化

一般問題與特殊問題的轉(zhuǎn)化是轉(zhuǎn)化思想較為常見的轉(zhuǎn)化方式，在解某些數(shù)學(xué)問題時，若用一般方法難以入手，這時可以從它的特殊情況出發(fā)，將一般問題轉(zhuǎn)化成特殊問題進(jìn)行求解，這樣既可以使問題更加直觀簡單，又可以避免繁瑣的計算及推理，有助于學(xué)生解題速率的提高.

例5 如圖2所示，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的長度.

分析 直角三角形是三角形中最為特殊，最簡單的情景，因此，我們可以通過構(gòu)造Rt△解題是轉(zhuǎn)化中最為重要的方法，如圖過A點(diǎn)作AD⊥BC于D，此題便能輕松獲解.

3.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即我們所說的數(shù)形結(jié)合.借助數(shù)與形的轉(zhuǎn)化將代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化，往往可以化抽象為直觀，從而達(dá)到事半功倍的效果.

例6 已知x，y，z，r均為正數(shù)：且x2+y2=z2，zx2-r2=x2，求證：xy=rz.

分析 觀察發(fā)現(xiàn)問題的題設(shè)與勾股定理的結(jié)構(gòu)相似，可聯(lián)想轉(zhuǎn)化為構(gòu)造直角三角形加以解決.

通過構(gòu)造如圖Rt△ABC（如圖3），使得BC=x，AC=y，AB=z.

又因為有zx2-r2=x2，

則可以作CD⊥AB，于是BC2=BD·AB.

即有x2=zx2-CD2.

因為zx2-r2=x2，

所以CD=r，S△ABC=12xy=12rz，即xy=rz.

總之，初中數(shù)學(xué)解題中涉及到的數(shù)學(xué)思想方法較多，在平時教學(xué)中，教師要注意數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透，引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.