巧借數(shù)學(xué)反例 強(qiáng)化概念認(rèn)知

張敏娟

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，反例和證明同等重要.在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)匾刖珶?、典型、具有針對性的反例，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，突破教學(xué)重難點，提升數(shù)學(xué)思維，掌握和鞏固課堂知識.和正例相反，反例是指出某命題不成立的例子，引導(dǎo)學(xué)生去構(gòu)造、辨析反例，可以幫助學(xué)生及時鞏固、消化和吸收數(shù)學(xué)知識，加深對知識的正確理解，避免在解題過程中因為對數(shù)學(xué)概念掌握得不全面、不深入而出現(xiàn)的這樣或那樣的錯誤，建立靈活的數(shù)學(xué)思維.在教學(xué)實踐中，筆者也將反例巧妙地融合到教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在歸納、提煉中深化概念本質(zhì)，讓我們的數(shù)學(xué)課堂在對比、鑒別中別開生面.下面，筆者就結(jié)合教學(xué)實例，從破解概念誤區(qū)、突破概念難點、重組概念認(rèn)知三方面探討小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的運(yùn)用策略，以供同行參考.

一、巧用反例，破解概念誤區(qū)

小學(xué)生的抽象思維能力還不夠成熟，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、定理、法則時，往往容易造成曲解，形成概念誤區(qū).而反例的運(yùn)用可以引導(dǎo)學(xué)生在比較、辨析中自主發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤，正確全面地理解數(shù)學(xué)概念.在教學(xué)中，教師可以選擇典型直觀的教學(xué)反例，把學(xué)生忽略的數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)或是公式的適用范圍得到有力凸顯，以此來破解數(shù)學(xué)概念的誤區(qū)，對概念形成全面、正確、清晰的認(rèn)識和理解.

例如在教學(xué)四年級《認(rèn)識平行》中“平行線”這一概念時，總有部分學(xué)生對“在同一平面內(nèi)永不相交”的含義理解不透，為此在教學(xué)中，我選擇了二種類型的反例來誘導(dǎo)學(xué)生的思維：

1.課件呈現(xiàn)生活中常見的上下交叉的立交橋，引導(dǎo)學(xué)生想一想：在立交橋上面行駛的汽車直線行駛的路線和在立交橋下面公路上行駛的汽車直線行駛的路線是平行線嗎？為什么？

2.出示圖片：

在圖③、圖④中，同一平面內(nèi)的兩條直線不相交就表示一定平行嗎？為什么？

問題1意在通過學(xué)生生活中常見的生活現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生抓住橋上、橋下不在同一個平面內(nèi)而認(rèn)識到立交橋上和橋下的汽車行駛出來的直線不能算平行線.問題2的目的是要讓學(xué)生認(rèn)識到在同一平面內(nèi)所畫的即使是不相交的二段直線，在經(jīng)過無限延長后也會出現(xiàn)相交的可能性.通過上述兩個問題，使學(xué)生認(rèn)識到判斷兩條直線是否平行必需滿足在同一平面內(nèi)和永不相交的兩個條件.可見，反例是破解概念誤區(qū)、強(qiáng)化正確認(rèn)識的有力工具.以反例來強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念，可以讓學(xué)生更加清晰數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和公式的適用范圍，彌補(bǔ)了正面教學(xué)的不足.

二、巧用反例，突破概念難點

由于年齡原因，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在一定的局限性，且受先前的活動和原有知識經(jīng)驗的影響，容易被問題的表象所迷惑，產(chǎn)生消極的思維定勢，出現(xiàn)認(rèn)知片面、概念認(rèn)識模糊.而具有鮮明的直觀特性的反例，可以引起學(xué)生的注意，在正、反對比中撥亂反正，消除思維定勢，幫助學(xué)生突破概念難點，明晰概念的本質(zhì)屬性.

以“乘法分配律”這一概念為例：（a+b）×c=ac+bc.可在實際運(yùn)算中，總會發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在這樣或那樣的錯誤，如：（a+b）×c=ac+b或（a+b）c=ac+c或（a+b）×c=ac×bc等.很顯然，是由于學(xué)生沒有把握乘法分配律的本質(zhì)所在.為了幫助學(xué)生突破對規(guī)律本質(zhì)的機(jī)械記憶，深刻理解概念本質(zhì)，我特意設(shè)置了反例教學(xué)，呈現(xiàn)如下錯例，引導(dǎo)學(xué)生在找錯、辨錯中突破概念難點：

1. 28×101=28×（100+1）=28×100+1.

錯例的引入，意在強(qiáng)化學(xué)生對運(yùn)算定律概念的理解，避免只記住了部分形式，導(dǎo)致的概念理解不透徹.

2. 65+35×18=（65+35）×18=100×18=1800.

錯例的引入，意在提醒學(xué)生不可受簡算意識的影響而急功近利，如果從一開始就懷著明顯的選擇性，就會忽視對運(yùn)算對象的整體把握.

3. 52×99=52×（99+1）=52×100=5200

錯例的引入，意在指出學(xué)生不要受簡算意識的影響而產(chǎn)生一種條件反射，習(xí)慣將數(shù)字湊成整十、整百，在這樣的思維定勢的影響下盲目湊整只會造成解題出錯.

以上教學(xué)，教師特意設(shè)置的反例，可以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，在找錯的過程中使學(xué)生意識到之前的片面認(rèn)知，反思自己在解題過程中對規(guī)律運(yùn)用的偏頗，消除思維定勢的消極作用，加深對數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的認(rèn)識和理解.

三、巧用反例，重獲概念認(rèn)知

入選蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的范例大多是正面的，其編排的優(yōu)勢是顯而易見的，卻也容易讓學(xué)生養(yǎng)成死套公式的習(xí)慣，造成思維的局限性.這種固化的問題解決模式，不利于學(xué)生思維的靈活性，常常在解題時產(chǎn)生錯誤.為此在教學(xué)中，教師可借用學(xué)生的現(xiàn)場錯誤，或者精挑細(xì)選出學(xué)生的典型錯題作為反例引入，容易引起學(xué)生的注意，幫助學(xué)生重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突破知識負(fù)遷移.

例如在教學(xué)百分?jǐn)?shù)時有這樣一道應(yīng)用題：甲、乙兩車從A、B兩地相對而行，甲車需要3小時行完全程，乙車需要4小時行完全程，請問甲車的速度比乙車快多少？學(xué)生錯解：（4-3）÷4=0.25.針對學(xué)生在課堂上的錯誤解答，我順勢以此作為反例引導(dǎo)學(xué)生反思：你認(rèn)為這樣的解答正確嗎？為什么？經(jīng)過討論，學(xué)生認(rèn)為題目中給出了甲、乙兩車行完全程的時間，要求的是甲車的速度比乙車快多少，因而就要求出甲、乙兩車的速度才能進(jìn)行比較，這才是解決問題的關(guān)鍵.通過分析找錯，使學(xué)生再次認(rèn)識到路程、時間和速度三者間的關(guān)系，深化對路程應(yīng)用題的應(yīng)用公式的認(rèn)識.

可見，反例有鮮明的直觀特性，也容易被學(xué)生接受，當(dāng)做一個有效的課堂案例，可以幫助學(xué)生突破原有的認(rèn)知誤區(qū)，構(gòu)建完全的認(rèn)知體系.

綜上所述，反例是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化概念的有力工具，具有簡明、直觀、說服力強(qiáng)的獨(dú)特優(yōu)勢.在教學(xué)中，教師應(yīng)選取具有精煉、典型、針對性強(qiáng)的反例引入課堂，以此豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，凸顯概念本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對概念的深入理解，開辟數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新天地.