問(wèn)題表征對(duì)數(shù)學(xué)解題的作用

作者簡(jiǎn)介：楊超（1993-），男，四川達(dá)州人，教育碩士生，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

摘 要：?jiǎn)栴}表征是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知活動(dòng)中一個(gè)中心環(huán)節(jié)，恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題表征是成功解決問(wèn)題的前提條件。問(wèn)題表征通常是指解題主體將問(wèn)題信息與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，形成問(wèn)題空間的過(guò)程。本文重點(diǎn)探討數(shù)式表征、圖形表征對(duì)數(shù)學(xué)解題的作用，以及問(wèn)題表征能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}表征；數(shù)式表征；圖形表征

中圖分類號(hào)：G633文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）02-0118-02

1、問(wèn)題的提出

在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，我們常常遇到這樣一種情況，即自己對(duì)一個(gè)問(wèn)題“百算不得其解”，并且自身所用解題方法也沒(méi)有任何邏輯上的錯(cuò)誤，而當(dāng)請(qǐng)教同行時(shí)，同行也許很快便完成了問(wèn)題的解答。究其原因，很大程度上是由于不同的解題者對(duì)問(wèn)題的表征不同，從而導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題理解的方向不同，最終形成“百算不得其解”與“迎刃而解”的差別。正如司馬賀說(shuō)的：“問(wèn)題表征是問(wèn)題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，如果一個(gè)問(wèn)題得到了恰當(dāng)?shù)谋碚鳎敲催@個(gè)問(wèn)題就解決了一半[1]”。喻平在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題解決模式中，將解題的認(rèn)知過(guò)程分為：?jiǎn)栴}表征、模式識(shí)別、解題遷移、思維監(jiān)控，其中指出問(wèn)題表征是解題的前提條件，如果不能恰當(dāng)?shù)?、合適的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征，那么便導(dǎo)致模式識(shí)別的失敗，就需要重新對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征。由此可見(jiàn)，問(wèn)題解決過(guò)程中，恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題表征對(duì)解題有至關(guān)重要的意義。

2、問(wèn)題表征的內(nèi)涵

“表征”一詞最早源于認(rèn)知心理學(xué)，即把“信息的記載或表達(dá)方式稱為對(duì)這種信息的表征”。隨后從二十世紀(jì)八十年代，“問(wèn)題表征”開(kāi)始備受關(guān)注，并且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的研究也日趨豐富。Simnon（1986）認(rèn)為問(wèn)題表征包括信息和信息的加工；Goldin（2001）認(rèn)為問(wèn)題表征是一種映射；喻平（2003）認(rèn)為問(wèn)題表征即個(gè)體將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，形成為題空間，包括明確問(wèn)題給定的條件、目標(biāo)和允許的操作[2]。此外，問(wèn)題表征按照不同分類標(biāo)準(zhǔn)可以有多種不同問(wèn)題表征方式，例如Krutetskii（1976）按照數(shù)學(xué)信息加工方式的不同，把問(wèn)題表征分為語(yǔ)言化表征、形象化表征、混合型表征；紀(jì)桂萍（1996）從心理表征方面將問(wèn)題表征分為形象表征和抽象表征；Dixon和Moore（1997）在研究直覺(jué)表征對(duì)問(wèn)題解決中數(shù)學(xué)策略選擇的影響時(shí)，提出了原理表征和綜合表征等。而數(shù)學(xué)是一門(mén)關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，那么在問(wèn)題解決過(guò)程中，任何問(wèn)題的表征都可以看作是由數(shù)學(xué)符號(hào)組成的數(shù)式表征和幾何圖形組成的圖形表征，這種問(wèn)題表征的分類已有了大量的研究。上述Krutetskii（1976）的分類中形象化表征即在解題中偏愛(ài)運(yùn)用視覺(jué)形象表征問(wèn)題，這種視覺(jué)形象便包括數(shù)學(xué)符號(hào)、幾何圖形等。紀(jì)桂萍（1996）所提到的形象表征即對(duì)材料、圖畫(huà)、語(yǔ)音、符號(hào)的表征，抽象表征是對(duì)概念、命題、定理的表征，由此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)式表征、圖形表征分別對(duì)應(yīng)抽象表征、形象化表征；徐明（2002）將問(wèn)題表征分為文字表征、數(shù)式表征、圖式表征、模型表征，其中指出數(shù)式表征即體現(xiàn)數(shù)學(xué)特點(diǎn)的術(shù)語(yǔ)，例如代數(shù)式、方程、集合等，圖表表征即圖形表征與表格；徐厚生、華方（2004）將數(shù)學(xué)問(wèn)題表征分為文字表征、圖形表征、圖示表征，他們指出其中的圖式表現(xiàn)為數(shù)量關(guān)系，圖形表現(xiàn)為幾何關(guān)系。

綜合各研究者的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題表征對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解有重要促進(jìn)作用，它是運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題信息的積極理解，并溝通“已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)”與“問(wèn)題信息”的聯(lián)系形成問(wèn)題空間。并且問(wèn)題表征具有明顯的三個(gè)特點(diǎn)：主動(dòng)性，即問(wèn)題表征是解題者對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能動(dòng)理解；認(rèn)知性，即問(wèn)題表征是一種高級(jí)的思維過(guò)程，是一種認(rèn)知過(guò)程，并且這個(gè)認(rèn)知過(guò)程需要解題者已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積極參與；概括性，即任何數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題表征，都會(huì)在解題者頭腦中形成獨(dú)特的問(wèn)題空間，這個(gè)問(wèn)題空間會(huì)大大簡(jiǎn)化原數(shù)學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜程度，有助于問(wèn)題的成功解決。由此，我們可以將問(wèn)題表征理解為：解題主體將問(wèn)題信息與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，形成問(wèn)題空間的過(guò)程。

此外，問(wèn)題表征可以分為不同的類型，但對(duì)數(shù)學(xué)解題而言，由數(shù)學(xué)符號(hào)組成的數(shù)式表征和幾何圖形組成的圖形表征對(duì)解題是最重要的兩個(gè)方面。研究也表明，恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題表征是解決問(wèn)題的必要前提，在錯(cuò)誤的或者不完整的問(wèn)題空間進(jìn)行搜索，不可能求得問(wèn)題的正確結(jié)果[3]。

3、問(wèn)題表征對(duì)解題的作用

我們已經(jīng)將數(shù)學(xué)問(wèn)題表征分?jǐn)?shù)式表征和圖形表征，并且這兩種表征方式在解題中有重要作用，下面就以一則案例進(jìn)行詳細(xì)闡述。

例：已知x，y，z∈R+，并且x+y+z=1，則函數(shù)f（x，y，z）= x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x2的最小值為

分析問(wèn)題：考察的是不等式最值問(wèn)題，題目所給條件和問(wèn)題有一定的結(jié)構(gòu)特征，可預(yù)測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=13時(shí)取得最小值，則只需要證明這種形式 + + ≥3，則重點(diǎn)在畫(huà)整體為局部，推測(cè)≥33成立（當(dāng)x→0，y→0，z→1時(shí)不等式不成立），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為x2+xy+y2≥x+y（經(jīng)驗(yàn)證此不等式也錯(cuò)誤），再次轉(zhuǎn)化為x2+xy+y2≥32（x+y），此時(shí)問(wèn)題似乎可以解決了。

思路一：著眼于數(shù)量關(guān)系，將x，y，z僅看做是代數(shù)，則重點(diǎn)在于對(duì)根式的變形化歸，則關(guān)鍵步驟為x2+xy+y2=（x+y）2-xy≥（x+y）2-（x+y2）2。

思路二：著眼于幾何圖形，由于題目給的是數(shù)量關(guān)系的不等式，要轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，則需要溝通“數(shù)量關(guān)系形式”與“幾何圖形定理”的聯(lián)系。在觀察根式下代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式，較容易聯(lián)系到余弦定理，則其中的關(guān)鍵步驟為x2+xy+y2=x2+y2-2xycos1200，進(jìn)而題目的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊（需要做一個(gè)三棱錐，其中三條棱分別設(shè)為x，y，z，且三條棱兩兩夾角為1200，此圖略）。

思路三：在上述著眼數(shù)量關(guān)系的變形中，發(fā)現(xiàn)平方關(guān)系，由此在著眼數(shù)量關(guān)系中還聯(lián)想到向量的模，于是又找到一種新的求解方法，其中關(guān)鍵步驟為（x+y）2-xy=（x+y2）2+（32y）2==（x+y2），32y，再有++≥++即可。

綜上，問(wèn)題的解決，一般都可以通過(guò)著眼于數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系得到很好地解決，并且在分別著眼數(shù)量關(guān)系或者幾何關(guān)系時(shí)，兩者還可以在問(wèn)題解決過(guò)程中不斷轉(zhuǎn)化。需要注意的是，數(shù)式表征通常比較簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，具有嚴(yán)格的邏輯推理；圖形表征比較直觀，能輔助解題，即使有時(shí)不能直接得出結(jié)果，但可以誘發(fā)思路幫助解題。

4、問(wèn)題表征能力的培養(yǎng)

（1）形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。無(wú)論任何問(wèn)題的理解、表征，都是依賴于解題者具備良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，這種知識(shí)結(jié)構(gòu)體系就需要對(duì)某個(gè)問(wèn)題所涉及的知識(shí)概念、定理、公式的掌握，并且對(duì)這些知識(shí)能夠靈活記憶、隨時(shí)提取，即良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；此外，良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系還包括解題者曾經(jīng)的解題經(jīng)驗(yàn)、解題記憶、推理方法等，只有這樣在遇到新的問(wèn)題時(shí)，才能對(duì)問(wèn)題準(zhǔn)確、快速的表征，正如笛卡爾曾經(jīng)說(shuō)到：“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題，都將成為范例，這些范例可有助于其他問(wèn)題的解決”。上訴案例中，解題者也必須熟悉不等式相關(guān)知識(shí)，代數(shù)式運(yùn)算，余弦定理，向量等有關(guān)知識(shí)，才能對(duì)問(wèn)題準(zhǔn)確、快速的表征以及之后的操作。

（2）保持嚴(yán)密的思維監(jiān)控。喻平將數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過(guò)程分為問(wèn)題表征、模式識(shí)別、解題遷移和解題監(jiān)控，于文華進(jìn)一步剖析了它們之間的關(guān)系：?jiǎn)栴}表征是模式識(shí)別的基礎(chǔ)，模式識(shí)別是解題遷移的前提，解題監(jiān)控貫穿著整個(gè)解題過(guò)程，且作用于整個(gè)認(rèn)知過(guò)程[4]。很顯然，喻平肯定了思維監(jiān)控對(duì)整個(gè)解題的促進(jìn)作用。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維監(jiān)控就是解題者對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的審視、分析、不斷改進(jìn)和調(diào)整的認(rèn)知過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，嚴(yán)密的思維監(jiān)控可以幫助解題者進(jìn)行一種自我提示，如：?jiǎn)栴}條件是否考慮完了，這樣做可行嗎等。所以，保持嚴(yán)密的思維監(jiān)控，將會(huì)使解題者全面的考慮問(wèn)題。

（3）進(jìn)行問(wèn)題外在表征的專門(mén)訓(xùn)練。前面我們已經(jīng)將問(wèn)題表征分為數(shù)式表征和圖形表征，那么有必要專門(mén)進(jìn)行這兩種表征的訓(xùn)練。事實(shí)上研究表明，學(xué)生問(wèn)題解決不出的關(guān)鍵常常是在表征問(wèn)題時(shí)不能有效的在各種表征方式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換[5]。因此，在實(shí)際解題中，首先應(yīng)該明白問(wèn)題表征對(duì)解題的重要性，就需要養(yǎng)成先仔細(xì)審題的習(xí)慣，弄清題意后在制定解題計(jì)劃，即通常所說(shuō)“磨刀不誤砍柴工”的道理；其次，在表征問(wèn)題時(shí)，因盡可能的從數(shù)式表征、圖形表征兩方面思考問(wèn)題，甚至可以嘗試在這兩種表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，達(dá)到對(duì)問(wèn)題多方面多角度思考，例如上訴案例中，著眼代數(shù)式而重點(diǎn)指向代數(shù)式變形，著眼圖形特征重點(diǎn)在找符合代數(shù)式形式的幾何定理、公式等，最后一種思路則發(fā)生于代數(shù)式變形中找到了與幾何關(guān)系聯(lián)系的向量、三角不等式等；最后，可以用發(fā)聲思維對(duì)腦海中的各種思路進(jìn)行逐一檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其合理性與不合理性，及時(shí)進(jìn)行取舍。

總之，問(wèn)題表征在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中具有重要促進(jìn)作用，同時(shí)是優(yōu)化解題活動(dòng)和追求數(shù)學(xué)問(wèn)題普遍化的重要手段，同時(shí)它也可以作為一種好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對(duì)改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)等有促進(jìn)作用，應(yīng)該在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中引起重視。

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）