把握知識(shí)來(lái)龍去脈有效促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

連世友

學(xué)生要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)全面理解與把握，就需要通過(guò)親身經(jīng)歷來(lái)實(shí)現(xiàn)，并且還伴隨著一系列的分析、綜合的方法，努力經(jīng)過(guò)體驗(yàn)、探究、驗(yàn)證的過(guò)程，充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么”“與什么有關(guān)聯(lián)”“有什么用、怎樣用”，也就是從最初的模糊朦朧、未分化的理解逐漸過(guò)渡到明確清晰、分化的理解。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是最有效的學(xué)習(xí)，這也就是我校數(shù)學(xué)課題組進(jìn)行“小學(xué)數(shù)學(xué)各學(xué)段教學(xué)有效銜接的研究”課題研究的目的所在。只有全面把握數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，才能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面理解。

一、把握數(shù)學(xué)知識(shí)生成點(diǎn)，內(nèi)化數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性和連續(xù)性。學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，是先認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的外部特征，構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后在建立新舊知識(shí)聯(lián)系的動(dòng)態(tài)體驗(yàn)、探究的過(guò)程中，抽取并全面理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達(dá)到掌握并應(yīng)用新知的最終目標(biāo)。因而，教師在教授新知時(shí)應(yīng)充分引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)知新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，把握好數(shù)學(xué)知識(shí)的生成點(diǎn)，即“是什么”和“為什么”，從而內(nèi)化為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)性的理解。

例如，“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”的教學(xué)。當(dāng)教師通過(guò)對(duì)同分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法復(fù)習(xí)之后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究：①“■+■”為何不能直接相加減？②如何轉(zhuǎn)化為已學(xué)的知識(shí)解決？③我們可以有哪些方法解決這個(gè)問(wèn)題？討論后，得到以下幾種解決方法：①化小數(shù)計(jì)算；②畫(huà)圖推導(dǎo)計(jì)算；③通分計(jì)算。再讓學(xué)生進(jìn)行比較，認(rèn)識(shí)其共同點(diǎn)：都是把新知轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法加以解決。同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)討論比較得到最優(yōu)方法——通分計(jì)算。讓學(xué)生尋找“同分母分?jǐn)?shù)加減法”和“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的本質(zhì)聯(lián)系——只有分?jǐn)?shù)單位相同才能直接相加減。

對(duì)于“為什么只有分?jǐn)?shù)單位相同才能直接相加減”這一結(jié)論，此時(shí)學(xué)生還無(wú)法真正理解其本質(zhì)屬性，教師與學(xué)生需要作進(jìn)一步深入探究。此時(shí)，教師可將“整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)”加減法的計(jì)算法則通過(guò)課件予以展示，讓學(xué)生通過(guò)比較內(nèi)化：整數(shù)加減法是相同數(shù)位對(duì)齊；小數(shù)加減法是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；分?jǐn)?shù)加減法是分母相同才能直接相加減。這三者實(shí)際上都體現(xiàn)了加、減法運(yùn)算法則的本質(zhì)特征：只有相同計(jì)數(shù)單位才能相加減。學(xué)生只有明白了數(shù)學(xué)知識(shí)的生成點(diǎn)在哪兒，才能真正內(nèi)化為自己對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解。

二、找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展點(diǎn)，優(yōu)化數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本在于理解?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》提出了“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題的能力”的總目標(biāo)。學(xué)生只有理解一個(gè)熟悉的問(wèn)題是怎樣被提出來(lái)的，一個(gè)數(shù)學(xué)概念是怎樣形成的，一個(gè)數(shù)學(xué)公式或法則是怎樣獲得和應(yīng)用的，才能讓已經(jīng)存在于學(xué)生頭腦中的那些不成熟的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)體驗(yàn)上升并發(fā)展到全新的科學(xué)結(jié)論，從而找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接點(diǎn)與發(fā)展點(diǎn)——數(shù)學(xué)模型的建立，讓學(xué)生進(jìn)一步優(yōu)化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)屬性的豐富理解。

例如，人教版四上“常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系”中“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”一課。教材以“你知道單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)之間的關(guān)系嗎？”為問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，自主探索、總結(jié)出數(shù)量關(guān)系——單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。其實(shí)學(xué)生從二年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)了乘法和除法，為了體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)具有延續(xù)性和發(fā)展性，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系起來(lái)想一想：為什么“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”要用乘法？而“總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量”“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)”又是用除法呢？先分析一下：?jiǎn)蝺r(jià)是單一數(shù)量下的價(jià)格，相當(dāng)于每份是多少；數(shù)量相當(dāng)于幾份；總價(jià)就是求“幾個(gè)幾是多少”。

而后，引導(dǎo)學(xué)生回顧二年級(jí)下冊(cè)教材中“一乘二除”的圖示（圖1），寫(xiě)出相應(yīng)的算式。

思考：每道題寫(xiě)出的算式中，哪個(gè)數(shù)相當(dāng)于“單價(jià)”？哪個(gè)數(shù)相當(dāng)于“數(shù)量”？哪個(gè)數(shù)又相當(dāng)于“總價(jià)”？從而讓學(xué)生理解“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”之間的關(guān)系，就是乘除法之間的關(guān)系的一種具體表現(xiàn)，即將眾多的“一乘二除”問(wèn)題歸之于乘法，這就生動(dòng)詮釋了“乘法是一個(gè)筐，許多東西都可以往里面裝”的形象。為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)“路程、速度、時(shí)間”與“乘除法意義和各部分間的關(guān)系”奠定了良好的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步發(fā)展構(gòu)建了“關(guān)系”模型，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解達(dá)到最優(yōu)化。

三、注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)延伸點(diǎn)，深化數(shù)學(xué)理解

我們知道，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是依據(jù)兒童年齡特征發(fā)展和不同階段的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，以螺旋上升的方式呈現(xiàn)出來(lái)的。不論是相同模塊的同一知識(shí)，或是不同模塊的不同知識(shí)，它們之間都存在著或多或少的關(guān)聯(lián)。這種關(guān)聯(lián)的產(chǎn)生，是因?yàn)槊總€(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都有著其本身的內(nèi)涵和外延，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有找準(zhǔn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)都置于整體知識(shí)的體系中，處理好單一知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受知識(shí)的整體性，體會(huì)對(duì)于單一數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解，才能夯實(shí)學(xué)生的“四基”，增強(qiáng)學(xué)生的“四能”。

例如，人教版“觀察物體”的教學(xué)。人教版教材將“圖形與幾何”模塊中的“觀察物體”內(nèi)容，分三個(gè)階段在不同年級(jí)進(jìn)行教學(xué)。首先是二年級(jí)上冊(cè)第五單元“觀察物體（一）”。該單元的設(shè)計(jì)內(nèi)容和目標(biāo)是建立在二年級(jí)學(xué)生認(rèn)知能力還很薄弱、空間想象力還不夠完善，因而以“知道從不同位置觀察到的物體形狀可能是不同的，能辨認(rèn)從不同位置看到的簡(jiǎn)單物體的形狀，能辨認(rèn)從不同位置看到的簡(jiǎn)單幾何形體的形狀”為教學(xué)目標(biāo)，逐步讓學(xué)生感受物體局部與整體的關(guān)系，初步形成全面看待事物的意識(shí)，為第二階段學(xué)習(xí)“觀察物體”提供了智力支持和學(xué)習(xí)延伸點(diǎn)，即位置不同，觀察到的物體輪廓就可能不同。

其次是四下第二單元“觀察物體（二）”。該單元知識(shí)是建立在二年級(jí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上。這一階段，學(xué)生的空間想象力得到有效提升，空間方向感有了明顯增強(qiáng)，空間推理能力有了一定基礎(chǔ)，因而以“能辨認(rèn)從不同位置觀察一個(gè)用正方體搭成的幾何組合體的形狀，并認(rèn)識(shí)到從同一位置觀察不同物體，看到的形狀可能相同也可能不同”為教學(xué)目標(biāo)，逐步培養(yǎng)學(xué)生從單一物體觀察到多樣物體組合觀察的空間想象力和推理能力。此時(shí)學(xué)生對(duì)所觀察的物體表象特征有了更明確的判斷推理能力，經(jīng)歷了由二維圖形延伸到三維圖形的過(guò)程，為五年級(jí)“反推”能力的培養(yǎng)奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

最后是五年級(jí)下冊(cè)第一單元“觀察物體（三）”。本單元內(nèi)容是在前面學(xué)習(xí)了從不同角度觀察實(shí)物與單個(gè)實(shí)體圖形，以及幾何組合體的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，主要是讓學(xué)生“根據(jù)給出的從一個(gè)方向或三個(gè)方向看到的形狀圖，用給定數(shù)量或是不確定數(shù)量的小正方體擺出相應(yīng)的幾何組合體，體會(huì)不同擺法和有些擺法的確定性”。這是前面兩個(gè)階段學(xué)習(xí)的延伸與提升，學(xué)生在不斷經(jīng)歷觀察、操作、想象、猜測(cè)、分析和推理的過(guò)程中，逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為第三學(xué)段的全立體、全方位學(xué)習(xí)三維空間圖形奠定了良好的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)理解是多維度的、復(fù)雜的。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解并不是一蹴而就的事情，需要教師整體把握教材，找準(zhǔn)各學(xué)段相關(guān)知識(shí)的有效銜接點(diǎn)，并給學(xué)生提供有效的學(xué)習(xí)資源和素材，給學(xué)生充足的時(shí)間和空間進(jìn)行探究活動(dòng)，積累豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：福建省福州市西園中心小學(xué)）