幾何直觀能力培養(yǎng)的教學(xué)策略

劉德宏

【摘 要】幾何直觀是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的10個(gè)核心概念之一。幾何直觀是學(xué)生的一種能力，更是一種有效的思維方式，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有非常重要的作用。作為教師，必須掌握幾何直觀的深刻內(nèi)涵及其培養(yǎng)策略，進(jìn)而扎實(shí)有效地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 深刻內(nèi)涵 培養(yǎng)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版》明確指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要幫助學(xué)生初步形成幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形來描述和分析問題。借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于啟迪解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。

幾何直觀是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，是一種創(chuàng)造性的思維方式，在學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起著表征數(shù)學(xué)事實(shí)、啟迪解題思路、預(yù)測(cè)解題結(jié)果、解決數(shù)學(xué)問題的重要作用。因此，教師在教學(xué)中，必須采取行之有效的教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

一、強(qiáng)化意識(shí)，感受價(jià)值——培養(yǎng)幾何直觀的首要前提

具有幾何直觀的意識(shí)是順利解決“圖形與幾何”及“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域問題的一個(gè)首要前提。教學(xué)中，教師要將幾何直觀作為必須培養(yǎng)的目標(biāo)，適時(shí)在教學(xué)中示范圖示策略，培養(yǎng)借助圖形解決問題的良好習(xí)慣，讓學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能主動(dòng)自覺地想到把數(shù)學(xué)問題用畫圖的方法直觀形象地呈現(xiàn)出來，清楚地表示出問題情境里的信息，感受幾何直觀的價(jià)值。

例如，教學(xué)下面這樣一道純文字形式呈現(xiàn)的問題：

利民小學(xué)原來有一個(gè)長(zhǎng)為50米的長(zhǎng)方形操場(chǎng)，擴(kuò)建校園后，變成長(zhǎng)增加了10米的長(zhǎng)方形，這樣面積比原來增加了400平方米，原來操場(chǎng)的面積是多少平方米？

理解題意時(shí)，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，也沒有直接要求學(xué)生畫圖，目的是讓學(xué)生體會(huì)“光看文字，一下子想不出方法”，從而誘發(fā)畫圖整理信息的需求。接著采用“嘗試—講評(píng)—完善”的教學(xué)方式，讓學(xué)生完成完整的示意圖，清楚地表示出題目里的信息，再引導(dǎo)學(xué)生將文字?jǐn)⑹雠c示意圖進(jìn)行比較，突出示意圖簡(jiǎn)明形象的作用。完成解題后，要求學(xué)生回顧反思上面的解題歷程，再次強(qiáng)化幾何直觀意識(shí)，感受畫圖策略的價(jià)值。

二、引導(dǎo)觀察，積累表象——培養(yǎng)幾何直觀的重要基礎(chǔ)

表象是形象思維的基礎(chǔ)元素。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)物、模型、圖形進(jìn)行觀察、測(cè)量、拼擺等活動(dòng)，從整體上感知數(shù)學(xué)對(duì)象，產(chǎn)生深刻的體驗(yàn)，逐步積累豐富的幾何表象。實(shí)踐證明，學(xué)生大腦中積累的表象越豐富，就越容易把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的表象，也能從直觀的表象中抽象出問題的本質(zhì)，從而探究到解題的思路。學(xué)生在頭腦中如有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐的表象，在解決與此有關(guān)的問題時(shí)，就能自覺地聯(lián)想到圖形，畫出示意圖，表征信息，解決問題。

例如，有這樣一道題：“一個(gè)圓柱體，如果把它的高截短2厘米，它的表面積就減少25.12平方厘米，這個(gè)圓柱體的底面半徑是多少厘米？截短后，體積比原來減少了多少立方厘米？”學(xué)生在解決這道題時(shí)，要在頭腦中聯(lián)想到圖形，考慮到表面積減少的部分就是上面一個(gè)小圓柱的側(cè)面積，從而用側(cè)面積除以高得到底面周長(zhǎng)，這樣，問題就容易解決了。

三、數(shù)形結(jié)合，啟迪思路——培養(yǎng)幾何直觀的核心思想

幾何直觀的核心是借助圖形來描述和分析問題?！靶稳睌?shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀”，借助“形”的直觀來研究“數(shù)”的特征，可使抽象的數(shù)學(xué)問題變得形象直觀，有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，啟迪思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

例如，計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 。解題時(shí)，先讓學(xué)生嘗試計(jì)算，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后再利用規(guī)律，簡(jiǎn)便計(jì)算。

這樣的解題過程，將數(shù)轉(zhuǎn)換成形，學(xué)生受到圖形的啟發(fā)，能夠發(fā)現(xiàn)“從1開始，連續(xù)奇數(shù)的和，等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方”這一數(shù)學(xué)規(guī)律，最后利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，簡(jiǎn)便地算出了得數(shù)。幾何直觀的確起到了化繁為簡(jiǎn)，化抽象為直觀，啟迪解題思路的作用，同時(shí)也有機(jī)地滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

四、動(dòng)手操作，加深理解——培養(yǎng)幾何直觀的合適路徑

“智慧自動(dòng)作發(fā)端”。擺實(shí)物、做模型、畫圖形等動(dòng)手操作活動(dòng)能調(diào)動(dòng)多種感官，將眼前的物體、畫出的圖形、腦中的表象有機(jī)地聯(lián)系在一起，更直觀地凸顯出幾何圖形、形體的特征，有利于理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

例如，學(xué)生對(duì)“角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)”這一結(jié)論非常難以理解，真正是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。為了有效地突破這一難點(diǎn)，教師課前給每個(gè)學(xué)生發(fā)一張紙，紙上畫著兩個(gè)邊的長(zhǎng)短不同而大小相等的角，然后讓學(xué)生用兩個(gè)活動(dòng)角分別把紙上的兩個(gè)角“拓印”下來，接著，把兩個(gè)活動(dòng)角重合比較，“角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)”這一結(jié)論就自然呈現(xiàn)了。通過這樣的一個(gè)獨(dú)具匠心的活動(dòng)，使學(xué)生直觀地理解了數(shù)學(xué)結(jié)論的實(shí)質(zhì)，提高了學(xué)生的幾何直觀能力。

五、語言互譯，正確轉(zhuǎn)換——培養(yǎng)幾何直觀的關(guān)鍵措施

數(shù)學(xué)語言有文字語言、符號(hào)語言、圖形語言，各種數(shù)學(xué)問題也就有不同的呈現(xiàn)方式。教學(xué)中，為了幫助學(xué)生理解題意，可引導(dǎo)學(xué)生將抽象的文字形式呈現(xiàn)的問題翻譯成直觀的符號(hào)語言、圖形語言呈現(xiàn)的問題，從而化抽象為直觀，化繁為簡(jiǎn)，找到解題的捷徑。

例如，有這樣一道題目：“甲、乙兩數(shù)的和為36，乙數(shù)是甲數(shù)的3倍，甲、乙兩數(shù)各是多少？”這道純文字描述的問題，俗稱文字題，比較抽象，可轉(zhuǎn)換為□+□×3=36→□×4=36，這樣容易理解，也便于作答。也可以畫線段圖分析。48的因數(shù)有哪些？可轉(zhuǎn)換為（ ）×（ ）=48，這樣能幫助學(xué)生成對(duì)地找出48的因數(shù)，加深對(duì)因數(shù)意義的理解。

再如，教學(xué)這樣的一道題：“一輛汽車從甲地開往乙地，已行了全程的一半還多10千米，還剩40千米沒有行，甲乙兩地相距多少千米？”很多學(xué)生往往這樣列式：（40-10）×2，我們可以啟發(fā)學(xué)生畫出如下示意圖，描述已知條件和問題，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，分析錯(cuò)誤原因，探尋正確的思路。

有了這樣的線段圖，可以清楚地看出全程的一半是（40+10），而不是（40-10），從而將題目中的數(shù)量關(guān)系與直觀圖形的意義一一對(duì)應(yīng)起來，探尋到解題的思路，體會(huì)到線段圖的價(jià)值。

經(jīng)常進(jìn)行抽象的文字語言、直觀的符號(hào)語言與圖形語言之間的翻譯與轉(zhuǎn)換，可幫助學(xué)生深刻地理解題意，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，提升思維層次，提高解決問題的能力。

六、聯(lián)想想象，拓展空間——培養(yǎng)幾何直觀的正確途徑

聯(lián)想推理能力和空間想象能力是幾何直觀能力的核心。聯(lián)想與想象能拓展學(xué)生幾何直觀思維的空間，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高自主學(xué)習(xí)能力。如在教學(xué)“平面圖形的面積（復(fù)習(xí) ）”時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生：能不能根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式S=（a+b）h÷2，在頭腦中發(fā)揮想象，推出其他圖形的面積計(jì)算公式呢？學(xué)生立刻開動(dòng)腦筋，展開豐富的想象。

教師及時(shí)組織學(xué)生交流。有的說：當(dāng)梯形的上底縮小為一點(diǎn)即長(zhǎng)度為0時(shí)，梯形就變成了三角形，由此能夠得到三角形的面積公式為S=ah÷2；有的說：當(dāng)梯形的下底縮短到與上底一樣長(zhǎng)時(shí)，梯形就變成了平行四邊形，由此得到平行四邊形的面積計(jì)算公式S=（a+b）h÷2=2a×h÷2=ah；有的說：當(dāng)梯形的上底、下底都與高相等時(shí)，梯形就變成了正方形，由此就得到正方形的面積計(jì)算公式S=

（a+b）h÷2=（a+a）×a÷2=2a×a÷2= a2。

通過這樣的聯(lián)想與想象，構(gòu)建了平面圖形之間的聯(lián)系，深刻地理解了平面圖形的面積計(jì)算公式，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力。

七、媒體輔助，展示直觀——培養(yǎng)幾何直觀的有效手段

多媒體信息技術(shù)可以給學(xué)生展示生動(dòng)直觀的幾何形象，呈現(xiàn)圖形的演變過程，擴(kuò)大視角，啟迪思路，培養(yǎng)思維，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

例如，推導(dǎo)“圓的面積計(jì)算公式”，當(dāng)把圓平均分成32份、64份、128份……時(shí)，等分的份數(shù)多了，學(xué)生就難以操作了，拼成的圖形接近什么圖形？也只能憑想象。教師讓學(xué)生說出自己的想象后，充分發(fā)揮課件優(yōu)勢(shì)，及時(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，驗(yàn)證學(xué)生的猜想：等分的份數(shù)越多，拼成的圖形可能就越接近長(zhǎng)方形。最后引導(dǎo)學(xué)生找出拼成的長(zhǎng)方形與圓之間的聯(lián)系，從而有效地推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。

在上面的動(dòng)態(tài)演示過程中，多媒體技術(shù)給學(xué)生強(qiáng)大的視覺沖擊，直觀形象地展示了學(xué)生難以拼補(bǔ)的圖形，發(fā)揮了啟迪思考路徑、提升思維能力這一功能，也有機(jī)地滲透了極限的數(shù)學(xué)思想。

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)要求之一。作為教師，要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)化幾何直觀的意識(shí)，教給學(xué)生圖示直觀的方法，優(yōu)化學(xué)生的思維方式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊豫暉，李鐵安.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀·小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012.

（江蘇射陽縣教育局教研室 224300）