如何建立正確的圖形表象

任寧

【摘 要】學(xué)生對幾何形體特征的理解，對周長、面積、體積的計(jì)算，往往是離開了這些幾何實(shí)體，而依賴于頭腦中對物體的形狀、大小和相互位置關(guān)系的形象的反映，這就要求學(xué)生具有一定的空間觀念，因而在“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，幫助學(xué)生形成正確的空間表象尤為重要。以“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，通過有針對性的前測活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)習(xí)過程能夠更加貼合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，通過別具匠心的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察比較，建立正確的圖形表象，借助操作感知，把握圓的本質(zhì)內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】圓的認(rèn)識(shí) 圖形表象 本質(zhì)內(nèi)涵

一、“圓”是什么

（一）教材中的圓

關(guān)于圓的嚴(yán)格定義，有一些不同的表述形式，以下列舉兩種初中教材中圓的定義。靜態(tài)定義：在同一平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫作圓。動(dòng)態(tài)定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。

小學(xué)教材一般沒有對圓下嚴(yán)格的定義。以常見的三種版本的教材為例，人教版（見圖1）和蘇教版（見圖2）教材都是直接出示了生活中一些圓形的物體圖案（摩天輪、水波紋、光盤、鐘面等）引出圓；北師大版（見圖3）教材是通過判斷“哪種套圈游戲最公平”，憑學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)（每個(gè)人到中心的距離相同）引出圓。

（二）學(xué)生眼中的圓

“圓”是生活中較為常見的幾何圖形，但是在生活中，“圓”常常不以本來面目示人。對于低段學(xué)生來說，從小就被告知太陽是圓的、地球是圓的，然后就逐漸把“圓”和“球”混淆在一起。后來，又被告知硬幣是圓的、紐扣是圓的，又混淆了“稍扁的圓柱形物體”和“圓”。而對于高段學(xué)生來說，經(jīng)常會(huì)有老師在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的時(shí)候，拿著一張圓形紙片說：“把這個(gè)圓平均分成……”這時(shí)，又把“圓面”和“圓周”混為一談（雖然圓形紙片嚴(yán)格意義上來說是圓柱形，但這里姑且先看作圓面）。以上這些認(rèn)識(shí)誤區(qū)都在筆者的預(yù)料之中，但也有意料之外的發(fā)現(xiàn)，筆者對本校50名學(xué)生進(jìn)行了前測，有22名學(xué)生認(rèn)為橢圓也是圓，經(jīng)過訪談得知，他們的理由類似于“鯨魚是魚，那么橢圓就是圓”。

綜上所述，雖然學(xué)生對圓非常熟悉，但是熟悉之中卻有很多陌生之處，也有很多誤解。因此，筆者認(rèn)為“圓的認(rèn)識(shí)”一課應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：通過觀察比較，建立正確表象；借助操作感知，把握圓的本質(zhì)。

二、“圓”怎么教

（一）處處滲透，充分對比，建立正確圖形表象

1.“圓周”or“圓面”

對于六年級(jí)的學(xué)生來說，“球”和“圓”的區(qū)別自然已經(jīng)不是問題，但對圓是一條“封閉曲線”還是一個(gè)“圓面”這個(gè)問題卻仍然模棱兩可。因此，在本課中應(yīng)該適時(shí)地向?qū)W生滲透“圓是一條封閉曲線”這一事實(shí)。

【片段一】

課件出示一些生活中的物體（如圖4：奔馳車車標(biāo)、車輪、硬幣、方形鐘面）。

師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了怎樣的圖形是圓，那你能在這些圖形中找到圓嗎？

學(xué)生上臺(tái)用教鞭指一指每個(gè)圖形中的圓在哪里。

……

最后課件隱去實(shí)物圖形，留下圓的幾何圖案。

就像小學(xué)階段的大多數(shù)數(shù)學(xué)概念一樣，圓的概念不直接進(jìn)行定義，而是采用直觀描述的方式直接告訴學(xué)生：像這樣的圖形就是圓。由于是直接從常見的物體中引出幾何圖形，那么從實(shí)物到圖形的抽象過程是必不可少的。特別是本例中的硬幣，學(xué)生在之前可能會(huì)以為硬幣就是一個(gè)圓，而在隱去實(shí)物圖留下幾何圖形之后，才能讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到硬幣的輪廓線是圓，從而對圓這種圖形有更加科學(xué)的認(rèn)知。

在小學(xué)教材里對于直徑一般是這樣進(jìn)行定義的：通過圓心并且兩端都在圓上的線段。可是教材對于什么是“圓上”卻沒有進(jìn)行告知。對“圓上”的理解實(shí)則有助于學(xué)生進(jìn)一步區(qū)分“圓周”和“圓面”，因此我們可以在學(xué)生學(xué)習(xí)直徑、半徑時(shí)予以滲透。

【片段二】

師：（出示圖5）哪些是半徑？哪些是直徑？（生答略）

師：為什么這些不是呢？

生：這條OB的端點(diǎn)沒有在圓上。

師：你能來指一指圓上在哪里嗎？（生指圓周）

師：B這個(gè)端點(diǎn)不在圓上，那是在哪里呢？

生：圓內(nèi)。

師：那這條GH呢？

生：H這個(gè)端點(diǎn)在圓外。

師：是啊，圓的半徑是一條線段，有兩個(gè)端點(diǎn)，其中一個(gè)在圓心，另一個(gè)在圓上。

師：那么這條MN為什么不是直徑呢？

生：因?yàn)樗鼪]有通過圓心。

由于生活經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，許多學(xué)生都會(huì)誤認(rèn)為圓周內(nèi)的部分就是“圓上”。本環(huán)節(jié)讓學(xué)生結(jié)合直徑、半徑的定義自主區(qū)分圓上、圓內(nèi)、圓外，進(jìn)而再次明確“圓是一條封閉曲線”的事實(shí)。

2.“靜態(tài)”and“動(dòng)態(tài)”

如文始所述，圓的定義有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)之分。對于小學(xué)生來說，自然不必知曉這兩種定義的文字描述，但是我們可以在具體的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中讓學(xué)生感悟兩種定義的區(qū)別。

【片段三】

課件出示一些生活中的物體（奔馳車車標(biāo)、車輪、硬幣、方形鐘面）。（同片段一）

……

師：（指著方形鐘面）這里有圓嗎？

生：沒有。

生：有的，如果分針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈就會(huì)形成一個(gè)圓。

師：大家能想到他說的圓嗎？請你上來指給大家看。

生：（用手勢指出分針轉(zhuǎn)動(dòng)后針尖所經(jīng)過的軌跡）這就是圓。

師：（課件演示分針的動(dòng)態(tài)，抽象出圓）太厲害了，連這樣隱藏的圓都被你找到了。

靜態(tài)的圓容易感知，動(dòng)態(tài)的圓不好發(fā)現(xiàn)。為了指向性更加明確，這里特意設(shè)計(jì)了方形的鐘面，逼迫學(xué)生排除鐘面形狀的干擾從另外的角度去尋找圓，進(jìn)而利用課件動(dòng)畫演示分針轉(zhuǎn)動(dòng)形成的圓，讓學(xué)生直觀理解動(dòng)態(tài)定義的圓——“在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形?！痹谶@里滲透圓的動(dòng)態(tài)定義，讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)隨著針尖的轉(zhuǎn)動(dòng)慢慢形成一個(gè)圓，向?qū)W生傳達(dá)了“圓是點(diǎn)的集合”這樣一個(gè)本質(zhì)，對于學(xué)生建立正確的圖形表象大有裨益。

3.“規(guī)范”+“嚴(yán)謹(jǐn)”

學(xué)會(huì)畫圓是本節(jié)課的重要目標(biāo)之一，在六年級(jí)學(xué)習(xí)畫圓之前，學(xué)生在生活中已經(jīng)大量接觸過畫圓，會(huì)用圓形物體的邊沿畫圓，但是也會(huì)有一些認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，需要糾正，以幫助學(xué)生形成正確規(guī)范的表象。

【片段四】

師：我們知道了圓是這樣的封閉的曲線圖形，那么怎樣才能把圓畫出來呢？

課件依次出示前測結(jié)果：

（1）用圓形物體畫。

師：怎么用圓形物體來畫圓？

生：比如拿一個(gè)茶杯蓋子，用鉛筆描著畫圓。

師：大家以前畫過嗎？

生：畫過。

（2）用量角器來畫。

師：（出示一個(gè)量角器）這個(gè)能畫圓嗎？ '生：把兩個(gè)量角器合起來就可以畫了。

師：（課件出示兩把量角器，如圖6）這樣能畫出一個(gè)圓嗎？請你試一試。

生：不行，要把中間那些空白的部分去掉。

在這里設(shè)計(jì)“用量角器畫圓”環(huán)節(jié)，是基于學(xué)生的學(xué)情。在前期的試教過程中，經(jīng)常有學(xué)生提及用量角器畫圓，在部分學(xué)生的印象中，量角器就是一個(gè)半圓，合起來自然是一個(gè)圓了。因此，這里有必要通過學(xué)生親自動(dòng)手嘗試和課件的演示糾正這個(gè)錯(cuò)誤的認(rèn)知，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（二） 操作感知，切換表象，把握圓的真正本質(zhì)

1.不同畫法，抽象本質(zhì)

在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)本課之前，基本都知道用圓規(guī)能夠畫圓（雖然不一定畫得規(guī)范正確），但是很少有接觸過用釘繩工具畫圓。而釘繩工具畫圓的方法能夠更好地幫助學(xué)生理解圓的兩個(gè)要素——定點(diǎn)、定長，以及直觀地看到“半徑”——繩子，通過兩種畫法的對比，可以使學(xué)生頭腦中的圖形表征得以顯性化，充分體悟圓的本質(zhì)。

【片段五】

課件出示兩種畫圓方法的圖（如圖7）。

師：想一想，剛才用這兩種方法畫圓的過程有什么一樣的地方？（生獨(dú)立思考，同桌交流）

生：在畫圓的時(shí)候，都有一個(gè)點(diǎn)要固定住。

師：這個(gè)點(diǎn)在用圓規(guī)畫圓時(shí)是——針尖；在用釘繩工具畫圓時(shí)是——磁釘。

生：還有這段距離不能變。

師：這段距離在用圓規(guī)畫圓時(shí)是——針尖到筆芯的距離，在用釘繩工具畫圓時(shí)是——繩子的長度。

師：是啊，通過兩種畫圓方法的比較，我們知道了畫圓就是要先“定點(diǎn)”，再“定長”。（板書：定點(diǎn)、定長）

在比較兩種看似不同實(shí)則相似的畫圓方法的過程中，學(xué)生通過觀察分析、歸納概括，溝通半徑、圓心和畫圖工具之間的聯(lián)系，找到了畫圓方法的本質(zhì)——定點(diǎn)、定長。在后續(xù)的練習(xí)中，也會(huì)出現(xiàn)這樣的題目——“畫一個(gè)直徑為4cm的圓，那么圓規(guī)兩腳間的距離是（ ）”，讓學(xué)生在靜態(tài)的圖像和動(dòng)態(tài)的操作間反復(fù)切換，以此來進(jìn)一步鞏固學(xué)生對圓的認(rèn)知，為更好地理解圓的相關(guān)知識(shí)奠定了基礎(chǔ)。

2.細(xì)節(jié)糾偏，鞏固本質(zhì)

用圓規(guī)畫圓是最基本的方法，每個(gè)學(xué)生必須學(xué)會(huì)。在成人眼中輕而易舉的事情，在學(xué)生手中卻并不如此。在前測中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在操作圓規(guī)的時(shí)候總有各種各樣的問題存在，合理利用學(xué)生的典型錯(cuò)誤，可以鞏固對圓的本質(zhì)的認(rèn)知。

【片段六】

學(xué)生獨(dú)立嘗試用圓規(guī)畫幾個(gè)不同的圓。

師：（出示前測中具有代表性的畫得不好的2個(gè)圓，如圖8）你認(rèn)為畫成這樣的原因是什么？

生：第一個(gè)是在畫的時(shí)候，針尖動(dòng)了一下，所以畫不好了。

師：那說明在畫圓的時(shí)候，針尖——不能動(dòng)。（板書：針尖固定）

生：第二個(gè)是在畫的時(shí)候圓規(guī)的兩個(gè)腳動(dòng)了一下。

師：你能上來給大家演示一下是怎么動(dòng)了一下嗎？（生動(dòng)手演示）

師：圓規(guī)的腳這樣動(dòng)了一下，也就是說——圓規(guī)兩腳間的距離發(fā)生了變化。那么在畫圓的時(shí)候，我們要做到圓規(guī)兩腳間的距離不能變。（板書：距離不變）

師：（示范用圓規(guī)畫圓，講解要點(diǎn)）先在紙上找一個(gè)點(diǎn)，用針尖固定，兩腳分開一定距離，圓規(guī)稍微傾斜，右手捏住把柄旋轉(zhuǎn)一周。

學(xué)生再次模仿畫圓。

在掌握了用圓規(guī)畫圓的基本方法后，總能發(fā)現(xiàn)學(xué)生還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。筆者基于學(xué)生多次畫圓的操作經(jīng)驗(yàn)，回顧前測中出現(xiàn)的問題，通過討論和分析，發(fā)現(xiàn)圓規(guī)畫圓過程中的問題癥結(jié)所在，進(jìn)而再次強(qiáng)化對圓的本質(zhì)認(rèn)知，反過來可以規(guī)范畫圓的方法。

3.首尾呼應(yīng)，內(nèi)化本質(zhì)

在一些學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)里，“圓”就是光滑的曲線，因此在前測中有超過四成的學(xué)生認(rèn)為橢圓也是圓，以致在課的一開始就出現(xiàn)了“橢圓是特殊的圓”還是“圓是特殊的橢圓”的爭論。

【片段七】

師：（課件出示前測數(shù)據(jù)，如圖9）全班所有學(xué)生都認(rèn)為第二個(gè)圖形是圓，有22人認(rèn)為第一個(gè)圖形是圓形。你有什么想法？

生：第一個(gè)是橢圓，不是圓。

師：認(rèn)為是橢圓的同學(xué)有什么想法？

生：橢圓也是圓，是一種特殊的圓。

師：（對認(rèn)為橢圓不是圓的學(xué)生）那你們?yōu)槭裁凑J(rèn)為橢圓不是圓呢？

生：……

師：（板書課題）今天我們學(xué)了圓，就會(huì)知道答案了。

根據(jù)訪談了解，認(rèn)為“橢圓也是圓，是一種特殊的圓”的學(xué)生，他們是從字面上去理解的，類似于“鯨魚也是魚”的思路，并沒有真正去思考兩者之間的關(guān)系。課始，很難向?qū)W生解釋這個(gè)問題，不如暫時(shí)擱置，以期后續(xù)解答。

在北師大版的教材中，下圖這個(gè)套圈游戲用在課的引入環(huán)節(jié)，這里筆者把它用作課后的練習(xí)，來呼應(yīng)前測中學(xué)生的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，鞏固學(xué)生對圓的本質(zhì)認(rèn)知。

【片段八】

師：（出示圖10）你認(rèn)為哪種比賽方式最公平？能用剛學(xué)的知識(shí)來解釋嗎？

生：第三種，因?yàn)檫@種方法比賽的時(shí)候，每個(gè)人和中心的距離都是一樣的。

師：（課件演示圓心到圓上的距離相等）這就是墨子說過的“一中同長”，你能說說一中同長指的是什么嗎？

生：一中就是指圓心，同長就是指半徑或者直徑。

師：現(xiàn)在你能來跟那22位同學(xué)解釋一下為什么橢圓不是圓了嗎？

生：因?yàn)樗陌霃讲皇且粯娱L。

師：假如說橢圓是有半徑的，在哪里？（課件出示若干條從橢圓的中心點(diǎn)到橢圓上的線段）一樣長嗎？

生：不一樣長。

師：如果是圓的話，那么這些線段應(yīng)該是一樣長的。

通過直觀的游戲，讓學(xué)生再次鞏固圓的本質(zhì)——到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，從而與課始的問題首尾呼應(yīng)，解決了部分學(xué)生的疑問，也讓學(xué)生充分感受到了數(shù)學(xué)和生活的緊密聯(lián)系，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

“圓的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課已經(jīng)進(jìn)行了很多不同角度的研究，一千個(gè)教師就有一千種不同的上法，不同的教學(xué)設(shè)計(jì)承載了各自不同的教學(xué)意圖和教學(xué)目標(biāo)，精彩紛呈，各有所長。本課中，筆者通過有針對性的前測活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)習(xí)過程能夠更加貼合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，通過別具匠心的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)，使學(xué)生形成正確的圖形表象，進(jìn)而深入地感悟概念的內(nèi)涵。

（浙江省奉化市莼湖鎮(zhèn)中心小學(xué) 315500）