數(shù)學(xué)對象的實在性辨析

朱福勝

摘要：數(shù)學(xué)對象往往具有兩重性，既是現(xiàn)實內(nèi)容的反映，又具有充分的構(gòu)造性。自從有了數(shù)學(xué)，就有對數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的不同認識。無窮集合的客觀性、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨立性、數(shù)學(xué)思維的自由性等問題對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實在論提出了嚴峻挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)實在論的發(fā)展遵循不同的方式途徑，表現(xiàn)在淡化本體論、注重實用主義，強調(diào)概念構(gòu)造等不同思維立場上。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)哲學(xué)；實在論；數(shù)學(xué)對象

doi：10.16083/j.cnki.1671——1580.2016.07.021

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1671—1580（2016）07—0085—04

對數(shù)學(xué)本體論的討論，通常是一個數(shù)學(xué)哲學(xué)理論的起點，也是其整個理論的焦點。關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，每個數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家由于其研究經(jīng)歷及視角的不同，都可能對數(shù)學(xué)給出不同的解釋。隨著時代的進步和數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們不宜固守在某種關(guān)于數(shù)學(xué)的觀點，而應(yīng)實事求是地去分析和評價各種不同的理論觀點，并隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展以及內(nèi)涵的日益豐富去我們拓展的認識。

一、數(shù)學(xué)對象實在論問題的由來

數(shù)學(xué)對象的存在性問題可以具體地表述為：數(shù)學(xué)概念是否反映客觀的真實存在？數(shù)學(xué)概念與客觀實體的關(guān)系如何？數(shù)學(xué)概念是否獨立于客觀實體之外？數(shù)學(xué)對象具有怎樣的性質(zhì)？如何來正確理解數(shù)學(xué)對象的存在？

在數(shù)學(xué)萌芽時期的原始社會，數(shù)學(xué)的研究對象是名數(shù)。數(shù)學(xué)的研究對象往往是源于客觀實體的，數(shù)總是與某種實在的東西（如手指、貝殼）相聯(lián)系，而不是僅僅被抽象地想象。正如布留爾所言：“在古代原始人的視角中，數(shù)的應(yīng)用總是或多或少與被計數(shù)的實體聯(lián)系著。在群體的思維表象中，數(shù)學(xué)以及數(shù)的名稱與其說它們是算術(shù)的單位，還不如說數(shù)是一種神秘的實體存在。”

人類經(jīng)過漫長的認識發(fā)展，才使數(shù)脫離具體事物，成為純粹抽象的概念。在相當(dāng)長的時期內(nèi)，人們總是把數(shù)學(xué)對象看作像真實的東西那樣。例如，畢達哥拉斯學(xué)派強調(diào)，宇宙的本質(zhì)是數(shù)學(xué)對象，一是數(shù)學(xué)的源泉，一生二，再由一、二生出各種數(shù)字，各種數(shù)字結(jié)合空間圖形再衍生出點、線、面、體等。由此可以得出可感事物是由數(shù)構(gòu)成的，數(shù)成為萬物的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)對象獨立存在于可感知的事物之中。

古希臘哲學(xué)家柏拉圖相信數(shù)學(xué)對象存在于“理念世界”，它是一種獨立于人類思維的存在。亞里士多德批判了畢達哥拉斯學(xué)派和柏拉圖關(guān)于數(shù)學(xué)對象獨立存在的觀點。他認為，一不是普遍的事物存在形式，它僅僅是一種計量單位，一與二，一與其它數(shù)字之間僅是一種關(guān)系、一種屬性；數(shù)學(xué)對象只是一種抽象的可能性。數(shù)學(xué)對象并不表示真實的存在，數(shù)學(xué)對象抽象地存在于具體事物之中，它們恰恰僅僅是數(shù)學(xué)家抽象思維的產(chǎn)物，即是一種思維抽象的可能性，一個定義僅僅是讓我們明白對象的外延和內(nèi)涵，但這不能成為它存在的證據(jù)。例如，三等分的任意角、正十面體，這些概念都可以有明確的定義，但它們都是不存在的，所以定義了的東西是否存在有待于證明。亞里士多德的觀點“使人們開始認識到抽象和具體的關(guān)系，使人類思想史前進了一步”。

其實，亞里士多德和柏拉圖在數(shù)學(xué)本體論上的爭論主要是圍繞“數(shù)學(xué)對象如何存在的問題”，即數(shù)學(xué)對象存在于實體中，還是一種與客觀事物分離、在客觀事物以外的獨立存在？這個問題涉及到“一般”或“共相”的實在性問題，這也引起了中世紀歐洲實在論與唯名論的長期斗爭。實在論者斷言，共相是一種真實的存在，而且只有在共相存在的基礎(chǔ)上，才有個體的存在；唯名論者則認為只有個別的、具體的事物才是客觀存在的。

盡管數(shù)學(xué)的本體論問題早就引起了哲學(xué)家們的興趣，但是，在16世紀以前，數(shù)學(xué)家對此并沒有給予真正的關(guān)注，“在當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們看來，他們無須為數(shù)學(xué)的本體論問題‘操心，因為，數(shù)學(xué)命題所具有的明顯的客觀意義及其絕對真理性已經(jīng)充分保證了他們的工作的意義。”隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，情況逐漸發(fā)生了變化，許多數(shù)學(xué)概念和對象仿佛只是思維“自由想象”的產(chǎn)物，與客觀現(xiàn)實并無直接的聯(lián)系。對于這種發(fā)展M·克萊因曾這樣予以描述：“數(shù)學(xué)家們無意中逐漸引進了一些沒有或很少有直接物理意義的概念，其中負數(shù)和復(fù)數(shù)是最令人費解的，因為這兩種數(shù)在自然界中沒有‘實在性……則迫使人們認識到數(shù)學(xué)的人為性?！边@種對于新的數(shù)學(xué)對象的合理性和客觀實在性的懷疑導(dǎo)致了關(guān)于數(shù)學(xué)對象的本體論問題的進一步研究。

二、現(xiàn)代數(shù)學(xué)實在論的困境

數(shù)學(xué)實在論相信數(shù)學(xué)對象獨立于人類的思維，它是一種獨立的存在。這種觀念在一定意義上可以看成柏拉圖的哲學(xué)思想及中世紀的實在論觀念的延續(xù)。確信數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)世界獨立于思維而存在是數(shù)學(xué)實在論觀念的核心。實在論由于其本身的不徹底性，無法充分解釋數(shù)學(xué)對象的存在形式、存在性質(zhì)，因此也就無法正確分析數(shù)學(xué)對象的客觀意義。19世紀末，數(shù)學(xué)在超窮數(shù)理論的進展促使康托爾站在實無窮的立場上，遠離數(shù)學(xué)和哲學(xué)上關(guān)于數(shù)學(xué)對象的傳統(tǒng)觀點，從而引起了數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家的廣泛關(guān)注，康托爾的數(shù)學(xué)工作對哲學(xué)視角的影響恐怕遠超越其對數(shù)學(xué)領(lǐng)域的影響。圍繞著如何認識超窮數(shù)及其方法的問題，數(shù)學(xué)實在論遇到了前所未有的挑戰(zhàn)。

從無窮集合的認識角度看，實在論者往往對無窮集合的客觀存在性持肯定的態(tài)度，在他們看來，假設(shè)我們確信數(shù)學(xué)對象具有客觀實在性，那么我們借助數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)對象進行思維就是理所當(dāng)然的事情，于是我們就有理由相信數(shù)學(xué)是早已客觀存在著，數(shù)學(xué)的存在等待著數(shù)學(xué)家去還原、去發(fā)現(xiàn)。相反的，形式主義者對實無窮概念的實在性問題持完全否定的態(tài)度。他們認為，無論何處，無論何時，無限都是不可能實現(xiàn)的，我們無法想象自然界中存在無限，無限也無法成為人類進行合理思維的可靠基礎(chǔ)。柯亨說：“我相信任何實在論者都會承認的一個弱點是，他沒有能力說明象更高的無窮公理這樣無窮無盡的序列的根源。當(dāng)考慮一個充分不可達的基數(shù)時，甚至連最堅定的實在論者也一定會退卻的。”事實上，數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)概念本身就具有兩重性，一方面它是人類抽象思維的結(jié)果，具有相對的獨立性，另一方面，它又包含一定的客觀內(nèi)容，體現(xiàn)人類思維對外部客觀世界的間接能動反映?！皵?shù)學(xué)概念是理想的、抽象的完美事物，在現(xiàn)實中不存在那樣的客觀事物，同樣的，實無限包含有無限多元素，這在現(xiàn)實經(jīng)驗中也是無法理解的，它恰恰是一種構(gòu)造的理想物，反映了某種客觀實在關(guān)系而已?！?/p>

同時，從無窮基數(shù)的認識性質(zhì)上看，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨立性證明是對實在論的有力駁斥。因為，按照實在論的觀點，實數(shù)系那樣的對象是一種獨立于我們認識的客觀存在，因此它們的基數(shù)是有客觀標準的，即是多大就是多大，而不能是任意的，從而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)也就必然或者為真、或者為假。然而，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的不可判定性，這就允許有各種體系的集合論，在不同體系中連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)是各不相同的。顯然，基于這樣的理解，連續(xù)統(tǒng)問題就不具有任何客觀意義。相反地，實在論者指出，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)獨立性的結(jié)論并不能成為實在論錯誤的依據(jù)。例如，哥德爾認為，這一結(jié)果“決不意味著問題的解決，……而只是意味著這些公理系統(tǒng)沒有包括那個實在的完備的描述”。因此，哥德爾認為我們就應(yīng)進一步去發(fā)展集合理論，而在足夠發(fā)展了的集合論理論中，連續(xù)統(tǒng)問題就是可以判定的了。

在另一理論立場上，反實在論也給現(xiàn)代實在論帶來了較大的沖擊。反實在論觀點的主要優(yōu)越性就在于它能容納各種“自由”的創(chuàng)造。按照反實在論的觀點，數(shù)學(xué)的研究對象就是形式理論，它既與客觀實際無關(guān)，也不必具有直覺上的“可信性”，因此，數(shù)學(xué)家們就可任意地去研究各種可能的形式理論；而如果接受了實在論的觀點，那么我們只能認識，而不能創(chuàng)造數(shù)學(xué)對象，因為數(shù)學(xué)對象是先于數(shù)學(xué)活動而存在的，數(shù)學(xué)家的工作僅僅是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象，而不是去創(chuàng)造數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)對象，但這勢必造成對創(chuàng)造性思想的壓制。“數(shù)學(xué)在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對它的概念的限制只在于：必須是無矛盾的并且和先前由確切定義引進的概念相協(xié)調(diào)……數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的自由?！睌?shù)學(xué)思維的自由性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的對象是由數(shù)學(xué)家按“明確的定義”得到“形式的建構(gòu)”，如虛數(shù)的引入、四元數(shù)的創(chuàng)立等。數(shù)學(xué)史表明：由于解方程過程中出現(xiàn)了負數(shù)開平方的問題，由于在實數(shù)領(lǐng)域內(nèi)負數(shù)沒有平方根，于是就形式定義虛數(shù)單位i。更有甚者，即使對同一數(shù)學(xué)對象，不同的數(shù)學(xué)家則完全有可能采取不同的建構(gòu)形式，如集合論的公理系統(tǒng)，就有ZF系統(tǒng)、BG系統(tǒng)、NF系統(tǒng)和ML系統(tǒng)。從數(shù)學(xué)史的角度，概念的自由性表現(xiàn)在不斷地從根本上擴展它的對象，上升到更高的抽象層次。例如，《幾何原本》的幾何對象點、線、面具有較明顯的直觀意義，而在《幾何基礎(chǔ)》里，雖然沿用歐幾里得的術(shù)語，但這三個基本概念既沒有定義，也沒有作直觀的解釋，是“任意的對象”，它們只與所選擇的公理有關(guān)，在希爾伯特看來，歐幾里得關(guān)于點、線、面的定義，在數(shù)學(xué)上并不重要，這種觀點充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)構(gòu)造的自由性。

三、數(shù)學(xué)實在論的嬗變與超越

由上分析可以看出，隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入和抽象程度的提高，許多數(shù)學(xué)對象并不具有直觀背景，數(shù)學(xué)不僅研究現(xiàn)實的數(shù)量以及數(shù)學(xué)關(guān)系，而且研究“構(gòu)造的”、“可能的”數(shù)量及其數(shù)學(xué)關(guān)系。由于實在論本身的局限性，數(shù)學(xué)實在論受到相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)，這就迫使人們摒棄傳統(tǒng)的視野，去尋求新的理解和突破，研究者從不同了思路提出了各自的思維策略和解決方案。

（一）淡化本體論的立場

20世紀初，數(shù)學(xué)哲學(xué)理論出現(xiàn)了不重視本體論問題研究的傾向，如以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究為中心的數(shù)學(xué)哲學(xué)理論，不論是邏輯主義、形式主義還是直覺主義，其出發(fā)點都是要為已有的數(shù)學(xué)理論奠定一個基本的、統(tǒng)一的、可靠的基礎(chǔ)，其著眼點在于對數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)分析。由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究各個學(xué)派的研究規(guī)劃均未能獲得成功，況且，哥德爾不完備性定理的出現(xiàn)更是徹底擊潰邏輯主義、形式主義的構(gòu)想，這也意味著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究黃金時代的褪去。

淡化本體論研究的更為極端的表現(xiàn)是在數(shù)學(xué)對象的實在性問題上采取反本體論的立場。反本體論，簡單地說，就是認為本體論問題是毫無意義的，或者說很難形成關(guān)于本體論的科學(xué)認識。例如，卡爾納普應(yīng)用語義學(xué)觀點闡述了抽象數(shù)學(xué)對象的存在性問題并表明其反本體論的觀點?！皩ξ覀€人來說，維特根斯坦可能是除羅素和弗雷格以外對我的哲學(xué)思考影響最大的哲學(xué)家。我從他的著作中所獲得的最重要的觀點是：邏輯陳述的真理性僅僅依據(jù)其邏輯的結(jié)構(gòu)和詞語本身的意義?！彼麖娬{(diào)，當(dāng)我們認為數(shù)學(xué)對象是存在的，這只有當(dāng)它相對于其所歸屬的數(shù)學(xué)系統(tǒng)才有其存在的意義。如果我們考慮更為根本的、先于數(shù)學(xué)系統(tǒng)的存在依據(jù)，那么由于這類問題不具有認識的指向性及認識的內(nèi)容，因此這類問題是一種假問題，也是沒有任何意義的。為了進一步說明他的觀點，卡爾納普區(qū)分了兩種不同的存在性問題。他認為，當(dāng)人們談到一種新的數(shù)學(xué)對象時，他自然地借助一種新的話語系統(tǒng)，引入一種新的說話邏輯，這也同時給新的數(shù)學(xué)研究對象提供了討論范疇及其語言框架?；谶@個語言框架，我們可以很好地區(qū)分兩種不同的存在：一方面，在這個范疇體系及語言框架內(nèi)對象存在性的問題，我們暫且稱之為內(nèi)部問題；又一方面，作為一個整體的范疇體系、語言框架的存在性問題，我們把它看作是外部問題。內(nèi)部存在性只是表明對象相對于語言結(jié)構(gòu)的存在性，因此它就不是一種真正意義上的本體論問題。外部存在性問題，它是不可能解決的，因為它主要取決于是否接受一種新的語言形式的問題，而無法被判定為真或假，而只能判定它的便利和有用的程度。

（二）實用主義的立場

實用主義作為現(xiàn)當(dāng)代西方的一種重要哲學(xué)流派，對數(shù)學(xué)哲學(xué)也有很大的影響。在本體論的選擇問題上，數(shù)學(xué)哲學(xué)家奎因的判別標準則顯然站在實用主義的立場上。在奎因看來，數(shù)學(xué)本體論問題其出發(fā)點在于為數(shù)學(xué)提供一種簡便的、可能的語言系統(tǒng)和概念框架，如果依此原則，數(shù)學(xué)在本體論問題上就不適宜將數(shù)學(xué)對象是否與客觀事物相符合作為數(shù)學(xué)對象取舍的標準，而應(yīng)探討是否方便可行，并將它作為標準。存在并不是完全無條件的，存在總是在一定的時空及語境中，況且不是所有的抽象對象都是合理的，也不見得都是存在的，例如當(dāng)我們考慮數(shù)、函數(shù)與集合、關(guān)系的相互作用時，我們可以看到，具體對象依附于集合，當(dāng)數(shù)、函數(shù)只有被解釋為集合中的關(guān)系或?qū)傩詴r，它們才具有關(guān)系意義，這樣的抽象存在也才具有意義。

普特南在奎因工作的基礎(chǔ)上，發(fā)展了“不可或缺性論證”理論。概括地說，“不可或缺性論證”假設(shè)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)世界對于科學(xué)而言是必須的，科學(xué)在現(xiàn)實世界的成功實踐也同樣確證了數(shù)學(xué)對象的假設(shè)?！安豢苫蛉毙哉撟C”的推理邏輯為：首先，實分析訴諸于抽象實體“實數(shù)”，如果我們接受了實分析公理的真理性，承認這些抽象實體的存在性就是不言而喻的，由于實分析系統(tǒng)對于物理學(xué)而言是不可或缺的，換句話說，沒有借助實分析的語言系統(tǒng)，現(xiàn)代物理學(xué)的創(chuàng)立就只是一種空中樓閣。那么，我們基于物理學(xué)的真理性確信實數(shù)系統(tǒng)的真理性，從而實數(shù)是存在的。

（三）概念構(gòu)造的立場

概念論在數(shù)學(xué)對象的客觀性問題上，是與直覺主義一脈相承的，只不過是更精制罷了。直覺主義認為數(shù)學(xué)是一種個體的創(chuàng)造性活動，是人類心智的固有特性，它僅僅是個體的主觀心智活動，并不是尋求對外部客觀實在的描述。在直覺主義者看來，只有建立在“數(shù)學(xué)直覺”之上的數(shù)學(xué)才是可靠的，“存在必須等于被構(gòu)造”。

概念論者認為：數(shù)學(xué)對象作為抽象實體是存在的。但是，這種存在是有條件的，它只存在于思想之中，而不存在于客觀世界，正如薩普所說：“我們并不否定實在的或?qū)嶋H的抽象對象的存在……但是，我們關(guān)于這些實際的抽象對象采取一種有限論的或心靈主義的觀點”。雖然概念論也承認數(shù)學(xué)中的少數(shù)概念具有完全實體性的存在，不過，在概念論看來，“數(shù)學(xué)對象”沒有獨立的或超出概念之外的存在，參照它們只是談?wù)摳拍畹囊环N方式。概念論的這種態(tài)度表明它的重心在于厘清數(shù)學(xué)自身的本質(zhì)，并不試圖尋求回答更大范圍內(nèi)的哲學(xué)問題，這與直覺主義的觀點是一脈相承的，他們的任務(wù)就是理解數(shù)學(xué)，不需要作過多哲學(xué)的解釋。當(dāng)然，概念論的有些看法也是比較極端的，如認為概念是純粹心靈的，構(gòu)造不需要語言，這是不合理的，也不符合數(shù)學(xué)概念自身的創(chuàng)造過程。

[責(zé)任編輯：韓璐]