畫(huà)“圈”能出彩

張艷青

【摘 要】基本數(shù)學(xué)思想是應(yīng)該體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中具有基礎(chǔ)性和總結(jié)性的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。“整體思想方法”對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握，化零為整。本文從緣起、例談、慎用三個(gè)大的方面談出整體思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，希望能給讀者在教學(xué)實(shí)踐中給予指引。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；整體思想方法；緣起；例談；慎用

一、緣起

（一）什么是小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法

所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，這是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問(wèn)題時(shí)所采用的方式、途徑和手段，也可以說(shuō)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的直接具體的手段。一般來(lái)說(shuō)，前者給出了解決問(wèn)題的方向，后者給出了解決問(wèn)題的策略。

由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，知識(shí)最為基礎(chǔ)，所以隱藏的思想和方法很難截然分開(kāi)，更多地反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的，所以小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個(gè)整體概念，即小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。

（二）什么是小學(xué)數(shù)學(xué)整體思想方法

所謂整體思想方法，就是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。小學(xué)“整體思想方法”對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握化零為整，往往是一種更便捷更省時(shí)很重要的方法。

畫(huà)“圈”的現(xiàn)象在各學(xué)科及生活中都有使用，那么在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在哪些地方有畫(huà)圈的必要，體現(xiàn)什么樣的數(shù)學(xué)思想方法，在這里進(jìn)行相關(guān)趣味分類(lèi)及贅述。

二、例談

（一）數(shù)字認(rèn)識(shí)圈出獨(dú)立整體

用“圈圈圖”很明顯的容易和周?chē)氖挛飬^(qū)分開(kāi)來(lái)。在幼兒階段，認(rèn)識(shí)數(shù)字，一般容易和周?chē)矬w混淆，強(qiáng)調(diào)這是獨(dú)立的整體，數(shù)出數(shù)字“幾”，初步建立整體思想意識(shí)。

（二）比多比少圈出相同整體

比多少教學(xué)中，把“相同對(duì)應(yīng)部分”圈起來(lái)，強(qiáng)調(diào)圈出整體不再對(duì)比，為教學(xué)增加簡(jiǎn)易助學(xué)性，忽略相同整體，只是對(duì)比差異，簡(jiǎn)單直觀、效果較好。

（三）數(shù)數(shù)組成圈出單位整體

“圈一圈”是數(shù)數(shù)和組成最常見(jiàn)的方法，可以10個(gè)10個(gè)的圈，也可以5個(gè)5個(gè)的圈，甚至20個(gè)，能夠把數(shù)量較多的物體有序有條理的圈出，對(duì)數(shù)的合計(jì)和組成教學(xué)助學(xué)效果明顯，對(duì)計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生和使用能化零為整。

（四）進(jìn)位退位圈出關(guān)鍵整體

在加法進(jìn)位中，6+5=11，散裝湊十變整裝就是1個(gè)十10個(gè)一；把湊成的“10”圈起來(lái)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)處理，直觀簡(jiǎn)單。減法的退位強(qiáng)調(diào)破十法或連續(xù)減，對(duì)于減的“整體”有考究，突出退位甚至連續(xù)退位的關(guān)鍵。

（五）幾倍多少圈出“倍數(shù)”整體

第二行擺的是第一行的5倍，把第一行的3個(gè)圈起來(lái)就是1倍數(shù)，第二行畫(huà)出5個(gè)這樣的“整體”；同樣黑色皮球的2倍就是可以“圈”起來(lái)，表示一個(gè)不可分割的“整體”，用“三部分”形式表示（較大量、較小量、相差量）把1倍數(shù)或幾倍數(shù)圈起來(lái)，正好把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)易處理，突出大環(huán)節(jié)，突破難點(diǎn)。

（六）包含關(guān)系圈出“每份”整體

包含關(guān)系是小學(xué)除法教學(xué)的主要關(guān)系之一，用（總數(shù)量）里面包含有（ ）個(gè)“（每份數(shù)）”，突出整體感知，以除數(shù)為整體很快判斷出商、余數(shù)。做好除法的鋪路和延伸教學(xué)。

（七）運(yùn)算定律、圈出轉(zhuǎn)化整體

在整數(shù)定律應(yīng)用到小數(shù)中，圈出乘法交換律和結(jié)合律、分配律，在轉(zhuǎn)換中演變成定律模式，強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化過(guò)程，突出定律的參照與差異，使用起來(lái)簡(jiǎn)便和實(shí)效。

（八）運(yùn)算算理圈出細(xì)節(jié)整體

運(yùn)用比的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)比，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘（或除以）相同的數(shù)，比值不變，中間的過(guò)程圈出來(lái)強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)。小數(shù)乘法算理中把小數(shù)變整數(shù)，再把乘積變回去，強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，用整體圈起來(lái)，更有直觀性。中間有0的除法，讓0經(jīng)歷被除數(shù)的過(guò)程仍得0，體現(xiàn)這個(gè)過(guò)程的“多余”，感受到?jīng)]意義的情況下，中間有0的就會(huì)用運(yùn)算法則進(jìn)行合理快速運(yùn)算。圈在關(guān)鍵處，必要時(shí)，能微觀處理服務(wù)算理。

（九）數(shù)學(xué)廣角圈出簡(jiǎn)易表述整體

用表格法本來(lái)是很好的直觀歸納對(duì)比，但是數(shù)學(xué)廣角“找次品”中，不能夠體現(xiàn)天平平衡的過(guò)程；如果用詳細(xì)的文字表述，需要的文字書(shū)寫(xiě)量大，也是很難獲得直觀的找次品的方法，尤其是找次品的次數(shù)，用第5題的兩部分表述很麻煩，下面設(shè)計(jì)一種創(chuàng)新的分解圈圖找次品的方法很簡(jiǎn)易實(shí)用。

（注：每一個(gè)圈表示一次天平使用，用三次就能找出次品。圈出4和4，1和1，1和1）

（十）函數(shù)應(yīng)用圈出典型整體

讀題審題理解題意，圈出典型詞語(yǔ)——“照這樣計(jì)算（含鹽率一定）”“去時(shí)、回來(lái)時(shí)（路程一定）”“同樣的筆（單價(jià)一定）”等突出一個(gè)量變化另一個(gè)量也在變化，圈出的是整體不變。這種帶有一定函數(shù)意識(shí)的題目在整體思想操作中較好體現(xiàn)，有助于學(xué)生審題解題。

（十一）算法多樣圈出不同整體

計(jì)算數(shù)的乘法，或者多樣解決問(wèn)題：一共多少人？（用筆圈一圈再分別列式）可以列出8×7；7×8；8×4+8×3；8×5+8×2……不同的列式展示“不同整體的幾個(gè)幾”，拉近與生活的感受，體現(xiàn)列式多樣化與最優(yōu)化，在相同結(jié)論下進(jìn)行發(fā)散思維的練習(xí)，對(duì)一題進(jìn)行充分深刻的利用。

（十二）因數(shù)倍數(shù)圈出對(duì)應(yīng)整體

圈出相同的因數(shù)、相同的倍數(shù)，更容易對(duì)比分析，使用了對(duì)應(yīng)思想和對(duì)比分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想等，把整體思想與之有機(jī)結(jié)合，更能體現(xiàn)整體思想的變通與靈活使用。

（十三）中間問(wèn)題圈出提示整體

多步計(jì)算的公式中能夠理解圈出中間問(wèn)題作為一個(gè)整體，能多角度理解使用公式。多步應(yīng)用題中，強(qiáng)調(diào)“三部分”策略的基本理念，把需要分步計(jì)算的圈為整體，增加整體觀念和大處著眼意識(shí)，綜合提升解題技能。

三、慎用

史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)基本思想本質(zhì)上有三個(gè)：第一個(gè)是“抽象”，第二個(gè)是“推理”；第三個(gè)是“模型”。通過(guò)抽象：現(xiàn)實(shí)—→數(shù)學(xué)；通過(guò)推理：數(shù)學(xué)—→數(shù)學(xué)；通過(guò)模型：數(shù)學(xué)—→現(xiàn)實(shí)，得到數(shù)學(xué)的基本特征：一般性、嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用廣泛性。

數(shù)學(xué)符號(hào)有很多種，畫(huà)“圈”也是一種符號(hào)。所以畫(huà)“圈”時(shí)不要隨意亂用，最好能呈現(xiàn)“畫(huà)圈點(diǎn)睛”的效果。在平時(shí)的教學(xué)中，有的老師喜歡把畫(huà)圈作為一種習(xí)慣，只要是強(qiáng)調(diào)都喜歡畫(huà)圈表示，并且有的一個(gè)版面圈了很多個(gè)，試問(wèn)：一個(gè)版面那么多圈，哪個(gè)地方是真正的思維點(diǎn)，哪個(gè)地方是解決問(wèn)題的側(cè)重考慮的？數(shù)學(xué)教材中的畫(huà)“圈”是一種數(shù)學(xué)思想或多種數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，起到“思維中轉(zhuǎn)站”的作用，圈在必要處，畫(huà)在關(guān)鍵點(diǎn)，每一圈應(yīng)該要起到切中要害的作用，希望要慎用。