對初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

包玉濤

銳角三角函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，掌握好該知識點(diǎn)不但有助于學(xué)生取得良好成績，同時更重要的是能夠?yàn)槠浣窈蟾邔哟螏缀螌W(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，為此這就要求廣大教師必須做好該方面教學(xué).然而結(jié)合筆者實(shí)踐來看，由于受到諸多因素所影響，當(dāng)前銳角三角函數(shù)教學(xué)效果普遍不佳，如此一來不但嚴(yán)重地影響教學(xué)質(zhì)量，同時更會對后續(xù)三角函數(shù)教學(xué)任務(wù)有效開展造成極大的阻礙，對此教師必須認(rèn)清該知識點(diǎn)的重難點(diǎn)，緊抓學(xué)生常見認(rèn)識誤區(qū)和思維障礙，采取有效策略進(jìn)行教學(xué).

一、銳角三角函數(shù)與學(xué)生常見認(rèn)識誤區(qū)和思維障礙分析

銳角三角函數(shù)是中學(xué)階段幾何學(xué)基礎(chǔ)知識，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了相似三角形和勾股定理之后進(jìn)一步學(xué)習(xí)，通過對其開展研究能夠使得學(xué)生可以后續(xù)其他知識學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，該知識點(diǎn)呈現(xiàn)正弦函數(shù)概念上遵循“從特殊到一般，從實(shí)踐探索到證明”的方式，讓學(xué)生體會實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、猜想、證明的求知過程，有利于學(xué)生角度與數(shù)值之間對應(yīng)關(guān)系的建立，深化函數(shù)思想；在解決實(shí)際問題時，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想；重視分析圖形特點(diǎn)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.對于銳角三角函數(shù)知識，學(xué)生常見的認(rèn)知誤區(qū)和思維障礙主要有以下幾方面：（1）不能準(zhǔn)確理解銳角三角函數(shù)的概念；（2）容易混淆正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)；（3）過分依賴計(jì)算器，對于常用的30°、45°、60°等函數(shù)值不能熟記；（4）解直角三角形，特別在解圓中的直角三角形時，易把直角邊當(dāng)做斜邊；（5）在解決實(shí)際問題中，學(xué)生很難通過身體建模來解決問題；（6）容易把坡度與正弦函數(shù)混淆.

二、初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)教學(xué)策略思考與探討

1.揭示三角函數(shù)相關(guān)概念產(chǎn)生的思維過程

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，許多教師對于三角函數(shù)的教學(xué)都是采用平鋪直敘、照本宣科的方式進(jìn)行教授，通過讓學(xué)生反復(fù)朗讀、書寫的方式對概念進(jìn)行記憶，而很少運(yùn)用實(shí)踐操作或探究活動等形式讓學(xué)生理解相關(guān)概念.這種教學(xué)方式雖然也能讓學(xué)生牢牢地記住三角函數(shù)的概念，但是這種方式是呆板的，非常影響學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展，因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該采用通過向?qū)W生揭示三角函數(shù)概念產(chǎn)生的思維過程的方式加深學(xué)生對概念內(nèi)涵的理解與掌握.

2.重視對直角三角形的講解

學(xué)生掌握好直角三角形的邊角關(guān)系對于銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和掌握有很大促進(jìn)作用，因而這就要求廣大教師必須重視并做好對其教學(xué).直角三角形除直角外的5個元素之間關(guān)系：

（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）；

（2）兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

利用這些關(guān)系，首先要理解好對邊與角的關(guān)系，這5個元素中，如果知道2個（其中至少有一個是邊），就可以求出其余3個.即“在直角三角形中，角定邊的比值也確定了，反之，邊的比值確定了，角的大小也確定”，并通過在解題過程中不斷強(qiáng)調(diào)，對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化理解.數(shù)形結(jié)合思想對于銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用也非常的重要，在理解概念、推理論證、計(jì)算化簡的過程中，通過畫圖分析，可以讓學(xué)生在具體、直觀中理解直角三角形邊與角之間的關(guān)系.

3.結(jié)合實(shí)際生活，促進(jìn)學(xué)生對三角函數(shù)相關(guān)知識的理解與掌握

在教學(xué)中，教師應(yīng)盡量選用貼近學(xué)生生活的素材來加深學(xué)生對三角函數(shù)的理解與掌握.結(jié)合生活實(shí)際不僅可以讓學(xué)生體會銳角三角函數(shù)和解三角形的理論來源于實(shí)際，是實(shí)際的需要，還可以讓學(xué)生看到它們在解決實(shí)際問題中所起的作用，感受由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題得到答案，再將數(shù)學(xué)問題的答案回歸到實(shí)際問題的這種“實(shí)踐-理論-再實(shí)踐”的認(rèn)識過程.這過程符合人的認(rèn)知規(guī)律，又利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，豐富有趣的實(shí)際問題也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.直角三角形的學(xué)習(xí)為學(xué)生學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)做好了充分的準(zhǔn)備.教師在講解直角三角形的過程中，就可以利用確定臺階的傾斜程度問題引出正切函數(shù)，也可以例舉學(xué)生熟悉的蹺蹺板問題等等.

4.對銳角范圍內(nèi)同角或等角的三角函數(shù)值相等的內(nèi)涵和外延進(jìn)行明晰

明晰銳角范圍內(nèi)同角或等角的三角函數(shù)值相等對于學(xué)生理解和靈活運(yùn)用三角函數(shù)解決問題顯得尤為重要.但是在實(shí)際教學(xué)過程中，部分教師對此重視不夠，在求解某個銳角的相應(yīng)三角函數(shù)值時，該銳角往往置于直角三角形中，學(xué)生易形成慣性思維，當(dāng)需求三角函數(shù)值的銳角置于一般三角形時，部分學(xué)生缺乏對銳角范圍內(nèi)同角或等角的三角函數(shù)值相等的理解.

例如圖1所示，點(diǎn)E（0，4），O（0，0），C（6，0）在⊙A上，BE是⊙A中的一條弦，則tan∠OBE=.

許多學(xué)生遇到這類題時，很容易出錯或者無從下手，教師經(jīng)過與學(xué)生交流、了解做錯的原因，就會發(fā)現(xiàn)其實(shí)很多學(xué)生在解答過程中已經(jīng)意識到要先連接EC（如圖2所示），然后由同弧所對的圓周角相等推知∠OBE=∠OCE，但到這一步，學(xué)生就陷入了困惑，因?yàn)椤鱁OC是直角三角形，而△OBE不是直角三角形.由此可見，學(xué)生對于這類題型無法解答或出錯的根本原因就在于對同角或等角的三角函數(shù)值相等內(nèi)涵的實(shí)質(zhì)的理解不夠透徹.

5.引導(dǎo)學(xué)生形成規(guī)范的解題過程

引導(dǎo)學(xué)生形成規(guī)范解題過程有利于他們理清思路，從而達(dá)到有效提升其能力與成績之目的.數(shù)學(xué)學(xué)科一個突出的特點(diǎn)就是邏輯性比較強(qiáng)，對邏輯思維的要求也較高.因此，在解決銳角三角函數(shù)問題時，學(xué)生通過規(guī)范解題過程，按照步驟來進(jìn)行解題就更加能夠便利地找到相應(yīng)的解題思路，從而掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識.同時，對于解題思路的梳理很重要，首先要明確具體的問題是什么；其次，針對問題尋找解題突破點(diǎn)，并作出解答的計(jì)劃；最后，按照計(jì)劃一步步進(jìn)行解題，并整理回顧.總之，解題過程規(guī)范了，步驟明確了，解題思路也就清晰了.