觸摸數(shù)學(xué)的肌膚與靈魂
——《射線、直線和角》教學(xué)片斷與思考

張冬梅（特級(jí)教師）

教學(xué)片斷一：“神器”激趣，盡情想象中感悟射線的特征

師：今天老師給大家?guī)?lái)了一個(gè)“神器”（激光測(cè)距儀）。瞧，從神器這個(gè)發(fā)射點(diǎn)發(fā)出的光線射到了哪兒？

生：屏幕上。（屏幕上有光點(diǎn)）

師：其實(shí)在發(fā)射點(diǎn)與屏幕上光點(diǎn)之間是有一條光線的，老師想個(gè)辦法讓大家看見(jiàn)。（教師噴水霧）

生：看到了，看到了！

生：這是一條線段。

師；能說(shuō)說(shuō)線段的特點(diǎn)嗎？

生：線段是直直的，有兩個(gè)端點(diǎn)。

（教師順勢(shì)板書(shū)：直的、兩個(gè)端點(diǎn)）

師：我們既然把這個(gè)叫做“神器”，那么一定有它的“神奇”之處。請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)上來(lái)，我們一起來(lái)做游戲。

（學(xué)生A站老師對(duì)面，學(xué)生B站老師身邊）

師：（教師摁“神器”）從發(fā)射點(diǎn)到對(duì)面同學(xué)身上光點(diǎn)之間的這條線段有多長(zhǎng)呢？我們?cè)俎粢幌律衿鳎衿骶惋@示出結(jié)果，（對(duì)著生B）來(lái)讀給大家聽(tīng)一聽(tīng)。

生 B：2.016米。

師對(duì)生A說(shuō)：你退后幾步。

（再次測(cè)量后）生B：3.265米。

師：再大膽地退后。

（再次測(cè)量后）生B：5.866米。

師：大家發(fā)現(xiàn)隨著他的退后，這條線段越來(lái)——

生：越來(lái)越長(zhǎng)。

師：雖然線段越來(lái)越長(zhǎng)，但我們都能測(cè)量它的長(zhǎng)度，所以我們說(shuō)線段是有限長(zhǎng)的。（板書(shū)：有限長(zhǎng)）

師：再往后退。（生A一直退到了墻邊）

生 B：7.813米。

師：還能往后退嗎？（生A為難）那這樣，請(qǐng)你把門打開(kāi)，（教師把光線射向門外）現(xiàn)在看到射到哪兒了嗎？

學(xué)生幾乎都站起來(lái)側(cè)身努力地尋找后：看不到。

師：那就讓我們一起閉上眼睛，隨著老師的語(yǔ)言盡情地想像。如果我手中的“神器”有無(wú)窮的能量，射出的光線沒(méi)有任何物體阻擋，一直射向無(wú)窮遠(yuǎn)的地方，這是一條什么樣的光線呢？

（學(xué)生閉著眼睛想象）

師：我們腦海中的這條光線還能用線段表示嗎？

生：不能，因?yàn)榫€段是有兩個(gè)端點(diǎn)的，而這條光線可以直直地射向無(wú)窮無(wú)盡的地方。

師：那是一條什么樣的線？大家在學(xué)習(xí)單上把它畫(huà)下來(lái)。

（學(xué)生獨(dú)立畫(huà)后相互分享）

生：這條光線從這個(gè)發(fā)射點(diǎn)開(kāi)始，直直地射向找不到頭的地方。

生：這條光線從這個(gè)發(fā)射點(diǎn)開(kāi)始，直直地射向無(wú)窮遠(yuǎn)的地方，連這張紙都裝不下這條光線。

……

師：我們聽(tīng)到了一些關(guān)鍵的詞，說(shuō)這條光線是——

生：直直的，而且還一直一直地射向無(wú)窮遠(yuǎn)的地方。

師：大家腦海中的光線都是這樣的嗎？知道嗎？像這樣的光線我們就可以看作射線。

（板書(shū)上：射線）

師：射線是怎樣的圖形呢？

（屏幕動(dòng)畫(huà)音響同步演示：把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)就得到了一條射線）

師：說(shuō)說(shuō)射線的特征。

……

【思考：對(duì)于射線的認(rèn)識(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由具體實(shí)例抽象出幾何圖形的過(guò)程，但是，要在現(xiàn)實(shí)生活中找到射線相應(yīng)的實(shí)體模型，還真的不易，無(wú)論是手電筒光線，還是夜幕中霓虹燈的燈光，如果沒(méi)有學(xué)生的想像，都很難理解“無(wú)限長(zhǎng)”這一本質(zhì)特征。怎么才能更好地幫助學(xué)生理解“無(wú)限長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)意義呢？課堂上，教師通過(guò)讓一個(gè)學(xué)生不斷地后退，改變發(fā)出光線的長(zhǎng)度，生動(dòng)地演繹了“線段一端延長(zhǎng)”的過(guò)程，然后巧妙地“打開(kāi)門”，讓光線射向無(wú)窮遠(yuǎn)的地方，于是“線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)”的歷程成功演繹，實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的突破。學(xué)生在教師語(yǔ)言的引導(dǎo)下，想像插上了翅膀：這條光線從這個(gè)發(fā)射點(diǎn)開(kāi)始，直直地射向找不到頭的地方；這條光線從這個(gè)發(fā)射點(diǎn)開(kāi)始，直直地射向無(wú)窮遠(yuǎn)的地方，連這張紙都裝不下這條光線……此時(shí)此刻，射線的特征已經(jīng)在學(xué)生的腦海中動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，盡管“無(wú)限長(zhǎng)”是個(gè)非常抽象的概念，但在學(xué)生的腦海里卻已烙下清晰的表象。這樣的過(guò)程，這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，不僅能幫助學(xué)生借助生活中的具體實(shí)例理解抽象的數(shù)學(xué)概念，感受數(shù)學(xué)抽象的一般過(guò)程，也有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！?/p>

教學(xué)片斷二：理性思考，科學(xué)探索中體會(huì)研究方法

師：我們學(xué)線段、射線和直線有什么價(jià)值呢？讓我們一起來(lái)體會(huì)。

師：我們通常用大寫的字母表示平面上的點(diǎn)。連接A、B兩點(diǎn)的三條線中，哪一條最短？

生：是中間那條線段最短。因?yàn)樯厦娴哪菞l折來(lái)折去的，下面的那條是彎的，都走了很多彎路。

生：另外兩條不是直的線，我感覺(jué)如果把它們拉直，一定比中間的線段長(zhǎng)。

師：嗯，但我們數(shù)學(xué)結(jié)論的得出不能僅憑“感覺(jué)”，我們要用科學(xué)的方法去證實(shí)。老師事先量出了原圖上這兩條線的長(zhǎng)度（出示數(shù)據(jù)），大家量一量中間線段的長(zhǎng)度吧。

（學(xué)生開(kāi)始測(cè)量）

生：中間線段長(zhǎng)30毫米。

師：通過(guò)測(cè)量，我們發(fā)現(xiàn)哪一條最短？

生：中間這條線段最短。

師：那拿出筆來(lái)，在圖上再畫(huà)出一條連接A、B兩點(diǎn)的、比紅色線段更短的線。

（學(xué)生開(kāi)始在圖上琢磨，并忍不住小聲議論著）

師：有什么問(wèn)題嗎？

生：畫(huà)不出來(lái)了，中間的這條線段已經(jīng)最短了。

生：再畫(huà)一條最短的線，就跟線段AB重合了。

生：我覺(jué)得在連接A、B兩點(diǎn)的線中，這條線段是最短的了?。ㄈ嗾坡暎?/p>

師：體會(huì)到線段的價(jià)值了嗎？

生：我知道了，如果從A走到B，走線段最近。

師：是的，所以，我們把連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫作這兩點(diǎn)間的距離。A、B兩點(diǎn)間的距離是多少？

生：30毫米。

師：還記得課開(kāi)始時(shí)的“神器”嗎？我們測(cè)量出的發(fā)射點(diǎn)與遠(yuǎn)方光點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，其實(shí)就是發(fā)射點(diǎn)與光點(diǎn)之間的——

生：距離。

師：所以，這個(gè)“神器”有個(gè)大名，叫做激光測(cè)距儀。

【思考：“兩點(diǎn)間距離”的教學(xué)，教師們往往是直接告之，而我卻改變了教材的呈現(xiàn)方式，從“價(jià)值”出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷研究的過(guò)程，懂得要得出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的科學(xué)研究方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思維方式，并讓學(xué)生真切感受數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)理性的精神！首先，是對(duì)于“哪一條最短”這一問(wèn)題的處理，以往的教學(xué)可能只是停留在“觀察”與“感覺(jué)”的層面上。一個(gè)結(jié)論的得出確實(shí)可能始于“感覺(jué)”，但“感覺(jué)”不能成為最終得出結(jié)論的依據(jù)，“感覺(jué)”的正確與否需要科學(xué)地證明。課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生去測(cè)量、去驗(yàn)證，正是想讓學(xué)生經(jīng)歷這一“證明”的過(guò)程。通過(guò)測(cè)量，學(xué)生得出：在連接AB的三條線中，確實(shí)是線段AB最短。但是教師并不就此罷手，即時(shí)提出：再畫(huà)出一條連接A、B兩點(diǎn)的更短的線。學(xué)生在操作與思考中發(fā)現(xiàn)：在所有的連線中，線段最短。顯然，這一結(jié)論的得出，無(wú)論是學(xué)生的認(rèn)識(shí)與體會(huì)，還是方法與經(jīng)驗(yàn)的積累，都是那么豐厚。正是因?yàn)椤白疃獭蔽覀儾虐选斑B接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫作兩點(diǎn)間的距離”，也為以后學(xué)習(xí)“直線外一點(diǎn)到直線的距離”埋下伏筆?！?/p>

教學(xué)片斷三：尋根究底，數(shù)學(xué)史的介入理清圖形間的關(guān)系

師：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)多少條直線？

生：無(wú)數(shù)條，因?yàn)樯陨詣?dòng)一下方向就能畫(huà)出一條不同的直線。

師：那請(qǐng)大家經(jīng)過(guò)這直線上的一點(diǎn)，再畫(huà)一條不同方向的直線。

（學(xué)生畫(huà)）

師：老師選了幾個(gè)有代表性的作品：

師：大家仔細(xì)看圖，從圖中你還看到了什么？

生：角。

師：是的，為了研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，人們想到了要研究角。

師：關(guān)于“角”，我們以前就認(rèn)識(shí)過(guò)，請(qǐng)大家自學(xué)書(shū)本第78頁(yè)的例2，看看你又會(huì)有哪些新的收獲。

（學(xué)生自學(xué)后自主介紹角的相關(guān)知識(shí)）

【思考：“從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫作角”，要想理解教材上的這句描述性的語(yǔ)言，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不難，學(xué)生完全可以通過(guò)自學(xué)完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。但是研究“角”的意義呢？“角”與射線、直線之間的關(guān)系呢？“角”在整個(gè)學(xué)科體系中的價(jià)值與地位呢？在“平行線和垂線”這個(gè)單元中為何安排角的知識(shí)的學(xué)習(xí)呢？在認(rèn)識(shí)射線、直線這一課時(shí)中，又為什么還要安排學(xué)生認(rèn)識(shí)角呢？教材是最重要的活動(dòng)資源和進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的主要依據(jù)，但教材往往省略了一些概念的誕生細(xì)節(jié)，而深刻理解教材的編寫意圖，看到教材背后的一些東西，可能正是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西。對(duì)于這一系列問(wèn)題的深入思考，讓我豁然開(kāi)朗：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的兩條不同直線，有著無(wú)數(shù)種位置關(guān)系；為了表示它們不同的位置關(guān)系，人們想到了研究“角”；當(dāng)其中一個(gè)角確定了，兩條直線的位置關(guān)系也就確定了。尋找數(shù)學(xué)史，人類研究“角”的初衷不也正是要研究?jī)蓷l直線之間的位置關(guān)系嗎？于是，從“畫(huà)一畫(huà)”開(kāi)始，到數(shù)學(xué)史的介入，再到最后的自學(xué)書(shū)本，為學(xué)生開(kāi)辟了一條新的深度學(xué)習(xí)的路徑，學(xué)生既理解了數(shù)學(xué)的諸多緣由，體會(huì)到“角”的價(jià)值所在，同時(shí)也理清了圖形之間千絲萬(wàn)縷的關(guān)系?！?/p>

【課后分享】

1.智慧有大、小之分。莊子在《齊物篇》里說(shuō)：“大智閑閑，小智間間。大言炎炎，小言澹澹?！睌?shù)學(xué)課上，教師可以充分發(fā)揮自身的能動(dòng)性與創(chuàng)造性，理性而深刻地把握教學(xué)內(nèi)容，可以向前追溯這一內(nèi)容的生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)有哪些，向后思索這一內(nèi)容的數(shù)學(xué)意義是什么，在學(xué)科體系中的地位、價(jià)值又如何，蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)精神等等。只有這樣，教學(xué)才能觸及數(shù)學(xué)的肌膚與靈魂；只有這樣，數(shù)學(xué)知識(shí)才不是一個(gè)個(gè)孤立的、冷酷的“個(gè)體”，兒童才能在這種自然、和諧中感受數(shù)學(xué)本身的“親和”。

2.兒童自有兒童的哲學(xué)，教師要有一顆懂得兒童的心，要用熱愛(ài)、真誠(chéng)、細(xì)膩去聽(tīng)出兒童“嘰嘰喳喳”的精彩與美妙。數(shù)學(xué)是抽象而嚴(yán)密的，而擁有童心的數(shù)學(xué)教師，才能站在兒童的立場(chǎng)，努力地使數(shù)學(xué)具有“兒童”特質(zhì)，教學(xué)時(shí)注重兒童化的改造，把成人世界里抽象嚴(yán)密的數(shù)學(xué)知識(shí)改造成兒童世界里所能理解的對(duì)象，對(duì)兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行理性氣質(zhì)的塑造。

3.數(shù)學(xué)不是一種超然的知識(shí)與技能的客觀存在，而是人類主體不斷參與的探究結(jié)果。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，自然也就不是接受“權(quán)威者”的既定知識(shí)，而是自主建構(gòu)的過(guò)程。數(shù)學(xué)課上，兒童作為一個(gè)有血有肉、有情有智的完整的人投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而獲得作為人的全面發(fā)展，而不僅僅是習(xí)得數(shù)學(xué)的知識(shí)與技能。這就提醒我們教師關(guān)注學(xué)習(xí)自由——思考的自由、表達(dá)的自由、操作的自由、精神的自由等等。只有擁有了真正的自由，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)如呼吸一般自然而親和，學(xué)生才會(huì)在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能的同時(shí)，擁有良好的數(shù)學(xué)氣質(zhì)與創(chuàng)造能力，實(shí)現(xiàn)充分而自由地成長(zhǎng)。

我想，只有這樣的數(shù)學(xué)課堂才是我主張的親和數(shù)學(xué)課堂，是師生生命拔節(jié)的課堂。