學(xué)好高中立體幾何

【摘 要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是高考的重點(diǎn)，無論是廣東卷、還是全國命題的考卷，立體幾何占據(jù)的分量還是比較重。特別是大題部分，難度適中，屬于學(xué)生“必拿”的分?jǐn)?shù)點(diǎn)。但是對于剛開始接觸立體圖形的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)起來還是存在一定的困難，看圖能力不佳，對平行垂直的證明過程，理解的不夠透徹。

【關(guān)鍵詞】立體幾何 平行 垂直 模型

對于剛開始接觸高中數(shù)學(xué)的學(xué)生來說，特別是文科學(xué)生立體幾何的學(xué)習(xí)是一場“噩夢”。學(xué)生們在初中開始接觸的是平面幾何，而且在中考的復(fù)習(xí)中，已經(jīng)“根深蒂固”。他們十分熟悉的“兩三角形的全等、相似”等問題在高中立體幾何中很少被提起。取而代之的是陌生難懂的“幾何體”“異面直線”“平行、垂直”，學(xué)生學(xué)起來感覺非常的疼苦。很多同學(xué)由此對數(shù)學(xué)的學(xué)生心生恐懼，由此而放棄數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

高中立體幾何是由很多幾何體組成的體系，主要分為“多面體”和“旋轉(zhuǎn)體”，“多面體”中包括學(xué)生已熟知的長方體，立方體；“旋轉(zhuǎn)體”中則有圓柱，圓錐，圓。但是學(xué)生們只知它們的形，而不知它們內(nèi)里的結(jié)構(gòu)。立體幾何是幾何問題，以圖形為重，學(xué)生在高一接觸立體幾何時(shí)就有為難的情緒，看不懂立體圖形，更不明白“平行、垂直”的含義，沒有建立“空間概念”。高三復(fù)習(xí)時(shí)，猶如新課重來。由此看來，建立學(xué)生“空間感”，在立體幾何的教學(xué)中是十分重要的。

一、立方體，長方體模型在教學(xué)中的應(yīng)用

（一）平行

1、基本入門題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：B1 D1//平面ABCD。學(xué)生對線面平行的證明有初步的認(rèn)識。

問題1：如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1 B1中，已知P，Q是面A1B1D1和ABCD的中心。求證：PQ//面A1B1BA此題較上一題難，學(xué)生看圖的感覺未培養(yǎng)好，此題會被難住。關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生在平面A1B1BA內(nèi)尋找直線平行于PQ，利用中位線的知識證明線線平行。

2、由線面平行到面面平行，由面面平行到線面平行

問題1：如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面A B1 D1//平面C1BD。

問題2：如圖3-1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：直線 B1D//平面AM D1。此題在平面AM D1中尋找直線平行于直線B1D比較困難，引導(dǎo)學(xué)生用面面平行證明線面平行是關(guān)鍵。此處體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)中“建構(gòu)”的思想，如圖3-2用B1D構(gòu)造平面與平面AM D1平行。接下來，可進(jìn)一步讓學(xué)生思考在平面AM D1中究竟那一條直線平行于直線B1D？進(jìn)一步把“構(gòu)造”出來的平面B1DE“補(bǔ)全”成平面B1DEP（如圖3-3）。此題很好地展現(xiàn)了正方體中的“線線平行”關(guān)系，也讓學(xué)生意識到證明“線面平行”“面面平行”歸根結(jié)底還是“線線平行”。

（二）垂直1、基本模型（入門題）

如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：B1D⊥AC此題屬于高中立體幾何垂直的入門題，由線⊥面 線⊥線。研究的是正方體（長方體）中“體的對角線”與“面對角線”的關(guān)系。即“三垂線定理”，但是現(xiàn)在用“線面垂直”證明。此題在高中“垂直”證明中比較常見，但是學(xué)生經(jīng)常忽略D1D⊥AC。

2、體積問題 如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求四棱錐A- B1B D1D的體積。體積問題主要是尋找高，那么此四棱錐肯定以平面B1B D1D為底面。熟悉此類模型的同學(xué)可以很容易地想到“連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O”，”AO⊥平面B1B D1D”。

3、由線面垂直過渡到面面垂直

問題1：如圖6，M、K分別為正方體ABCD-A1B1C1D1棱AB、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面A1B1C⊥平面A1MK。面面垂直的關(guān)鍵是在一平面內(nèi)尋找一直線垂直于另一平面，選擇“對”的平面是解決這道題的關(guān)鍵。，分析組成平面A1B1C和平面A1MK的三條直線，我們可以發(fā)現(xiàn)A1C為正方體的對角線，用回上面的“垂直模型”，可得MK⊥A1C，MK⊥B1C，MK⊥平面A1B1C。分析直線，用“模型”，選擇線面垂直，此類問題迎刃而解。

問題2：如圖7，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D，A1A的中點(diǎn)。在棱A1B1上是否存在點(diǎn)G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的長度；若不存在，說明理由。此題歸根結(jié)底也是由“線面垂直”證明“線線垂直”，所以我們要尋找EG⊥“EC所在的平面”。用回“正方體模型”我們可以發(fā)現(xiàn)C1C⊥EG，那么只需EG⊥E C1即可。

二、三棱錐模型的熟練運(yùn)用

1、基本模型（入門題）

在三棱錐P-ABC中，如圖8已知PC⊥平面ABC，AC⊥BC，此模型是高中立體幾何“垂直證明”的基礎(chǔ)，條件不變我們可以證明：BC⊥PA，也可以求三棱錐P-ABC的體積，也可以求二面角P-BA-C的度數(shù)。甚至可以把它放在正（長）方體中，或者其它幾何體中，研究它的體積。

問題1：如圖9，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是地面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A1A=AB=2，求三棱錐A1-ABC的體積的最大值。

2、由此模型繼續(xù)延伸

問題2：如圖10，已知矩形ABCD，過點(diǎn)A作SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥SC與點(diǎn)F。

證明：（1）求證：AF⊥SC

（2）若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD

第（1）小問，垂直關(guān)系較多，很多學(xué)生感覺有難度。從問題出發(fā) ，要證明AF⊥SC，必須找線面垂直。這時(shí)選擇有兩個(gè)，證明AF⊥SC所在的平面，或者證明SC⊥AF所在的平面。根據(jù)題目的條件，證明SC⊥AF所在的平面較可行，回憶上述的垂直模型，我們可以得出AE⊥BC，AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC，題便可解決。第（2）小問，同樣與第（1）小問一樣，面臨兩種選擇，學(xué)生們需要選擇，SD⊥AG所在平面行不通，那么就要選擇AG⊥SD所在的平面。因?yàn)楦鶕?jù)上述的垂直模型AG⊥CD，SC⊥平面AEF，SC⊥AG，問題便可解決。