構(gòu)造解析幾何模型 巧解三角函數(shù)問題

【摘 要】運(yùn)用“構(gòu)造法”解決數(shù)學(xué)問題是一種創(chuàng)造性的思維過程，既可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，又可以拓寬學(xué)生的解題思路.本文主要介紹如何根據(jù)三角函數(shù)問題的條件和結(jié)論的特征，從新的角度觀察、分析、解釋對(duì)象，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的解析幾何模型，探求構(gòu)造的思維方向。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造 解析幾何模型 三角函數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法， 解析法則是這一數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)。借助直角坐標(biāo)系，我們可以將有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面或空間上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)，就可以運(yùn)用代數(shù)的方法來研究平面或空間圖形的形狀、大小及其位置關(guān)系，也可以運(yùn)用圖形的性質(zhì)來解釋說明相對(duì)應(yīng)的代數(shù)問題。這種借助坐標(biāo)系所實(shí)施的數(shù)式信息與圖形信息的相互轉(zhuǎn)化與有機(jī)結(jié)合，就是解析法。在解答某些三角函數(shù)問題時(shí)，若能有效地結(jié)合解析幾何模型，把數(shù)式或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為解析幾何中基本量的計(jì)算公式或曲線的位置關(guān)系，然后運(yùn)用解析法解題，常使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，獲得新穎、簡(jiǎn)捷的解法。下面將通過一些常見類型的題例，對(duì)中學(xué)階段一些三角函數(shù)問題如何構(gòu)造解析幾何模型解題略做探討。

一、構(gòu)造基本公式模型

解析幾何有斜率、兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離等基本公式。運(yùn)用解析法解三角函數(shù)問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真地觀察三角代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，開展深入的思考和廣泛的聯(lián)想、對(duì)比尋找在結(jié)構(gòu)上相似的公式模型，而后對(duì)式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形使之與公式特征完全一致，從而構(gòu)造出解析幾何某一基本公式模型。

1、斜率公式：

例1、已知，求tanβ的值。（人教版高中數(shù)學(xué)必修四A版P147 B組

第8題）

解：設(shè)cosβ=x， sinβ=y，

點(diǎn)（cosβ，sinβ） 為

與圓交點(diǎn)。

設(shè)直線 與圓C的交點(diǎn)為A、

B，如圖所示， ∵

。

結(jié)合圖形可知點(diǎn)A為（cosβ，

sinβ）

tanβ=，它的幾何意義為點(diǎn)A與原點(diǎn)O連線的斜率， β為直線OA的傾斜角。

設(shè)∠OAB=α ， 因?yàn)橹本€AB的傾斜角為， 故 ，

由點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)O到直線l的距離d=|OH|=，

又∵|OA|=1，∴，tanα==

∴tanβ= tan。

例2：求的值

分析：原式類似于斜率公式，故可構(gòu)造解析幾何圖形，以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。

解：如圖，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（cos40°，sin40°），點(diǎn)B坐標(biāo)為（cos20°，

sin20°），則本題所

求的值就是直線AB

的斜率。因A、B在

單位圓

上，故OA=OB。因

此，∠OAB=∠OBA

= （180°-∠AOB）=

80°，故∠ACO=60°，

直線l傾斜角為120°

所以直線AB的斜率

=tan120°=， 即原式=。

2、距離公式：

（1）點(diǎn)到直線距離公式

例3、求函數(shù)u=sinα+cosα，的最大值和最小值。 （人教版高中數(shù)學(xué)必修四A版P140例3稍加變形）

解：∵，∴u 0，對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變形，

設(shè)d= ，其幾何意義為點(diǎn)A（cosα， sinα）到直線的距離，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為單位圓中的圓弧EF。如圖所示，易得 d的最小值為點(diǎn)E到直線l的距離，，作與直線l平行且與圓弧EF相切的切線m，則切點(diǎn)到直線L的距離取到最大值為dmax=1因此，原函數(shù)的最小值為1，最大值為 。

（2）兩點(diǎn)間距離公式

例4、已知求的最小值。

解：設(shè)點(diǎn)A（2sinα，2cosα），B（3tanβ，3cotβ），

，其幾何意義為兩動(dòng)點(diǎn)A、B間距離。

易得，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為圓弧C1：

動(dòng)點(diǎn)B的軌跡為等軸雙曲線的一支C2：，

曲線C1、C2關(guān)于直線y=

x對(duì)稱。 如圖，設(shè)直線y=x曲線

C1、C2分別交于C、D，可求

C，D（3，3），其中

O點(diǎn)為雙曲線的中心，D為雙

曲線的一頂點(diǎn)，由圖可知，

|CD|為 的最小值，因此

。

二、構(gòu)造位置關(guān)系模型

1、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：

若題設(shè)有形如Am+Bn+C=0方程時(shí)，可以考慮構(gòu)造點(diǎn)P（m，n）及直線l：Ax+By+C=0或者構(gòu)造點(diǎn)P（A，B）及直線l：mx+ny+C=0，從而得到點(diǎn)P在直線l上。

例5、已知asinθ+bcosθ=1，bsinθ+acosθ=sin2θ。

其中， 求證：a2+b2=1。

分析：把題設(shè)asinθ+bcosθ=1及要證明的問題a2+b2=1放在一起對(duì)比，產(chǎn)生一個(gè)猜測(cè)a=sinθ，b=cosθ，構(gòu)造點(diǎn)M（a，b）與點(diǎn)N（sinθ，cosθ），即兩點(diǎn)重合。

解：由題設(shè)可構(gòu)造直線l1：xsinθ+ycosθ=1，直線l2：xcosθ+ysinθ=sin2θ。

則點(diǎn)M（a，b），N（sinθ，cosθ）均在直線l1和l2上，

下面只要證明l1和l2的位置關(guān)系為相交，

由sinθ·sinθ-cosθ·cosθ=-cos2θ≠0，可知直線l1和l2相交，從而結(jié)論獲證。

2、直線與直線的位置關(guān)系：

若題設(shè)呈現(xiàn)出兩條直線平行、垂直、重合等位置關(guān)系的條件等式的特征時(shí)，則可考慮根椐三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造具有某種位置關(guān)系的兩直線方程。

例6、已知

求證sinα=

解：題設(shè)等式所呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特征與兩直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C=0（其中A2、B2、C2均不為零）重合條件的結(jié)構(gòu)特征是完全一致的，因此構(gòu)造如下兩條重合的直線

l1xcosα+ysinα=1，l22mxsin2β+（m2-1）y=m2+2mcos2β+1

顯然，L1是過單位圓x2+y2=1 上點(diǎn)（cosα，sinα）的切線，而L2與L1重合，

則L2也是單位圓的切線。 所以原點(diǎn)到直線L2的距離為1。

即化簡(jiǎn)得cos2（m2+2mcos2+1）=0，由題設(shè)知 m2+2mcos2β+1≠0，

從而得cos2β=0，將其代入題設(shè)等式，結(jié)論獲證。

3、直線與圓（或圓錐曲線）位置關(guān)系：

直線和圓（或圓錐曲線）有相交、相切、相離三種位置關(guān)系。 根據(jù)題設(shè)構(gòu)造點(diǎn)，使該點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)符合直線和圓（或圓錐曲線）的方程，由此得出直線與圓（或圓錐曲線）的位置關(guān)系為相交或相切，然后從直線和圓（或圓錐曲線）的該位置關(guān)系探求解題。

例7、求函數(shù)u=的最大值

解：構(gòu)造點(diǎn)A（），

顯然點(diǎn)A在直線x+y=u和圓x2+y2=2上，

因此直線x+y=u和圓x2+y2=2相交或相切。

由。

當(dāng)時(shí)，umax=2

例8、同例3

解 設(shè)A（cosα，sinα）

點(diǎn)A在直線x+y=u和橢圓弧，

因此直線與橢圓弧有交點(diǎn)，u的幾何意義為直線的縱截距，結(jié)合圖形可知，

當(dāng)直線x+y=u過M（1，0）時(shí)，umin=1

當(dāng)直線x+y=u與橢圓弧相切時(shí)，u取到最大值。

由消去y得，6x2-2ux+u2-5=0

令得，u=（舍去負(fù)值）

因此，原函數(shù)的最大值為，最小值為1。

由以上幾例可以看出，構(gòu)造解析幾何模型解三角函數(shù)問題的關(guān)鍵是在“構(gòu)造”，它可以構(gòu)造解析幾何基本公式、位置關(guān)系等模型。在解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生從多角度，多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，從求解問題的數(shù)式挖掘出潛在的解析幾何模型，然后利用解析法求解。這不僅可以促使學(xué)生要熟悉解析幾何、三角等基本知識(shí)技能并多方面設(shè)法加以綜合利用，而且對(duì)學(xué)生的多元思維的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的提高以及鉆研獨(dú)創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍主編：《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4修A版》.人民教育出版社，2007年2月第2版

[2]鄭朝輝：“解三角問題的若干技巧”.《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》.2007年第2期