線段和差最值問題的教學(xué)探索

線段的和差最值問題是近幾年中考的熱門考點(diǎn)之一，學(xué)生遇到這類問題，往往無(wú)從入手。再者，數(shù)學(xué)題目類型變化多樣，任意改變一個(gè)條件，可能結(jié)論和解題方法就不同了。為了能使學(xué)生在這變化多樣題型下找出固定不變的解題規(guī)律，減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，筆者覺得有必要對(duì)這類問題加以探索和歸納。本文通過(guò)對(duì)一些實(shí)例來(lái)探索線段及兩條線段和差最值等問題。

一、可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)到直線垂線段最短”來(lái)解題的最值問題。

例1，已知如圖，AM是邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC邊BC上的中線，E為中線AM上一動(dòng)點(diǎn)，把線段CE繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段CF，連MF，求線段MF的最小值。

分析：M是定點(diǎn)，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，要求MF的最小值必須找出F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，難度較大。由于CF是由CE旋轉(zhuǎn)得來(lái)的，因此能否利用點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)解題呢？取AC中點(diǎn)N，連NE，由△CEN≌△CFM可得MF=NE，而NE的最小值是點(diǎn)N到直線AM的距離，所以可通過(guò)求NE的最小值來(lái)解題。這里把線段MF的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)N到直線AM垂線段最短來(lái)解決。

二、可轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解題的最值問題。

1、“兩條動(dòng)線段和”的最小值問題。

此類問題常見的是典型的“牛吃草、喝水、回家”問題，問題的關(guān)鍵是找出一條對(duì)稱軸“河流”，先作其中一點(diǎn)（吃草地方或家）關(guān)于該對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)之間的線段最短這一“幾何模型”來(lái)解決問題。

例2，已知拋物線y=x2-2x-3與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，求M點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：M是動(dòng)點(diǎn)，線段CM、DM是動(dòng)線段，求它們之和的最小值，不易。做C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連EM，則EM=CM，當(dāng)點(diǎn)E、M、D在一直線上時(shí)，EM+DM值最小。

歸納：這類問題把對(duì)稱軸同側(cè)兩點(diǎn)利用軸對(duì)稱化為對(duì)稱軸異側(cè)兩點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短以及軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)解決。

2、“三條動(dòng)線段的和”最小值問題。

三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，這類問題關(guān)鍵是找出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”建立“幾何模型”利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決。

例3，如圖，拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點(diǎn)A、B為OA中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G從B出發(fā)，先經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)M，再經(jīng)過(guò)拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)N，然后反回到點(diǎn)A，如果動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)M、N的位置，并求最短路線。

分析：做B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連EF，就可以找出M、N的位置了。

其實(shí)三條動(dòng)線段的和最小值的問題還有很多，關(guān)鍵是要找對(duì)它們所涉及的“幾何模型”，加以突破。下面這個(gè)例子是非常典型的類型。

例4，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（-2，m）是拋物線上一點(diǎn)，M為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且MN∥x軸。

（1）求m值。

（2）若CM+MN+BN值最小，求M、N的坐標(biāo)。

分析：由于線段MN是定長(zhǎng)，當(dāng)CM +BN取值最小時(shí)CM+MN+BN值最小，因此只要通過(guò)線段平移，就能解決。這類問題通過(guò)構(gòu)建“河上橋”模型，利用橋的長(zhǎng)度是定長(zhǎng)，把三條線段和最小問題轉(zhuǎn)化為兩條線段的最小問題，再利用圖形的平移及兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決問題。

三、可轉(zhuǎn)化為“三角形三邊關(guān)系”來(lái)解題的最值問題

例5，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，P為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若|AP-CP|取最大值，求P點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：P是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求|AP-CP|的最大值，學(xué)生往往用A的對(duì)稱點(diǎn)B，連BC來(lái)解題。遺憾，錯(cuò)了，連BC只能得到BP+CP的最小值，本題不是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解題，而是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng)這一“幾何模型”來(lái)解決。因此，當(dāng)點(diǎn)A、P、C在一直線上時(shí)|AP-CP|取最大值。當(dāng)然題目若求|BP-CP|的最大值，反而要做B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A，使兩定點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)同側(cè)來(lái)解題。

也許在以后解題或中考中可能還會(huì)出現(xiàn)其他變化題型的最值問題，請(qǐng)大家不要緊張，這類問題的解題技巧是要找出問題的初始幾何基礎(chǔ)模型，“形”是突破口，找到初始的基礎(chǔ)的“幾何模型”是關(guān)鍵，然后利用已有幾何知識(shí)結(jié)合代數(shù)（函數(shù)）等知識(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)挠?jì)算來(lái)解題。