對數(shù)學負經(jīng)驗的理性認識與有效利用

【摘 要】經(jīng)驗是兒童學習數(shù)學的重要基礎(chǔ)，既可以促進學生知識的學習，也可以不同程度地干擾著學生的數(shù)學學習。平時的教學中往往片面強調(diào)了經(jīng)驗對學習的促進作用，忽視了它的負面影響。本文結(jié)合教學案例，從“誘發(fā)負經(jīng)驗，重構(gòu)認知”、“展開負經(jīng)驗，找到共生點”、“借鑒負經(jīng)驗，反思促成長”這三方面進行具體闡述，“化負為正“使得數(shù)學負經(jīng)驗成為學生的數(shù)學學習的助推劑，促進學生的學習，提高學生的學習效率。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學負經(jīng)驗 理性認識 有效利用

1 啟示：來自于一次真實的經(jīng)歷……

眾所周知，數(shù)學教學應(yīng)該是從學生的已有經(jīng)驗出發(fā)，向他們提供充分從事數(shù)學活動與交流的機會，幫助他們在自主探索的過程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想與方法，同時獲得廣泛的數(shù)學經(jīng)驗，成為學習數(shù)學的主人。毫無疑問兒童獲得知識，必須建構(gòu)起知識的意義。而知識意義的獲得，理所當然地要以個人的經(jīng)驗為基礎(chǔ)。脫離了個體原有的經(jīng)驗，知識就可能成為空中樓閣或一盤散沙。所以在我的數(shù)學課堂上非常關(guān)注學生已有經(jīng)驗，然而有一次教學卻被學生的經(jīng)驗所震驚……

案例回放：教學《三角形畫高》，我們會有這樣的體會，如圖擺放的三角形學生作高的準確率能達到95%以上，可是當把這個三角形旋轉(zhuǎn)一定的角度以后，學生的正確率就降到了50%以下，典型的錯誤就是如圖。之前我分析是因為學生對用三角尺作垂線的技能不過關(guān)，花了不少精力，可收效甚微。當我把正確的高畫好后，有位小男生在說：“老師的高怎么歪在那里的。不正的?！?/p>

深度反思：不經(jīng)意的一句話，引起我的注意——

“你為什么說老師的高是歪著的呢？”

“老師，高是從上面筆直的朝下，是不能這樣歪過去的?！彼呎f還邊比劃。

哦！對哦，我們生活中所說的高是以地面作為底的，都是和地面成90度直角的。這就是學生的生活經(jīng)驗中的“高”。我們數(shù)學上所講的高也是與底成90度，但是我們數(shù)學上的底的位置不是固定的，所以高不一定是正的。

2 理解：經(jīng)驗并非只是有正面的……

2.1 什么是數(shù)學經(jīng)驗

我查了《現(xiàn)代漢語詞典》在漢語里，經(jīng)驗有兩層意思：作為名詞，從多次實踐中得到的知識和技能，當效驗、驗證講；作為動詞，表示人親身經(jīng)歷過。在哲學上，經(jīng)驗是指人們在認識客觀事物的過程中，獲得的關(guān)于客觀事物的認識。華東師范大學張奠基教授指出：所謂基本數(shù)學經(jīng)驗，學生在數(shù)學目標的指引下，通過對具體事物進行實際的操作、考察和思考，從感性向理性飛躍所積淀下來的認識。經(jīng)驗是一種從屬于學生自己的“隱性知識”，是學生經(jīng)過數(shù)學學習后對整個數(shù)學活動過程產(chǎn)生的認識。

2.2 什么是數(shù)學負經(jīng)驗

學生生活在瞬息萬變的社會中，他們并不是入學后才接觸數(shù)學，也不僅僅在學校中才接觸數(shù)學。他們在上小學之前，已經(jīng)遇到許多數(shù)學，積累了一些初步的經(jīng)驗。各種各樣的生活現(xiàn)象都會毫無阻攔地進入他們的認知領(lǐng)域，使他們獲得了數(shù)量和幾何形體的最初步的觀念，以及入學后各種不同學習的經(jīng)歷所得到的數(shù)學學習經(jīng)驗。這些經(jīng)驗有些是非正規(guī)的、不系統(tǒng)的，甚至是模糊的，或許還有錯誤隱藏其中，這就是我們所要關(guān)注的數(shù)學負經(jīng)驗，這些負經(jīng)驗必然會對他們的數(shù)學學習產(chǎn)生負面影響。而我們很多一線教師在教學設(shè)計時往往是極力挖取學生前三類經(jīng)驗而忽視了數(shù)學負經(jīng)驗的負面影響，但它卻真真實實的存在，而且在背地里偷偷的牽制著學生的學習。

2.3 數(shù)學負經(jīng)驗的不利影響

2.3.1 生活經(jīng)驗的先入為主

我們的數(shù)學來源與生活，但又不同與生活。而我們的學生在學習數(shù)學知識之前，已經(jīng)積累了一定的日常經(jīng)驗，對一些問題也有了自己的觀點。這些觀點雖然有它的正確一面，但卻存在一定的片面性和表面性，甚至有些觀念和我們所學的數(shù)學知識是相矛盾的。這勢必會影響到學生對知識的理解和掌握。

【案例】比如我們在認識三角形和梯形的時候會提到“腰”這個概念。生活中我們對腰只是一種表象，處在中間位置。而在數(shù)學中，卻有明確的定義，梯形是把除了平行的上、下底以外的兩條邊作為腰。三角形更嚴格，必須是相等的兩條邊作為腰。當圖形通過旋轉(zhuǎn)后，許多孩子就無法正確找到三角形和梯形的腰了。

有些數(shù)學概念來源于生活，經(jīng)過上升后形成的數(shù)學概念有時卻與生活原始概念有一定的區(qū)別，甚至相差很大，學生會以生活中概念代替數(shù)學概念進行思維活動，形成錯誤。學生對高的原始認識是垂直于水平面的，一旦遇到變式的高就由潛伏狀態(tài)顯露出來，反映在解題的思維上。

在這道題目中有30%的學生認為（5）是平行四邊形的高。有62.3%的學生認為（2）不是平行四邊形的高，圖形（7）中45.7%的學生認為兩條高的底都是下面這條底。

2.3.2 學習經(jīng)驗的捆綁束縛

我們的學生在平時的學習中積累了許多豐富的學習經(jīng)驗，在開始學習一種新類型的題目時，一方面容易受已學過類型的學習經(jīng)驗的干擾。例如在解決工程問題時出現(xiàn)以下題目：“兩地相距540千米，一輛貨車從甲城到乙城需要9小時，

一輛客車從乙城到甲城需要6小時，兩車同時相向而行，幾小時后相遇？”不少學生一看到題目就想到過去習慣的相遇。于是套用以前解決這類題目的經(jīng)驗，通過繁瑣的計算，先分別求出兩車速度，再求出速度和，再求出幾小時相遇。其實如能擺脫先前學習經(jīng)驗的束縛，撇開“540千米”這一具體數(shù)量，轉(zhuǎn)化成工程問題，計算就簡捷多了。

另一方面在學過一段時間新類型后，又常表現(xiàn)為誤用新方法去解舊有的題型，思維不能隨題目性質(zhì)的改變而靈活轉(zhuǎn)化。由于受新獲得學習經(jīng)驗的影響，有時連最簡單的題目也會出錯。

【案例】把幾件東西合并起來就“多”了，從一件東西里拿走幾個后剩下的就“少”了。這種經(jīng)驗在“求總數(shù)”、“求剩余”解決問題時就形成了“一共→加”、“剩余→減”的簡單聯(lián)系。不少學生往往記住以個別詞語為依據(jù)去解題，而當題目表達方式或數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化后仍錯誤的套用已有經(jīng)驗就難免發(fā)生各種錯誤。

例如：“有19個蘋果，蘋果比梨多4個，梨有幾個？”有的學生一看到“比……多”就誤認為用加法計算。單獨學習分數(shù)乘法、除法應(yīng)用題正確率高，可當兩個單元上完后，錯誤百出等等。

3 出路：負經(jīng)驗完全可以有效利用……

3.1 誘發(fā)負經(jīng)驗，重構(gòu)認知

我們的學生都有自己的經(jīng)驗，每個學生都會運用自己的經(jīng)驗去探索、去解決他所碰到的問題，呈現(xiàn)出不同的解決問題的方式和方法。然而由于學生的經(jīng)驗存在一些不足，從而導(dǎo)致學生在學習和在解決問題時會出現(xiàn)一些偏差，進而影響學生的成長。因此，我們在教學設(shè)計中要充分認識到這一點，通過

3.1.1 預(yù)設(shè)“陷阱”引發(fā)深思

在平時的教學中，因為學生的負經(jīng)驗導(dǎo)致不同批的學生總是出現(xiàn)一些類似的共性問題。我們教師就要仔細分析，挖掘問題背后的緣由。我們可以有意識的設(shè)計一些“陷阱”，讓學生暴露自己的不足，引導(dǎo)他們?nèi)シ此肌⑷ケ嫖?，從而達到對知識的深化認識。

【案例】“一塊長方形鐵皮，長是32厘米，寬16厘米，如果用它剪直徑2厘米的圓片，最多可以剪多少個？”

生1：32×16÷[3.14×（2÷2）2]≈163（片）。

師：能說說你的想法嗎？

生1：我是根據(jù)以前學習鋪地磚的方法，采用大面積除以小面積得到的。

然而，本題卻根本不能用這種方法去解答！但是很多學生點頭表示贊同。

師：請這位同學來展示自己的圖片，說說你的看法。

生2：我覺得應(yīng)該沒這么多，因為每個圓之間有空隙。

生3：我也贊同，我認為應(yīng)該是（32÷2）×（16÷2）=128（片）

生4：我可以把它理解為（如下圖）16×8÷（2×2）=32（片）。這樣就不存在空隙了。

可見，經(jīng)驗是一把“雙刃劍”，成功因為經(jīng)驗，錯誤也可能因為經(jīng)驗！

3.1.2 巧妙設(shè)計 重構(gòu)舊知

在教學中，學生受到年齡的限制，往往比較片面的把握知識，形成對知識的片面認識，進而積累負效的數(shù)學經(jīng)驗，影響學生對知識的正確把握。我們的教師要關(guān)注學生存在的這種現(xiàn)象，預(yù)想學生可能出現(xiàn)的差錯，分析錯誤與數(shù)學經(jīng)驗間的關(guān)系，巧妙的設(shè)計材料，引發(fā)認知沖突。

【案例】在學生學習了平均數(shù)后，在練習課上，我出示以下信息：

平均數(shù)：3.0286

讓學生猜測跳3.03米的錢軍會是第幾名，學生積極性空前高漲，一個個都仗著對平均數(shù)的理解和生活經(jīng)驗出發(fā)，紛紛喊出“第五名”、“第六名”、“第四名”，理所當然地認為3.03米的成績肯定位于組內(nèi)中下水平了。此時，我逐一亮出這6位同學的成績，比較發(fā)現(xiàn)竟然是第二名（表格補充如下）。

平均數(shù)：3.0286

這時候，一個個學生驚呆了，簡直不相信自己的眼睛，個個都在嘀咕“這……這……怎么可能呢？”，我請學生靜靜地思考原因。面對這一組數(shù)據(jù)，過了一會兒，同學們有很多話要說。

生1：平均數(shù)會騙人。

生2：平均數(shù)不能代表小組的一般水平。

生3：王力的成績太好了，抬高了其他6人的成績。

如此一方面讓學生更全面的認識平均數(shù)，另一方面為后續(xù)知識的出現(xiàn)做好鋪墊。

通過對課堂教學的巧妙設(shè)計，引起學生認知的沖突，進而重新認識以往學過的知識，重新建構(gòu)自己的知識體系并為后續(xù)的知識學習打下堅實的基礎(chǔ)。

3.2 展開負經(jīng)驗，找到共生點

負經(jīng)驗存在于我們每個學生當中，所以在學生的學習過程中它總是會出來搗亂，我們只有耐心的讓問題充分的流露出來，我們才能發(fā)現(xiàn)問題背后隱藏的負經(jīng)驗，引領(lǐng)學生從問題中找出合理的一面，從問題中找出與正確方法之間的聯(lián)系，把“問題”資源巧妙地予以運用，不僅能讓學生盡快走出誤區(qū)，并能激發(fā)學生的創(chuàng)新思維。

3.2.1 順水推舟 錨駐共生點

我們要創(chuàng)建寬松的學習氛圍，極力營造一個和諧的課堂，讓學生敢于暴露自己的思維，勇于發(fā)表自己的見解。教師要充分賞識學生個性，盡量給學生充裕的時間體驗、感悟、思考、質(zhì)疑、探討、表達。在這個過程中慢慢地明確其中共性的知識，體會到學習的樂趣。

【案例】我們在學習分數(shù)大小比較的時候，教師的設(shè)計中不特意強調(diào)同一個單位“1”，教材中也并沒有要求而只是作為一個隱信，這固然是因為考慮到學生的認知水平做出的處理，可是這也給學生對分數(shù)的認識造成殘缺，不利于學生對分數(shù)的認識，才會有下面這一幕：

當我讓同學猜測與的大小時，有一個學生是這么說的，

生1：我認為大于，因為我是把6塊餅干平均分成3份，每份是2塊。把5塊餅干平均分成5份，其中每份是1塊。

有理有據(jù)一時收買了不少人。怎么辦？我靈機一動，何不順水推舟呢？

師：“你們認為與誰大？”

學生齊聲回答：“大?！?/p>

師：“我可以證明比小?！蔽夷贸鰞蓮埓笮∠嗖詈艽蟮募?，大的折成，小的折成。然后讓學生觀察結(jié)果。

這時學生不樂意了，

生2：“老師，你不公平的，兩張紙都不一樣大的?！?/p>

生3：“如果是這樣的話，我還可以讓這兩個分數(shù)一樣大?！闭f著還比劃起來。

師：“那你們覺得呢？”

生2：“我認為應(yīng)該用一樣大小的紙?！?/p>

生4：“或者一樣多的紙也行?！?/p>

課堂就在這樣的氛圍中繼續(xù)著。

在本案例中，雖然我知道學生產(chǎn)生這樣的問題的原因，但我并沒有提前阻止，而是放手讓數(shù)學負經(jīng)驗飛一會兒，充分暴露它，然后讓學生通過觀點的碰撞使得負經(jīng)驗成為了學生學習的助推劑。學生經(jīng)歷了這個過程，收獲了知識，有一種豁然開朗的感覺，嘗到了學習的甜。

3.2.2 比對思辯 共筑共生點

我們都知道數(shù)學的內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的。以學生的真實存在的內(nèi)容為教學藍本，讓學生通過嘗試活動，把解決問題的主動權(quán)還給學生，引導(dǎo)他們比較、思辨。讓他們自己明確引起問題的負經(jīng)驗，知道改正的方法，體驗知識的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，形成系統(tǒng)，避免以后再犯類似的問題。

【案例】我在教學百分數(shù)的應(yīng)用題時有這樣一個教學片段：

出示問題：大美麗百貨開張了，現(xiàn)在這件產(chǎn)商品的售價是255元，比原來降低了15℅。這件商品的原價是多少元？

讀題，理解題意。 學生自己解答。 學生匯報、交流。

生1：我用方程解：根據(jù) 原來的價格—降低的價格=現(xiàn)在的價格

解：設(shè)原來這件商品的售價是x元。

x-15% x=255

85% x=255

x=255÷85%

x=300

答：原來每件產(chǎn)品的成本是300元。

生2：我用算術(shù)方法：255÷（1—15%）=44元

生3：我還有一種解法：255×（1+15%）=293.25元

師 ：能把你的解題思路說一說嗎？

生3：我是這樣想的：現(xiàn)在比原來降低了15%，就是原來比現(xiàn)在多了15%，所以求現(xiàn)在的成本的（1+15%），就是原來的成本。列式是255×（1+15%）。

師：同學們對最后發(fā)言的這位同學的解題思路有什么看法？

這時教室里，議論開了。爭著舉手回答。

生4：我也是這樣想的，不過答案和前面的兩種解法的答案不相同，我有些不明白。

生5：我覺得肯定不對，現(xiàn)在的商店里根本不可能出現(xiàn)這樣的價格，還有幾角幾分的？麻煩死了。

生6：我覺得他的解題思路是不對的，例如：前面我們學過的，8比5多3/5，也就是多60%，單位“1”是5；但5比8卻沒有少3/5，而是少3/8，也就是少37.5%，單位“1”是8。所以現(xiàn)在的價格比原來降低15%，應(yīng)該以“原來的價格”為單位“1”，不能理解為“原來的價格比現(xiàn)在多15%”，那么單位“1”就換成了“現(xiàn)在的價格”。

生7：從“現(xiàn)在每件商品的價格是255元，比原來降低15%”應(yīng)該把“原來的價格”看作單位“1”，而單位“1”的量是未知的，所以用除法計算，不是用乘法計算。

師：聽了后面的這兩位同學的發(fā)言，現(xiàn)在你知道你錯在哪里了嗎？

生3：我知道我錯在把單位“1”弄錯了。

師：同學們，我們在解答百分數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？

生7：關(guān)鍵是找準單位“1”的量。

生8：不能把分率句倒過來理解。

教師小結(jié)：同學們說得都很有道理。的確在解答百分數(shù)應(yīng)用題時，也像分數(shù)應(yīng)用題一樣，先找準單位“1”的量，根據(jù)單位“1”的量是已知的，還是未知的，來選擇正確的解法。當然我們這位同學會有這樣的想法，主要是由于受到以前我比你多10個，你就比我少10個。這個數(shù)學經(jīng)驗的影響。

英國心理學家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的?！钡俏矣X得我們在利用的時候應(yīng)該找到問題的源頭在哪里，只有找到其源頭我們才能有針對性的幫助學生，使其知其然，并知其所以然。

3.3 借鑒負經(jīng)驗，反思促成長

在平時的教學中，你會發(fā)現(xiàn)同樣的問題會重復(fù)的出現(xiàn)，固然有很多的原因，但是其中必有數(shù)學負經(jīng)驗在作怪。怎樣才能讓背后的數(shù)學負經(jīng)驗走到前臺來，減少它所帶來的負作用，建一個記錄本可以比較好的幫助學生走出困境。

【案例1】

比如有這樣的一道判斷題：

一件商品先提價25%，再降價20%，現(xiàn)價與原價一樣。（ ）

這道題的失分率達到了97%，很多學生幾乎是看都不用看就做出了判斷。后來學生在分析的時候是這么表述的：我們之前做過一件商品先提價10%，后再降價10%，這時原價比現(xiàn)價要高，那是因為單位“1”不同。后來我們還做過好多類似的題目，我們曉得了這樣一個事實，只要是有漲有降，它們的價格是不一樣的，所以在判斷這道題目的時候就直接判斷是錯的。

像這樣的問題還有很多，比如求半圓周長，我們平時都是要加上直徑的。當出現(xiàn)求半圓弧長的時候很多孩子還是習慣性的加上直徑。又如有一段公路，第一天先修了，再修米，誰修的多？往往會學生會選擇無法比較。其實這些問題摘錄以后，我們把它們匯總、分析、反思后就會讓背后的數(shù)學負經(jīng)驗浮現(xiàn)出來

【案例2】

我們通過平時的積累，一個單元結(jié)束我們還進行匯總，全班交流，形成班級單元本，掛在教室里供大家翻閱。我們通過這樣的形式，讓我們的學生能經(jīng)常的去反思，時刻保持對負經(jīng)驗的警惕，讓發(fā)生在別人身上的問題成為我借鑒的范本。

總之，學習中的有一部分錯誤資源源自于學生已有的數(shù)學經(jīng)驗，作為教師，要正確認識學生已有的經(jīng)驗，特別是負經(jīng)驗，它是一把雙刃劍，如果處理不當，往往會造成教育的失誤，但只要經(jīng)過對負經(jīng)驗的分析與思考，總能發(fā)現(xiàn)其中某種合理的成分，有的甚至隱藏著一種超常、一種獨特，反射出智慧的光芒。在教學中教師對學生的“負經(jīng)驗”不逃避，直面“負經(jīng)驗”，采取有效的措施化“負”為“正”，這是小學數(shù)學教師應(yīng)該具備的認識和理念。

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