數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用探究

一、數(shù)形結(jié)合思想的概述

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。在中學(xué)階段，主要的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換和轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等等。華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合萬(wàn)般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！睌?shù)形結(jié)合思想就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)研究和解決數(shù)形問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的研究有助于提高我們的思維能力，有利于我們更好的掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)，特別是在解決一些高考題上，利用數(shù)形結(jié)合思維解題能事半功倍，提高解題效率，取得較好的考試成績(jī)，接下來(lái)我們將要探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想的途徑

（1）以形助數(shù)

借助于形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法。

（2）以數(shù)助形

借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。

三、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

3.1 數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

例1.某班有54名同學(xué)，其中會(huì)打籃球的有36人，其余的不會(huì)；會(huì)踢足球的比會(huì)打籃球的多4人，其余的不會(huì)；另外這兩種球都不會(huì)的人數(shù)比都會(huì)的人數(shù)的還少1人；問(wèn)：既會(huì)打籃球又會(huì)踢足球的人數(shù)是多少人？

解：利用韋恩圖，用圓A、B分別表示會(huì)打籃球和會(huì)踢足球的人數(shù)；那么A∩B表示既會(huì)打籃球又會(huì)踢足球的人數(shù)，設(shè)為x；則各部分的人數(shù)如右圖所示，由題意可知：，解得x=28；即既會(huì)打籃球又會(huì)踢足球的人數(shù)為28人。

評(píng)注：先利用韋恩圖表示出圖中的數(shù)學(xué)關(guān)系，再根據(jù)圖中各數(shù)量之間的關(guān)系列方程求解即可。

3.2 數(shù)形結(jié)合思想在解不等式中的應(yīng)用

例2.解關(guān)于x的不等式

解：設(shè).

令，解之得.

分別在同一坐標(biāo)系中作出和

在時(shí)的函數(shù)圖象，如右圖所示：

我們通過(guò)觀察圖象可知：

當(dāng)時(shí)，和的函數(shù)值相等；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可知原不等式的解為.

評(píng)注：通過(guò)圖像觀察，將不等式求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，然后在分類討論；從而使解題過(guò)程更簡(jiǎn)潔，解題步驟更簡(jiǎn)便。

3.3 數(shù)形結(jié)合思想解決最值、值域問(wèn)題

例3.設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.

解一：由；①當(dāng)時(shí)，如圖（1）所示，在上最小值為，故，解得.

②當(dāng)時(shí)，如圖（2）所示，可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)?，故解得；綜上.

解二：由，令，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像。如圖（3）所示，滿足條件的直線l位于l1與l2之外，直線l對(duì)應(yīng)的斜率分別為2，-6；此時(shí)a值分別為1，-3；故直線l對(duì)應(yīng)的。

評(píng)注：本題解法一先通過(guò)變形，再轉(zhuǎn)化為根據(jù)圖形求二次函數(shù)的值域問(wèn)題；解法二通過(guò)變形，轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的位置關(guān)系，解出兩種特殊情況，進(jìn)而把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像問(wèn)題進(jìn)行求解。

3.4 數(shù)形結(jié)合思想解決圓錐曲線問(wèn)題

例4.設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為，

其離心率為，若直線l過(guò)點(diǎn)P（0，4），則直線l何時(shí)與橢圓M相交？

解：因?yàn)?，所以，由?/p>

得，橢圓方程為.通過(guò)圖像觀察：

①點(diǎn)P（0，4）的直線l垂直于x軸時(shí)，直線l與橢圓M相交。

②點(diǎn)P（0，4）的直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為

.由，消去y得到.

當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，=0.解得.又因?yàn)橹本€與橢圓相交，所以或綜上所述，直線l垂直于x軸時(shí)或直線l的斜率的取值范圍為時(shí)，直線l與橢圓M相交。

評(píng)注：本題通過(guò)先求解橢圓方程，再畫(huà)圖觀察發(fā)現(xiàn)，直線與橢圓相交分為兩種情況，再分別對(duì)直線斜率不存在和存在的兩種情況進(jìn)行討論，最后解出正確答案。

3.5 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例5.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求.

解：設(shè)p

評(píng)注：在等差數(shù)列中，an可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖像是一條直線上的連續(xù)孤立點(diǎn)，通過(guò)三點(diǎn)共線，其任意兩點(diǎn)斜率相等，列出方程求解即可。

四、數(shù)形結(jié)合思想在應(yīng)用中的易錯(cuò)點(diǎn)

例6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

解：先畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)是周期為4的偶函數(shù)，而是定義域在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)；觀察圖像（1）可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)。

本題的錯(cuò)誤在于圖像不完整，在x=6時(shí)，；即函數(shù)圖像在函數(shù)上方。故兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)，如圖（2）所示。所以，函數(shù)的有5個(gè)零點(diǎn)。

評(píng)注：通常求函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)的交點(diǎn)，因此在通過(guò)圖像觀察兩函數(shù)交點(diǎn)的時(shí)候，因注意圖像的完整和準(zhǔn)確，有時(shí)僅畫(huà)圖示“意”是不夠的，還必須注意“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)，要做到“會(huì)意”與“驗(yàn)算”相結(jié)合，只有這樣，才能發(fā)揮圖形正確的判定作用。

參考文獻(xiàn)

[1]《試題調(diào)研》.新疆青少年出版社.2013，06

[2]《更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法》.浙江大學(xué)出版社.2014，08

[3]《同一卷》.武漢大學(xué)出版社.2015，08