分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

[摘 要] 解數(shù)學(xué)問(wèn)題往往可以用到眾多的思想方法，如轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、數(shù)學(xué)建模等等，而在這些思想方法中，分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程經(jīng)常會(huì)遇到分類(lèi)問(wèn)題，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常常需要通過(guò)分類(lèi)討論解決。從滲透在教材中的分類(lèi)思想出發(fā)，結(jié)合例題闡述了分類(lèi)討論的思想、分類(lèi)的原則、分類(lèi)討論的應(yīng)用，從而體現(xiàn)分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)解題中的作用和地位。

[關(guān) 鍵 詞] 數(shù)學(xué)；分類(lèi)討論思想；分類(lèi)的原則；應(yīng)用

[中圖分類(lèi)號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2016）08-0078-02

數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確提出了數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。那么，教師如何挖掘課本中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，如何培養(yǎng)、發(fā)展、豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一項(xiàng)重要課題。在數(shù)學(xué)新課程中，分類(lèi)思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩的，在整個(gè)高中階段，很多問(wèn)題都用到了分類(lèi)的思想，甚至在高職考試題中也要用到分類(lèi)討論思想。

一、分類(lèi)討論的思想

所謂分類(lèi)討論，就是分別歸類(lèi)再進(jìn)行討論的意思，數(shù)學(xué)中的分類(lèi)過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程，解題時(shí)要使學(xué)生體會(huì)為什么要分類(lèi)，如何正確分類(lèi)，如何確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，在分類(lèi)的過(guò)程中如何認(rèn)識(shí)事物的屬性，如何區(qū)分不同事物的不同屬性，這些問(wèn)題都是教師在教學(xué)中要特別重視的。學(xué)生只有通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練和積累，才能逐步感悟到分類(lèi)思想的真諦以及它的重要性。分類(lèi)體現(xiàn)了化整為零，化零為整與歸類(lèi)整理的思想，它揭示著數(shù)學(xué)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)分類(lèi)有助于學(xué)生總結(jié)歸納所學(xué)的知識(shí)，使所學(xué)的知識(shí)條理化，提高思維的概括性和周密性，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

我們?cè)谶\(yùn)用分類(lèi)討論思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要審清題意，然后根據(jù)題意再確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類(lèi)只能按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，不能重復(fù)也不能遺漏，另外還要對(duì)每一情形逐一認(rèn)真解答。我們經(jīng)常碰到這樣的情況，當(dāng)問(wèn)題解答到某一步驟后，需要按一定的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分為若干個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行討論，這樣常?？梢允箚?wèn)題化繁為簡(jiǎn)，從而使問(wèn)題得以解決。

二、分類(lèi)的原則

分類(lèi)討論必須遵循一定的原則進(jìn)行，在高中階段，我們經(jīng)常用到以下幾個(gè)原則。

（一）同一性原則

分類(lèi)應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類(lèi)不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，否則會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的現(xiàn)象。舉個(gè)簡(jiǎn)單例子，有些同學(xué)認(rèn)為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類(lèi)是錯(cuò)誤的，不但以邊來(lái)分類(lèi)而且以角來(lái)分類(lèi)，等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類(lèi)犯了標(biāo)準(zhǔn)不同的錯(cuò)誤。

（二）互斥性原則

分類(lèi)后的每一個(gè)子類(lèi)應(yīng)該具備互不相容的原則，即不能出現(xiàn)有一項(xiàng)既屬于這一類(lèi)又屬于那一類(lèi)，也就是沒(méi)有交集的情況。例如學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，規(guī)定每個(gè)學(xué)生只能參加一項(xiàng)比賽，10（2）班的6名同學(xué)報(bào)名參加100米和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目就要用到分類(lèi)的互斥性原則。

（三）完整性原則

分類(lèi)后的每一個(gè)子類(lèi)合并起來(lái)應(yīng)該等于總類(lèi)，否則會(huì)出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象。例如，某人把實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)，這樣的分類(lèi)是不完整的，因?yàn)榱阋彩菍?shí)數(shù)，但是零既不是正實(shí)數(shù)也不是負(fù)實(shí)數(shù)。

（四）多層性原則

分類(lèi)后的子類(lèi)還可以繼續(xù)進(jìn)一步分類(lèi)，直到不能再分為止。例如實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)可以分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。

三、分類(lèi)討論的應(yīng)用

我們用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題的一般步驟是：

1.先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍。

2.正確選擇分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類(lèi)。

3.逐類(lèi)討論解決。

4.歸納并作出結(jié)論。

下面淺談一下分類(lèi)討論思想在高職考試中的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用：

（一）分類(lèi)討論在排列組合問(wèn)題中的應(yīng)用

解決排列組合問(wèn)題的關(guān)鍵是“分類(lèi)”或“分步”，也就是加法原理和乘法原理的理解和應(yīng)用，學(xué)生能做到準(zhǔn)確分類(lèi)，不重不漏實(shí)屬不易。

例題1：由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

【分析】首先，你得知道什么是偶數(shù)。決定偶數(shù)的關(guān)鍵是個(gè)位數(shù)為0，2，4，6，8，具體到本題個(gè)位數(shù)應(yīng)為0，2，4。按個(gè)位數(shù)的不同，我們可以把符合條件的三位偶數(shù)分為三類(lèi)。個(gè)位為數(shù)字“0”的三位偶數(shù)有12個(gè)，個(gè)位為數(shù)字“2”的三位偶數(shù)有9個(gè)，個(gè)位為數(shù)字“4”的三位偶數(shù)有9個(gè)，所以滿(mǎn)足條件的三位偶數(shù)一共有30個(gè)。

例題2：100件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意取5件，則取出的5件產(chǎn)品中至多有2件次品的取法有多少種？

【分析】根據(jù)題意，關(guān)鍵理解“至多”的含義，應(yīng)分為三類(lèi)，即“5件中全為正品”“5件中有1件次品4件正品”“5件中有2件次品3件正品”三類(lèi)。

第一類(lèi)有C597種抽法；

第二類(lèi)有C13C497種抽法；

第三類(lèi)有C23C397種抽法。

所以，滿(mǎn)足條件的抽法共有C597+C13C497+C23C397種。

（二）分類(lèi)討論在解含有參數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

例題3：不等式（a-3）x2+（a-3）x-1<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍。

【分析】要解此題，首先應(yīng)正確理解“不等式（a-3）x2+（a-3）x-1<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”的含義，就是不等式的解集為實(shí)數(shù)集。然后構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)，y=（a-3）x2+（a-3）x-1，再用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)圖像來(lái)找出問(wèn)題答案，我們非常容易得到，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，且與x軸無(wú)交點(diǎn)，于是得方程組：

a-3<0Δ<0，即a-3<0（a-3）2+4（a-3）<0

解得-1

此時(shí)你如果覺(jué)得此題已經(jīng)解決，那就錯(cuò)了，你恰恰忽略了a-3=0的情形，此題考查學(xué)生思維的完整性。完整的思路應(yīng)該應(yīng)用分類(lèi)思想，把二次函數(shù)x2的系數(shù)a-3分成a-3-0和a-3≠0兩種情形。顯然，當(dāng)a-3=0，即a=3時(shí)，代入得-1<0對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，所以，a的取值范圍是-1

例題4：求滿(mǎn)足loga2<1的a的取值范圍。

【分析】我們用對(duì)數(shù)的性質(zhì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)換成loga2

當(dāng)0

當(dāng)a>0時(shí)，解得a>2，

綜上兩種情形，滿(mǎn)足滿(mǎn)足loga2<1的a的取值范圍是02。