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    小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想

    2016-04-29 00:00:00陳鑫
    讀寫算·基礎(chǔ)教育研究 2016年15期

    【摘要】 數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí),數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式,實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的,差別只是站在不同的角度看問(wèn)題。通?;旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。而小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識(shí)系統(tǒng),看不到由特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的 心智活動(dòng)過(guò)程。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識(shí)系統(tǒng)。

    【關(guān)鍵詞】 小學(xué)數(shù)學(xué) 思想

    一、方程和函數(shù)思想

    在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立一個(gè)等式,把生活語(yǔ)言“翻譯”成代數(shù)語(yǔ)言的過(guò)程就是方程思想。笛卡兒曾設(shè)想將所有的問(wèn)題歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題,即通過(guò)問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為方程(組),這就是方程思想的由來(lái)。

    在小學(xué)階段,學(xué)生在解應(yīng)用題時(shí)仍停留在小學(xué)算術(shù)的方法上,一時(shí)還不能接受方程思想,因?yàn)樵谒闱蠼忸}時(shí),只允許具體的已知數(shù)參加運(yùn)算,算術(shù)的結(jié)果就是要求未知數(shù)的解,在算術(shù)解題過(guò)程中最大的弱點(diǎn)是未知數(shù)不允許作為運(yùn)算對(duì)象,這也是算術(shù)的致命傷。而在代數(shù)中未知數(shù)和已知數(shù)一樣有權(quán)參加運(yùn)算,用字母表示的未知數(shù)不是消極地被動(dòng)地靜止在等式一邊,而是和已知數(shù)一樣,接受和執(zhí)行各種運(yùn)算,可以從等式的一邊移到另一邊,使已知與未知之間的數(shù)學(xué)關(guān)系十分清晰,在小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中,若不滲透這種方程思想,學(xué)生的數(shù)學(xué)水平就很難提高。例如稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、行程問(wèn)題、還原問(wèn)題等,用代數(shù)方法即假設(shè)未知數(shù)來(lái)解答比較簡(jiǎn)便,因?yàn)橛米帜竫表示數(shù)后,要求的未知數(shù)和已知數(shù)處于平等的地位,數(shù)量關(guān)系就更加明顯,因而更容易思考,更容易找到解題思路。在近代數(shù)學(xué)中,與方程思想密切相關(guān)的是函數(shù)思想,它利用了運(yùn)動(dòng)和變化觀點(diǎn),在集合的基礎(chǔ)上,把變量與變量之間的關(guān)系,歸納為兩集合中元素間的對(duì)應(yīng)。數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系深入研究的必然產(chǎn)物,對(duì)于變量的重要性,恩格斯在自然辯證法一書有關(guān)“數(shù)學(xué)”的論述中已闡述得非常明確:“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù),有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù),辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù),微分與積分也立刻成為必要的了?!睌?shù)學(xué)思想本質(zhì)地辨證地反映了數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律,是近代數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的練習(xí)中有如下形式:

    6×3= 20×5= 700×800=

    60×3= 20×50= 70×800=

    600×3= 20×500= 7×800=

    有些老師,讓學(xué)生計(jì)算完畢,答案正確就滿足了。有經(jīng)驗(yàn)的老師卻這樣來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué):先計(jì)算,后核對(duì)答案,接著讓學(xué)生觀察所填答案有什么特點(diǎn)(找規(guī)律),答案的變化是怎樣引起的?然后再出現(xiàn)下面兩組題:

    45×9= 1800÷200=

    15×9= 1800÷20=

    5×9= 1800÷2=

    通過(guò)對(duì)比,讓學(xué)生體會(huì)“當(dāng)一個(gè)數(shù)變化,另一個(gè)數(shù)不變時(shí),得數(shù)變化是有規(guī)律的”,結(jié)論可由學(xué)生用自己的話講出來(lái),只求體會(huì),不求死記硬背。研究和分析具體問(wèn)題中變量之間關(guān)系一般用解析式的形式來(lái)表示,這時(shí)可以把解析式理解成方程,通過(guò)對(duì)方程的研究去分析函數(shù)問(wèn)題。中學(xué)階段這方面的內(nèi)容較多,有正反比例函數(shù),一次函數(shù),二次函數(shù),冪指對(duì)函數(shù),三角函數(shù)等等,小學(xué)雖不多,但也有,如在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中十分常見(jiàn),一個(gè)具體的數(shù)量對(duì)應(yīng)于一個(gè)抽象的分率,找出數(shù)量和分率的對(duì)應(yīng)恰是解題之關(guān)鍵;在應(yīng)用題中也常見(jiàn),如行程問(wèn)題,客車的速度與所行時(shí)間對(duì)應(yīng)于客車所行的路程,而貨車的速度與所行時(shí)間對(duì)應(yīng)于貨車所行的路程;再如一元方程x+a=b等等。 學(xué)好這些函數(shù)是繼續(xù)深造所必需的;構(gòu)造函數(shù),需要思維的飛躍;利用函數(shù)思想,不但能達(dá)到解題的要求,而且思路也較清晰,解法巧妙,引人入勝。

    二、化歸思想

    化歸思想是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。應(yīng)當(dāng)指出,這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。

    例: 狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽,狐貍每次可向前跳4 1/2 米,黃鼠狼每次可向前跳2 3/4米。它們每秒種都只跳一次。比賽途中,從起點(diǎn)開(kāi)始,每隔12 3/8米設(shè)有一個(gè)陷阱, 當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí),另 一個(gè)跳了多少米?

    這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,但通過(guò)分析知道,當(dāng)狐貍(或黃鼠狼)第一次掉進(jìn)陷阱時(shí),它所跳過(guò)的距離即是它每 次所跳距離4 1/2(或2 3/4)米的整倍數(shù),又是陷阱間隔12 3/8米的整倍數(shù),也就是4 1/2和12 3/8的“ 最小公倍數(shù)”(或2 3/4和12 3/8的“最小公倍數(shù)”)。針對(duì)兩種情況,再分別算出各跳了幾次,確定誰(shuí)先掉 入陷阱,問(wèn)題就基本解決了。上面的思考過(guò)程,實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)求“最小公倍數(shù)”的問(wèn)題,即把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,這種化歸思想正是數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)之一。

    三、極限的思想方法

    極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限,從近似中認(rèn)識(shí)精確,從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法,它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié),了解它有重要意義。

    現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí),教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的,奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè),讓學(xué)生初步體會(huì)“無(wú)限”思想;在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中,1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù),它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的,是無(wú)限的;在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí),可讓學(xué)生體會(huì)線的兩端是可以無(wú)限延長(zhǎng)的。

    當(dāng)然,在數(shù)學(xué)教育中,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想不只是單存的思維活動(dòng),它本身就蘊(yùn)涵了情感素養(yǎng)的熏染。而這一點(diǎn)在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育中往往被忽視了。我們?cè)趶?qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)知識(shí)和技能的過(guò)程和方法的同時(shí),更加應(yīng)該關(guān)注的是伴隨這一過(guò)程而產(chǎn)生的積極情感體驗(yàn)和正確的價(jià)值觀?!稑?biāo)準(zhǔn)》把“情感與態(tài)度”作為四大目標(biāo)領(lǐng)域之一,與“知識(shí)技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“解決問(wèn)題”三大領(lǐng)域相提并論,這充分說(shuō)明新一輪的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)改革對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的情感與態(tài)度的高度重視。它應(yīng)該包括能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn),鍛煉克服困難的意志,建立自信心。初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對(duì)人類歷史發(fā)展的作用,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性,形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣。另一方面引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中,學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí),培養(yǎng)探究與創(chuàng)造精神,形成正確的人格意識(shí)。

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