折翼的思維能夠飛多遠(yuǎn)

【主題背景】

著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之迷，日用之繁”無一能離開數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)給予人們的不僅是知識，更重要的是能力，這種能力包括觀察實驗、收集信息、歸納類比、直覺判斷、邏輯推理、建立模型和精確計算。這些能力和培養(yǎng)，將使人終身受益。高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)又承載著怎樣的重任呢？《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)教育家美國《數(shù)學(xué)評論》雜志評論員鄭毓信說：相對于具體的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容而言，思維訓(xùn)練顯然更為重要的。

【情境描述】

在語文外語等文科科目教學(xué)中，時常以默寫的方式檢查學(xué)生的掌握情況，這不足為奇，文科的學(xué)習(xí)有相當(dāng)知識是純粹記憶性的內(nèi)容，默寫只是老師督促學(xué)生記憶的一種手段，特別是在學(xué)生自覺性不高的情況下使用。后來，聽說有些理科科目也要默寫，以識記性的內(nèi)容居多。再后來，聽說，數(shù)學(xué)也要默寫，不僅驚嘆：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)該是思維活動的過程嗎，為什么要默寫？！如此背默數(shù)學(xué)知識，思維的成分尚余幾何？當(dāng)然，我們知道老師也是被逼無奈，出發(fā)點無非是希望提高學(xué)生對知識點掌握的的熟練程度。但對于有些學(xué)生而言，學(xué)數(shù)學(xué)真的就是靠死記硬背，時常聽到有學(xué)生歸納錯解原因是公式?jīng)]有背下來，記錯了等等。如此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情景，就仿佛思維折斷了翅膀，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難免囫圇吞棗，退化為簡單的記憶模仿，更談不上數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)了。然而高考是一場選拔性的考試，除了要考查數(shù)學(xué)基本知識和數(shù)學(xué)基本技能，其選拔性體現(xiàn)在有區(qū)分度的試題上，題目并不一定很難，而是很靈活，對學(xué)生的要求是僅有基本知識是不夠的，要靈活運用基本思想方法，挖掘概念的本質(zhì)內(nèi)涵，才能迎刃而解。本文以近幾年高考題為例，說明理解概念本質(zhì)內(nèi)涵和掌握數(shù)學(xué)思想方法的重要性。數(shù)學(xué)不是死記硬背的。

【問題研究】

例如 2015年《上海數(shù)學(xué)試卷文科卷》填空題第11題：

在的二項展開式中，常數(shù)項等于________________（結(jié)果用數(shù)值表示）

2015年《上海數(shù)學(xué)試卷理科卷》填空題第11題：

在的展開式中，項的系數(shù)為________________（結(jié)果用數(shù)值表示）

二項式定理是高中階段的一個重要定理，對于學(xué)生來說理解和記憶都不是困難。但其應(yīng)用靈活多變，文科卷考題直接運用通項公式，令x冪指數(shù)為0，可輕松求解。但理科卷考題變二項為三項，若學(xué)生單純死記硬背通項公式或化“三項式”為“二項式”，恐此題會多花時間。其實無論二項或三項，其本質(zhì)是多項式乘法法則：多項式的乘法，是指把一個多項式中的每個單項式與另一個多項式中的每個單項式相乘之后合并同類項。推廣到多項式的乘方就是每個多項式中任取一項相乘并合并同類項。因此，二項式的展開式的通項公式可以理解為為，同理在的展開式中，項為，故所求系數(shù)為45.

再例，關(guān)于向量概念的本質(zhì)教材一直堅持從數(shù)和形兩個方面建構(gòu)和研究，如向量的幾何表示，三角形，平行四邊行法則讓向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示，和坐標(biāo)運算又讓向量具備數(shù)的特征。引入坐標(biāo)以后，向量的運算完全代數(shù)化，坐標(biāo)將向量的數(shù)與型緊密結(jié)合起來，這樣很多幾何問題可轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量的運算，從而使幾何問題的研究插上了代數(shù)的翅膀，解決問題更便捷，刻劃問題更深刻。而且向量是高考必考內(nèi)容，而向量運算又是其中重點?？梢婎}目對知識點的考查形式千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，唯有抓住向量問題坐標(biāo)化這一重要思想方法，才能游刃有余，以不變（的方法）應(yīng)萬變（的題目形式）。

例如2015年《上海數(shù)學(xué)試卷理科卷》第14題：

在銳角三角形中，，為邊上的點，與的面積分別為2和4，過作于，于，則=___________.

分析：（如圖4）向量數(shù)量積是向量的運算之一，也是高中階段向量教學(xué)的重點。常用的方法有三種：其一數(shù)量積的定義，再者是坐標(biāo)化.還可以根據(jù)平面向量分解定理，轉(zhuǎn)化為基向量進而解答。

比較以上2種解法，不難發(fā)現(xiàn)，解法1用到了數(shù)量積運算的定義公式，至于夾角以及模的運算表示則都是初中知識，簡單便捷。解法2看似稍顯復(fù)雜，但向量兼具數(shù)與形的雙重要素，本來就是聯(lián)系代數(shù)與幾何的工具，向量問題代數(shù)化即坐標(biāo)化是解決向量問題的重要思想方法。如果學(xué)生能掌握此思想方法，至于點的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)的運算結(jié)合解析幾何便可迎刃而解。如果此題不能有效地說明向量概念的內(nèi)涵之深的話，請看下面的例題。

【評價反思】

作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)是思維的結(jié)晶。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是思維活動發(fā)生發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓與核心，它是學(xué)生獲取知識的手段，是聯(lián)系各項基本知識的紐帶，同時又是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。它比知識更具有普通適用性和抽象概括性。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法就能更快捷地獲取知識，更透徹地理解知識并解決問題，必能終身受益。因此筆者以為數(shù)學(xué)教學(xué)要注重不僅教授學(xué)生數(shù)學(xué)基本知識，更要抓住概念本質(zhì)注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓思維展翅高飛。唯有如此，教和學(xué)方能事半功倍且?guī)熒鷺吩谄渲小?/p>

參考文獻

[1] 朱衛(wèi)新.淺談高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2011（23）20-21.