除法初步認(rèn)識(shí)的中美比較

本文擬定研究對(duì)象為北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)以及美國(guó)加州小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)教材。比較內(nèi)容為兩版教材中除法初步認(rèn)識(shí)一課。通過(guò)羅列、對(duì)比與之相關(guān)的相似處和不同點(diǎn)，獲取兩個(gè)國(guó)家對(duì)《除法初步認(rèn)識(shí)》教學(xué)上的不同信息，找出學(xué)生從數(shù)學(xué)表達(dá)情景、概括歸納、推理證明到記憶和程序化任務(wù)異同。

中國(guó)在課程設(shè)計(jì)上更偏重于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，推理證明，知識(shí)效率，因此Cai通過(guò)研究，得出中國(guó)學(xué)生喜歡采用抽象的解題策略，符號(hào)化的表述方法，而美國(guó)學(xué)生更傾向于選擇具體策略和畫(huà)圖的表示方法。其中畫(huà)圖策略解題和表述是運(yùn)用具體思維的表現(xiàn)，而符號(hào)化是形象化思維在問(wèn)題解決中的表現(xiàn)。Cai同時(shí)得出結(jié)論，較美國(guó)學(xué)生，中國(guó)學(xué)生解題策略相對(duì)單一，缺少多樣化的解題策略。

一、教材設(shè)計(jì)

1、北師大版教材

北師大教科書(shū)在除法初步學(xué)習(xí)中，創(chuàng)設(shè)了三次分物活動(dòng)。第一次“分物游戲”，讓學(xué)生通過(guò)把小數(shù)目事物進(jìn)行平均分的操作過(guò)程初步體會(huì)平均分的意義，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；第二次“分蘋(píng)果”，在具體的情境中，感受平均分的不同分法及最后結(jié)果的特點(diǎn)；第三次“分糖果”，是讓學(xué)生體驗(yàn)把大數(shù)目物體平均分的過(guò)程與策略的多樣性。

本文以第一課“分物游戲”小數(shù)目物品的平均分為比較對(duì)象，對(duì)比學(xué)習(xí)過(guò)程中，中國(guó)學(xué)生對(duì)除法初步學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程。

北師大教材創(chuàng)設(shè)了三幅猴子分桃的情境，第一幅描述了兩只猴子要分四個(gè)桃子。第二幅描述了一種不平均的分配情況，一只猴子得一個(gè)桃子，另一只得3個(gè)桃子。第三幅圖描述的是平均分桃子的情況。每只猴子得兩個(gè)桃子，分得的個(gè)數(shù)一樣多。

教材這一部分的設(shè)計(jì)目的在于整理學(xué)生對(duì)分配可能產(chǎn)生不同結(jié)果的種類，達(dá)到公平的結(jié)果就是分得的個(gè)數(shù)一樣多，首次引入平均分的意圖。在學(xué)生對(duì)新知識(shí)的認(rèn)知中，為構(gòu)建平均分模型奠定基礎(chǔ)。

把12根蘿卜平均分給3只小兔，保證平均分，可以怎樣分。圖片中展示男孩和女孩分配方案的差異。可以一個(gè)一個(gè)分，也可以兩個(gè)兩個(gè)分，充分感受平均分的過(guò)程以及過(guò)程的多樣性，結(jié)果的一致性。教科書(shū)中選用了三種不同的方式進(jìn)行分配，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)工具以及自己獨(dú)立的操作解決風(fēng)骨頭的過(guò)程。體會(huì)分法的多樣性。

2、加州教材

加州教材的在本單元學(xué)習(xí)之初就設(shè)立了學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，能夠運(yùn)用連減和分一分找到相等的組。

第一部分教材直接設(shè)立學(xué)習(xí)目標(biāo)，把8個(gè)模型按照每組兩個(gè)分配，能分成幾組？直接提出總數(shù)和已知的每組的個(gè)數(shù)，找出要通過(guò)幾組才能分完8個(gè)模型。并在分完之后，直接寫(xiě)出除法算式。

美國(guó)教學(xué)在“除法初步認(rèn)識(shí)”的一課的設(shè)計(jì)中，把8按照每組2個(gè)分配，看看幾組之后能夠完全分配完畢。指導(dǎo)思路為8連續(xù)減去2，學(xué)生需找到連續(xù)減去幾個(gè)2才能分配完全，結(jié)果為0.把連減和除法緊密的結(jié)合在一起。思路為8里面包含幾個(gè)2，便連續(xù)減去2，得到0之后，找出2的組數(shù)。緊扣乘法是相同加數(shù)的和這一知識(shí)結(jié)構(gòu)。相同加數(shù)的和對(duì)應(yīng)乘法，被減數(shù)與相同減數(shù)的差對(duì)應(yīng)除法。并在學(xué)習(xí)之初，直接對(duì)應(yīng)除法算式的書(shū)寫(xiě)。

教材中利用樂(lè)高模塊作為工具為學(xué)生實(shí)際操作過(guò)程，第一道實(shí)際操作，讓學(xué)生每?jī)蓚€(gè)模塊為一組，看一看6里面有幾個(gè)2。第二道找出12里面，每4個(gè)一組，有幾個(gè)4.第三道找出15里面有幾個(gè)5。

二、課程設(shè)計(jì)異同

1、活動(dòng)中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

兩本教材對(duì)初步認(rèn)識(shí)除法，都充分運(yùn)用數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)到：只要是把一個(gè)整體平均分成若干份數(shù)量相等的部分，這個(gè)過(guò)程在數(shù)學(xué)上就可以用除法來(lái)表示。學(xué)生可根據(jù)實(shí)物均等的分配，經(jīng)歷平均分的操作過(guò)程，體會(huì)平均分的意義。

2、從具體實(shí)物到數(shù)學(xué)模塊的抽象過(guò)程。

北師版教材中，第一、第二兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)為孩子們生活中的實(shí)例進(jìn)行。加州教材的第一數(shù)學(xué)活動(dòng)也是貼近生活，用學(xué)生們喜愛(ài)的樂(lè)高模塊為實(shí)例設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容。樂(lè)高在學(xué)校教學(xué)器具中，更容易找到。北師版教材引用的實(shí)例為桃子和胡蘿卜，這就需要教師和學(xué)生提前做好準(zhǔn)備工作。樂(lè)高可以學(xué)生每人都能分到，并且樂(lè)高具有拼接性，從實(shí)際出發(fā)，更能體現(xiàn)分成相等個(gè)數(shù)，每組相等的個(gè)數(shù)更容易看成整體。而從實(shí)物進(jìn)行數(shù)學(xué)高度抽象的過(guò)程中，北師版教材通過(guò)兩個(gè)實(shí)物操作之后，就用數(shù)、圖等方式進(jìn)行直觀的實(shí)物抽象，從具體分一分，到抽象分一分。加州教材沒(méi)有進(jìn)行這一過(guò)程，則是直接把每次樂(lè)高的分配過(guò)程對(duì)應(yīng)除法算式。

3、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)差異

北師版教材第一課教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)上僅提到經(jīng)歷把小數(shù)目實(shí)物進(jìn)行平均分的操作過(guò)程，要求學(xué)生全程參與活動(dòng)，討論、交流體驗(yàn)平均分的過(guò)程，體驗(yàn)分法的多樣性和結(jié)果的一致性，沒(méi)有進(jìn)行除法算式的學(xué)習(xí)。教材在除法初步認(rèn)識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí)中，也沒(méi)有直接提出除法與減法的關(guān)系。在教法上，我國(guó)更傾向于除法是乘法的逆運(yùn)算這一方法。

加州教材直接把題目設(shè)計(jì)成“連減與除法”。從題目中就不難看出，除法與減法的關(guān)系，并在開(kāi)篇就直接提出從總數(shù)中，減去相同的數(shù)，找到這樣相同的數(shù)有幾個(gè)。設(shè)計(jì)思路就是把除法看作相同減數(shù)的差。與乘法是幾個(gè)相同加數(shù)的和這一知識(shí)遙相呼應(yīng)。

基于我國(guó)教材的設(shè)計(jì)思路，似乎更想解決我國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀傾向于注重知識(shí)效率而忽略解決方法多樣這一點(diǎn)，然而，隨著學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)除法，運(yùn)用乘除法互逆的運(yùn)算關(guān)系，便逐漸減少圖解等問(wèn)題解決策略的運(yùn)用。加州教材的設(shè)計(jì)思路，傾向于找商的過(guò)程，沒(méi)有用重墨描述乘除法互逆的運(yùn)算關(guān)系，所以學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，計(jì)算除法習(xí)題，運(yùn)算速度慢。

（作者單位：成都理工大學(xué)附屬小學(xué)）