初探折紙中的數(shù)學(xué)

折紙，是日常生活中學(xué)生喜聞樂見的一種游戲，也是貼近生活的一種數(shù)學(xué)素材，“折紙型”問題廣泛出現(xiàn)于中考試題、學(xué)生綜合實踐之中。折紙能鍛煉學(xué)生的動手操作能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)建模能力，其中蘊含著較為豐富的數(shù)學(xué)思想，在當(dāng)前課程改革中日益凸顯其重要性。在初二教學(xué)中，就有這樣一個折紙問題。

【課本原題】把一張矩形紙ABCD折疊后，沿EF裁下，可以得到一個正方形紙片，為什么？

說明：此題的證明方法很多，可以通過證明“4邊相等+一個直角 正方形”；也可以通過證明“3個直角+一組鄰邊相等 正方形”。利用的是折疊時重合的線段和角產(chǎn)生的相等關(guān)系。

為了讓學(xué)生理解并熟練運用相關(guān)的相等關(guān)系，針對折疊時產(chǎn)生的“相等的角和相等的邊”兩個重要結(jié)論進行了系列探究。

一、折疊產(chǎn)生相等的角

變形1：把一張矩形紙ABCD隨意折起一個角或一邊，若已知∠1的大小，能求出圖中∠2的大小嗎？學(xué)生折出各種圖形，整理后有如下：

分析：易證明∠BEG=∠GEF，上面三個圖形中利用Rt⊿BEG可得∠BGE的度數(shù)，從而知∠FGB的度數(shù)，通過互補關(guān)系得∠2的度數(shù)；下左圖中通過AD∥BC可得∠AKF的度數(shù)，再通過Rt⊿AKF的兩銳角互余得∠2的度數(shù)；最后兩個圖形通過GH∥EF，得∠EGH，通過AD∥BC得∠EGD的度數(shù)，兩者相減，即得∠2的度數(shù)。

二、折疊產(chǎn)生相等的邊

變形2：把一張矩形紙ABCD沿著CE折疊，如圖使B點落在F處。已知：AB=8cm，BC=10cm，求AE的長。

分析：由于翻折，易得CF=BC=10cm.同時產(chǎn)生2個直角三角形：Rt⊿AEF、Rt⊿CDF，在Rt⊿CDF中，易得DF=6 cm，AF=4 cm，再轉(zhuǎn)入Rt⊿AEF中設(shè)AE=x，列出方程42=x2+（8-x）2，求得AE=3cm.

根據(jù)勾股定理列出方程作為解決問題的途徑.而選用勾股定理所在的直角三角形，我們也注意到一般是折疊后形成的新直角三角形。

三、綜合運用相等的邊和角

變形3：矩形ABCD，B（9，3），沿EF折疊，使C落在A處，B落在B’處，求（1）折痕EF的長；（2）EF所在直線的解析式。

分析：在Rt⊿AOF中利用勾股定理可求出AF=5，由等腰三角形⊿AEF 可知AE = AF =5，因此作EG⊥OG交OG于點G，可得E（5，3），F(xiàn)G=1.在Rt⊿EFG中求得EF= ；同時可知F（4，0），從而可以求出EF的解析式.

變形4：將⊿ABM沿AM折疊，使B落在B’處，直線AB的解析式為 ，求AM所在直線的解析式.

分析：由AB的解析式可知：OA=6，0B=8，從而得AB=AB’=10。要求AM解析式，就是求M點坐標(biāo)，即OM的長度。所以在Rt⊿OB’M中利用勾股定理可求得OM=3，即M（0，3）。AM所在直線解析式為：

通過折紙，讓學(xué)生感受到在生活中處處都有數(shù)學(xué)，課后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對折紙題目及時進行總結(jié)，也許會發(fā)現(xiàn)蘊藏在“折紙”中的更多奧妙。當(dāng)然，折紙本身并不能完全取代對數(shù)學(xué)活動的分析，通過積極開展對數(shù)學(xué)中游戲娛樂的探索，將會對培養(yǎng)學(xué)生的“自動力”，培養(yǎng)學(xué)生敢于創(chuàng)新的“自動”精神極為重要。

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）