Timoshenko梁模型下完整樁瞬態(tài)橫向振動(dòng)半解析解

龍麗麗,　劉東甲,　蔣　紅

(1.安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 市政工程系,安徽 合肥　231603; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院,安徽 合肥　230009)

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Timoshenko梁模型下完整樁瞬態(tài)橫向振動(dòng)半解析解

龍麗麗1,劉東甲2,蔣紅1

(1.安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 市政工程系,安徽 合肥231603; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院,安徽 合肥230009)

摘要:文章采用Timoshenko梁模型下樁-土系統(tǒng)橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型,通過(guò)Laplace變換,得到樁頂橫向振動(dòng)速度在頻域內(nèi)的解析解,進(jìn)行快速Fourier逆變換,得到樁頂速度時(shí)域內(nèi)的表達(dá)式;根據(jù)試驗(yàn)樁參數(shù)繪制出速度導(dǎo)納曲線及樁頂速度曲線,分析Bernoulli-Euler梁模型和Timoshenko梁模型的速度導(dǎo)納曲線的特點(diǎn),對(duì)比2種模型樁的理論速度曲線與試驗(yàn)樁實(shí)測(cè)速度曲線的差異;分析不同參數(shù)對(duì)樁頂橫向動(dòng)力響應(yīng)的影響。結(jié)果表明,Timoshenko梁模型的結(jié)果比Bernoulli-Euler梁模型更接近于工程實(shí)際中低應(yīng)變橫向測(cè)樁的結(jié)果,所得半解析解結(jié)果能在頻域內(nèi)進(jìn)行分析,具有很好的適應(yīng)性和準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞:Timoshenko梁;瞬態(tài)橫向動(dòng)力響應(yīng);傳遞函數(shù);導(dǎo)納曲線

對(duì)于瞬態(tài)沖擊下單樁的橫向動(dòng)力響應(yīng),建立的動(dòng)力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型主要分為3種：Bernoulli-Euler梁模型、Timoshenko梁模型及Reddy三階梁模型。其中Bernoulli-Euler梁模型不考慮樁的剪切作用和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的作用[1-4],在分析單樁的水平振動(dòng)問(wèn)題時(shí)會(huì)帶來(lái)較大誤差[5],且在低應(yīng)變測(cè)樁橫向動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)會(huì)出現(xiàn)頻散的現(xiàn)象,導(dǎo)致無(wú)法判別樁底反射[3]。Reddy三階梁模型考慮了梁在沖擊作用下的剪切作用,但是高階梁模型建立非常復(fù)雜,計(jì)算工作量非常大,更多用于復(fù)合材料層合板的分析[6-7]。而Timoshenko梁模型作為一階梁,模型建立相對(duì)簡(jiǎn)單,同時(shí)又考慮了剪切作用的影響[8],應(yīng)用于沖擊荷載作用下樁身動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題中效果較好[9],低應(yīng)變測(cè)樁研究中,該模型下得到的速度曲線與工程實(shí)測(cè)曲線非常接近,是研究低應(yīng)變測(cè)樁橫向動(dòng)力響應(yīng)的很好的模型[10]。以往在Timoshenko梁模型下樁-土系統(tǒng)橫向動(dòng)力響應(yīng)的研究主要集中在頻率域內(nèi)剛度、彎矩、剪力等內(nèi)容的研究,然而,系統(tǒng)振動(dòng)的速度更本質(zhì)地描述了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,速度導(dǎo)納作為理論傳遞函數(shù)時(shí),對(duì)于離散系統(tǒng)是嚴(yán)格精確的,對(duì)于連續(xù)系統(tǒng),可期望獲得滿足工程精度的結(jié)果[11]。而且,工程人員更習(xí)慣對(duì)于時(shí)域內(nèi)的動(dòng)力參數(shù)進(jìn)行分析和處理。

本文采用Timoshenko梁模型下完整樁的橫向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,考慮樁底鉸接、樁底自由和樁底固定3種情況,通過(guò)方程組的處理,進(jìn)行Laplace變換,解析地得到了頻域內(nèi)樁-土系統(tǒng)關(guān)于樁頂橫向振動(dòng)速度的傳遞函數(shù)和樁頂速度的頻率響應(yīng)函數(shù),繪制出速度導(dǎo)納曲線,然后通過(guò)快速Fourier逆變換繪制出時(shí)域內(nèi)的樁頂速度曲線。將Timoshenko梁模型下的速度導(dǎo)納曲線和樁頂速度曲線與Bernoulli-Euler梁和實(shí)測(cè)完整樁速度曲線對(duì)比,并分析不同參數(shù)對(duì)樁頂橫向動(dòng)力響應(yīng)的影響,得到的結(jié)論為樁的瞬態(tài)橫向振動(dòng)理論分析提供了基礎(chǔ),也為工程人員橫向測(cè)樁提供了依據(jù)。

1完整樁橫向振動(dòng)定解問(wèn)題

根據(jù)Timoshenko梁振動(dòng)理論[12-13],文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)出橫向振動(dòng)微分方程為:

(1)

(2)

其中,u(z,t)為橫向位移;θ(z,t)為截面彎曲所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角;E為樁的彈性模量;G為樁的剪切彈性模量;J為樁截面對(duì)中性軸的慣性矩;A為橫截面面積;ρ為樁身密度;k′為取決于橫截面形狀的數(shù)值因子;k為樁周土剛度系數(shù);c為阻尼系數(shù);k、c的簡(jiǎn)化式參考文獻(xiàn)[14]的(4)式。

初始條件為:

樁頂邊界條件為:

(3)

(4)

其中,q為剪力;m為彎矩;p(t)為樁頂橫向激振力[15]。

樁底邊界條件考慮為鉸接:

2定解問(wèn)題的求解

將(1)式、(2)式分別消去θ和u,可得:

(5)

(6)

考慮初始條件,對(duì)(5)式、(6)式作Laplace變換,可得:

(7)

(8)

其中,U(z,s)為u(z,t)的Laplace變換;Θ(z,s)為θ(z,t)的Laplace變換。

(9)

(10)

方程(7)式、(8)式的通解為:

U(z,s)=C1cosαz+C2sinαz+

C3cosβz+C4sinβz

(11)

Θ(z,s)=D1sinαz+D2cosαz+

D3sinβz+D4cosβz

(12)

對(duì)(2)式作Laplace變換,可得:

(13)

將(11)式、(12)式代入(13)式,有

(ρJs2+k′AG)(D1sinαz+D2cosαz+

D3sinβz+D4cosβz)-k′AG(-αC1sinαz+

EJ(-α2D1sinαz-α2D2cosαz-

β2D3sinβz-β2D4cosβz)=0

(14)

為了滿足(14)式成立,系數(shù)C1～C4、D1～D4滿足以下關(guān)系:

(15)

其中

令z=0,對(duì)(3)式、(4)式分別進(jìn)行Laplace變換,并將(11)式、(12)式、(15)式代入計(jì)算得:

(16)

(17)

考慮樁底邊界條件為鉸接情形,令z=l,有

(18)

βηC3cosβl-βηC4sinβl=0

(19)

聯(lián)立(16)～(19)式,解得:

(20)

其中

P(s)為p(t)的Laplace變換。

3樁頂橫向動(dòng)力響應(yīng)

在低應(yīng)變動(dòng)力測(cè)樁中,測(cè)定的一般為樁頂橫向振動(dòng)速度v(t)。v(t)的Laplace變換為:

在(11)式中,令z=0,則U(z,s)|z=0=C1+C3,將(20)式代入,得樁-土系統(tǒng)關(guān)于樁頂橫向振動(dòng)速度的傳遞函數(shù)為:

(21)

在(21)式中令s=iω,得樁頂速度的頻率響應(yīng)函數(shù)為:

(22)

樁頂速度頻譜為:

(23)

最后,由(23)式的Fourier逆變換得到時(shí)域的樁頂速度v(t):

(24)

4工程實(shí)測(cè)算例

為了檢驗(yàn)以上樁土模型及頻域解析解對(duì)于低應(yīng)變測(cè)樁橫向振動(dòng)問(wèn)題的實(shí)用性,測(cè)試了合肥工業(yè)大學(xué)緯地樓前1#試驗(yàn)樁,得到樁頂橫向振動(dòng)的實(shí)測(cè)速度曲線。試驗(yàn)樁樁長(zhǎng)l=7 m,樁徑d=0.8 m,樁徑比l/d=8.75。

參考試驗(yàn)樁樁身及樁周土條件,按以上推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行理論速度曲線模擬計(jì)算,參數(shù)設(shè)置如下:樁的質(zhì)量密度ρ=2 400 kg/m3,泊松比υ=0.28,彈性模量E=33.75 GPa;樁周土剪切波速vs=100 m/s,密度ρs=1 700 kg/m3,泊松比υs=0.4;橫截面形狀的數(shù)值因子k′=3/4;樁頂橫向激振力沖量和作用時(shí)間分別為I=1 N·s,t0=1.0 ms。

將本文Timoshenko梁模型下半解析解結(jié)果繪制成理論速度曲線,與試驗(yàn)樁實(shí)測(cè)速度曲線和Bernoulli-Euler梁模型下理論速度曲線一起進(jìn)行歸一化處理,速度曲線對(duì)比如圖1所示?？梢钥闯?Bernoulli-Euler梁速度曲線與實(shí)測(cè)速度曲線的入射反射同步進(jìn)行,但是由于頻散,Bernoulli-Euler梁在樁底反射前即已產(chǎn)生了波動(dòng),與實(shí)測(cè)曲線的樁底反射時(shí)間相差甚遠(yuǎn);而Timoshenko梁理論速度曲線,入射與樁底反射都能很好地與實(shí)測(cè)速度曲線進(jìn)行擬合,在0.6 ms處入射波同時(shí)達(dá)到峰值,6.4 ms處開(kāi)始出現(xiàn)樁底反射,樁底反射在同相位、反相位之間反復(fù)變化,且2條曲線的相位變化趨勢(shì)一致。

Timoshenko梁模型與Bernoulli-Euler梁模型的速度導(dǎo)納對(duì)比如圖2所示。

圖1　速度曲線對(duì)比

圖2　速度導(dǎo)納曲線對(duì)比

圖2中Bernoulli-Euler梁模型的速度導(dǎo)納曲線出現(xiàn)相鄰峰頻差Δf隨頻率增大而增大的現(xiàn)象;而Timoshenko梁模型速度導(dǎo)納曲線的Δf基本相等,這是樁底反射波(見(jiàn)圖1)的反映,從另一方面印證了Timoshenko梁考慮到了樁的剪切作用,在橫向振動(dòng)問(wèn)題的研究中,頻散相對(duì)較小。

不同樁底約束情況下速度曲線對(duì)比如圖3所示。

本文建立的定解問(wèn)題中,樁底邊界條件考慮為彈性約束鉸接。為了分析不同樁底邊界條件的特點(diǎn),圖3考慮了樁底固定、自由和絞接3種情況。圖3a樁徑比l/d=8.75,可以看出,樁底自由時(shí)最先發(fā)生樁底反射,樁底固定和樁底鉸接的情況幾乎同時(shí)發(fā)生樁底反射,但是樁底鉸接的反射波峰值比樁底固定的情況更大。圖3b中,樁徑取d=0.4 m,樁徑比l/d=17.5,圖中3種樁底邊界條件的樁底反射時(shí)間及反射峰值均非常接近。文獻(xiàn)[4]指出,在一般的樁土剛度比情況下,當(dāng)l/d=10時(shí),樁底條件對(duì)整個(gè)反應(yīng)曲線影響較大,而當(dāng)l/d=15時(shí),樁底固定、自由和鉸接3種邊界條件的結(jié)果非常接近。

圖3　不同樁底約束結(jié)果對(duì)比

本文半解析解結(jié)果與文獻(xiàn)[10]差分法結(jié)果理論速度曲線的對(duì)比如圖4所示。

圖4　不同算法結(jié)果對(duì)比

可以看出2種方法的結(jié)果比較接近,差分法的入射反射和樁底反射相對(duì)偏早,且入射波的峰值與本文的結(jié)果相比較小。由本文的半解析解結(jié)果可以繪制出速度導(dǎo)納曲線,從理論分析的角度來(lái)說(shuō),可以在頻域內(nèi)對(duì)動(dòng)剛度等內(nèi)容進(jìn)行分析;同時(shí)從工程實(shí)踐的角度,還可以從頻域內(nèi)獲得更多的樁身完整性信息[16]。

5橫向振動(dòng)響應(yīng)參數(shù)分析

不同樁長(zhǎng)時(shí)的橫向動(dòng)力響應(yīng)如圖5所示。

從圖5a可以看出,樁底發(fā)生反射時(shí)間的早晚與樁長(zhǎng)成正比。但是,與縱向振動(dòng)不同,橫向振動(dòng)樁底反射的相位不是確定的,而是在同相位、反相位之間反復(fù)變化。這點(diǎn)在圖1的實(shí)測(cè)曲線中也得到了驗(yàn)證。圖5b中,速度導(dǎo)納曲線的相鄰峰頻差Δf反應(yīng)了樁的長(zhǎng)度,樁長(zhǎng)越長(zhǎng),相鄰峰頻差越小;相鄰峰谷幅度差ΔN反應(yīng)了樁-土系統(tǒng)的阻尼特性,樁長(zhǎng)越長(zhǎng),阻尼越大。

圖5　不同樁長(zhǎng)橫向動(dòng)力響應(yīng)

不同樁徑下的橫向動(dòng)力響應(yīng)如圖6所示。

圖6a中,隨著樁徑的增加,入射波的峰值減小。由于樁徑越大樁頂橫向動(dòng)剛度越大,入射波峰值過(guò)后樁徑d=1.2 m的速度曲線在最上方,最接近圖中所示零刻度線,處于中間的是樁徑d=0.8 m的速度曲線,樁徑d=0.4 m的速度曲線位于最下方。

圖6b同樣也反映了樁頂?shù)臋M向動(dòng)剛度,樁徑d=0.4 m的樁頂橫向動(dòng)剛度最小,所以導(dǎo)納曲線初始部分的斜率最大,樁徑d=0.8 m的斜率居中,樁徑d=1.2 m的斜率最小。

圖6　不同樁徑橫向動(dòng)力響應(yīng)

不同剪切波速的橫向動(dòng)力響應(yīng)如圖7所示。

圖7　不同剪切波速橫向動(dòng)力響應(yīng)

圖7a中隨著樁周土剪切波速的增大,入射波的峰值和樁底反射減小。此外,入射波峰值過(guò)后,剪切波速vs很小(20 m/s)時(shí),樁頂?shù)臋M向動(dòng)剛度也非常小,樁周土對(duì)樁頂?shù)臋M向動(dòng)力響應(yīng)影響不大,所以速度曲線在入射波回復(fù)過(guò)后一直位于零刻度線上方;隨著vs的增加,樁周土變硬,vs=100 m/s及vs=180 m/s的速度曲線均在入射波回復(fù)過(guò)后位于零刻度線下方。圖7b中的導(dǎo)納曲線同樣也反映了樁頂橫向動(dòng)剛度的大小及樁-土系統(tǒng)的阻尼特性。

6結(jié)論

本文采用Timoshenko梁模型,考慮了橫向振動(dòng)下剪切作用的影響;從基本的理論方程出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)演算得到頻域內(nèi)樁-土系統(tǒng)速度的解析解,比差分法的結(jié)果[10]具有更好的適應(yīng)性;通過(guò)快速Fourier逆變換得到的時(shí)域樁頂速度曲線和速度導(dǎo)納曲線,顯示Timoshenko梁模型下的速度曲線與工程樁實(shí)測(cè)曲線吻合良好,速度導(dǎo)納曲線在正常范圍內(nèi)曲線光滑,相鄰峰頻差Δf基本相等,頻散較小;將樁底邊界條件設(shè)為鉸接、自由和固定3種情況,得到樁徑比較大時(shí),3種結(jié)果非常接近的結(jié)論;設(shè)置不同的參數(shù),在頻域和時(shí)域內(nèi)對(duì)樁頂橫向振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析,得到的結(jié)論有利于進(jìn)一步對(duì)橫向振動(dòng)理論的研究,其更接近于工程實(shí)際低應(yīng)變橫向測(cè)樁的結(jié)果,能夠輔助工程中低應(yīng)變橫向測(cè)樁的曲線判斷。

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(責(zé)任編輯張淑艷)

Semi-analytical solution for transient lateral vibration of integrate piles based on Timoshenko beam model

LONG Li-li1,LIU Dong-jia2,JIANG Hong1

(1.Dept. of Municipal Engineering, Anhui Water Conservancy Technical College, Hefei 231603, China; 2.School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:Using the dynamical and mathematical models of lateral vibration of pile-soil system under Timoshenko beam model, an analytical solution of the velocity of lateral vibration in frequency domain was derived by Laplace transforming, and the velocity of pile head in time domain was worked out through fast inverse Fourier transforming. According to the test pile parameters, the curves of velocity admittance and pile head velocity were plotted to show the features of velocity admittance curves of Timoshenko beam model and Bernoulli-Euler beam model. The theoretical velocity curves of the two model piles and the real velocity curves of test piles were also compared to analyze the impact of variant parameters on the dynamical response of pile head. It is shown that the results of Timoshenko beam model are more approximate to the observation in low strain integrity testing than those of Bernoulli-Euler beam model. The semi-analysis method can solve the response of pile-soil system in frequency domain and has strong adaptability and high accuracy.

Key words:Timoshenko beam; transient lateral dynamic response; transfer function; admittance curve

中圖分類號(hào):TU473.16

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5060(2016)03-0368-06

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.03.017

作者簡(jiǎn)介：龍麗麗(1982-),女,湖南汨羅人,安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師;劉東甲(1957-),男,安徽樅陽(yáng)人,合肥工業(yè)大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校優(yōu)秀青年人才基金資助項(xiàng)目(2012SQRL244);廣東省公路管理局科技資助項(xiàng)目(粵公研2011-21);廣東省交通廳科技資助項(xiàng)目(2009-02-020);安徽省國(guó)土資源廳科研資助項(xiàng)目(2010-g-32)和安徽省高校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(KJ2016A289)

收稿日期：2015-01-14；修回日期：2015-02-09