無超調(diào)不限階數(shù)的M型次多容慣性標準傳遞函數(shù)

楊 平，陳式躍

（1.上海電力學(xué)院電力與自動化工程學(xué)院，上海 200090；2.上海量值測控儀器科技有限公司,上海 200090）

0 引 言

在眾多的控制器設(shè)計方法中，標準傳遞函數(shù)設(shè)計法[1]的簡捷性最引人注目。只要已知受控過程模型和確定了期望標準傳遞函數(shù)，那么控制器可通過簡單的代數(shù)運算來設(shè)計。標準傳遞函數(shù)設(shè)計法的核心是取控制系統(tǒng)的期望傳遞函數(shù)為選定的標準傳遞函數(shù)。最早提出也是最常用的標準傳遞函數(shù)是ITAE標準傳遞函數(shù)[2]。比ITAE標準傳遞函數(shù)晚8年提出的Butterworth標準傳遞函數(shù)[3]可算是僅次于ITAE標準傳遞函數(shù)的第2種常用標準傳遞函數(shù)。近年來，有關(guān)標準傳遞函數(shù)本身的研究也出現(xiàn)了一些新進展。在我國，已有不少研究[4-8]對兩種常用標準傳遞函數(shù)提出改進。這些改進研究所改變的主要是標準傳遞函數(shù)的系數(shù)數(shù)值。所采用的改進方法有：縮短積分時間域、重新優(yōu)化計算、選用遺傳算法來優(yōu)化等。改進的效果主要體現(xiàn)在超調(diào)量的減少。與改進研究不同，文獻[9]則提出了一種新標準傳遞函數(shù)，稱為多容慣性（multiple capacity process，MCP）標準傳遞函數(shù)。這種新的標準傳遞函數(shù)具有系統(tǒng)無超調(diào)和不限系統(tǒng)階數(shù)的特點，并且在工程應(yīng)用上的通用性更強。不過，文獻[9]的闡述還不夠完善，只給出了1型的多容慣性標準傳遞函數(shù)。本文的研究是文獻[9]工作的繼續(xù)，將給出任意系統(tǒng)階數(shù)的M型次的多容慣性標準傳遞函數(shù)，并且更深入地分析了多容慣性標準傳遞函數(shù)的動態(tài)特性和探討了其工程應(yīng)用方法。

1 M型次多容慣性標準傳遞函數(shù)構(gòu)建方法

根據(jù)基本的控制理論[1]，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)準確性取決于控制系統(tǒng)的型次。若要使某控制系統(tǒng)在階躍輸入下無穩(wěn)態(tài)誤差，則要求該系統(tǒng)的型次至少大于0。若要求系統(tǒng)在斜坡輸入下也無穩(wěn)態(tài)誤差，則要求系統(tǒng)的型次至少大于1。所以，標準傳遞函數(shù)應(yīng)該有不同的系統(tǒng)型次之分。常見的ITAE標準傳遞函數(shù)就有1型和2型兩種，而且這兩種函數(shù)的同冪項系數(shù)是不同的。文獻[9]只給出了1型的多容慣性標準傳遞函數(shù)的構(gòu)建方法。現(xiàn)給出適用于任意系統(tǒng)型次的多容慣性標準傳遞函數(shù)的通式：

式中：n——多容慣性標準傳遞函數(shù)分母多項式的階數(shù)，也是系統(tǒng)的階數(shù)；

m——多容慣性標準傳遞函數(shù)分子多項式的階數(shù)；

βi——多容慣性標準傳遞函數(shù)多項式的系數(shù)。

可以注意到，分母多項式和分子多項式的同冪項系數(shù)是相同的，這一點與ITAE標準傳遞函數(shù)是相同的。但是，與ITAE標準傳遞函數(shù)不同的是，多容慣性標準傳遞函數(shù)的多項式系數(shù)并不隨系統(tǒng)型次的改變而改變。因此，一旦系統(tǒng)階數(shù)和慣性單元時間常數(shù)確定，多容慣性標準傳遞函數(shù)的多項式系數(shù)就確定了，并與所期望的系統(tǒng)型次無關(guān)。

式（1）所描述的多容慣性標準傳遞函數(shù)系統(tǒng)的型次為

也就是說，多容慣性標準傳遞函數(shù)分子多項式的階數(shù)m應(yīng)由所期望的系統(tǒng)型次來確定，即

多容慣性標準傳遞函數(shù)的多項式系數(shù)βi，可用式（4）計算：

式中：T——慣性單元時間常數(shù)；

{λi，i=1，2，…，n-1}——代數(shù)二項式系數(shù)。

導(dǎo)出多容慣性標準傳遞函數(shù)的多項式系數(shù)βi的計算式（式（4））的思路是視系統(tǒng)為多個慣性單元串聯(lián)而成。設(shè)m=0，令

可據(jù)代數(shù)二項式定理導(dǎo)出

再整理系數(shù)并推廣至m≠0，即得式（4）。

慣性單元時間常數(shù)T的確定公式如式（7）所示。該式為經(jīng)驗公式，依據(jù)是一階慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間ts為慣性時間T的3倍（按達到終態(tài)值的95%計算），即ts=3T；以及n階慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間ts可按ts=3nT估計[10]。

根據(jù)代數(shù)學(xué)中的二項式定理，可求得代數(shù)二項式系數(shù){λi，i=1，2，…，n-1}如表 1 所示。由系統(tǒng)階數(shù)n可確定表1中的行序。表1所示的三角形數(shù)陣為著名的楊輝三角形數(shù)陣中不含1的內(nèi)核部分。每行系數(shù)值的推算都遵循一個簡單的規(guī)則：（1）左右兩端的系數(shù)值為階數(shù)n；（2）中間的每個系數(shù)值為上一行相鄰的兩個系數(shù)值之和。例如，n=4行的系數(shù)值6可用n=3行的相鄰系數(shù)3+3得出，n=5行的系數(shù)值10可用n=4行的相鄰系數(shù)4+6得出，以此類推。表1只給出15階及以內(nèi)的各系數(shù)值。事實上，依據(jù)上述簡單的推算規(guī)則，很容易推算出任意高的系統(tǒng)階數(shù)數(shù)值下的系數(shù)值。

表1 多容慣性標準傳遞函數(shù)中的系數(shù)λi

2 多容慣性標準傳遞函數(shù)的系統(tǒng)型次論證

上節(jié)所述的多容慣性標準傳遞函數(shù)（式（1））的系統(tǒng)型次是否為M可如下論證：

對于系統(tǒng)Gβ（s），設(shè)輸入為R（s），輸出為Y（s），則有誤差函數(shù)E（s）（見式（8））。代入Y（s）和Gβ（s），則可導(dǎo)出的誤差函數(shù)的計算式（式（10）），進而導(dǎo)出穩(wěn)態(tài)誤差的計算式（式（11））。

由此可見，由多容慣性標準傳遞函數(shù)定義的系統(tǒng)Gβ（s），只要取m=M-1，則Gβ（s）的系統(tǒng)階數(shù)為M。

3 多容慣性標準傳遞函數(shù)特性分析

3.1 1型系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)型次M=1，設(shè)慣性單元時間T=1，分別取系統(tǒng)階數(shù)為2，4，6，則有1型多容慣性標準傳遞函數(shù)為

再設(shè)慣性單元時間T=0.5，系統(tǒng)階數(shù)n=6，有1型多容慣性標準傳遞函數(shù)為

為了比較，取自然振蕩頻率ωn=1，據(jù)文獻[1]中表4-5，算得1型6階的ITAE標準傳遞函數(shù)為

利用Matlab/Simulink動態(tài)系統(tǒng)仿真平臺，可得上述5種系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和誤差響應(yīng)如圖1和圖2所示。按達到終態(tài)值的95%為線，從誤差響應(yīng)圖上可測得5種系統(tǒng)的調(diào)整時間值如表2所示。

從圖1和圖2以及表2可看出：（1）在慣性單元時間T=1條件下，多容慣性標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)的調(diào)整時間ts與系統(tǒng)階數(shù)n成正比關(guān)系，基本符合式（7）所述關(guān)系；（2）多容慣性標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)的響應(yīng)沒有超調(diào)；（3）在系統(tǒng)階數(shù)n=6條件下，ITAE標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)的調(diào)整時間ts可能比多容慣性標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)長（T=1時），也可能比多容慣性標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)短（T=0.5時）。換言之，通過調(diào)整T值的大小可獲得系統(tǒng)調(diào)整時間的期望值。

圖1 1型標準函數(shù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

圖2 1型標準函數(shù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)誤差

表2 t s的計算和實測

表2不但給出了5種系統(tǒng)的調(diào)整時間測得值，還給出了對應(yīng)的計算值。比較這些數(shù)值，可知實測值均小于計算值，而且是階數(shù)越高，差值越大。不過從留有余地的保守性設(shè)計角度出發(fā)，這種誤差還是可以接受的。

3.2 2型系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)型次M=2，設(shè)慣性單元時間T=1，分別取系統(tǒng)階數(shù)為2，4，6，則有2型多容慣性標準傳遞函數(shù)為

再設(shè)慣性單元時間T=0.5，系統(tǒng)階數(shù)n=6，有2型多容慣性標準傳遞函數(shù)為

為了比較，取自然振蕩頻率ωn=1。據(jù)文獻[2]（Graham&Lathrop）中的ITAE標準傳遞函數(shù)數(shù)據(jù)，算得6階的2型ITAE標準傳遞函數(shù)為

利用Matlab/Simulink動態(tài)系統(tǒng)仿真平臺，可得上述5種系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)和誤差響應(yīng)如圖3和圖4所示。

從圖3和圖4同樣可看出：多容慣性標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)也像階躍響應(yīng)一樣沒有超調(diào)；其過渡過程時間與階躍響應(yīng)中定義的調(diào)整時間相當；在n=6條件下，ITAE標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)的過渡過程時間比多容慣性標準傳遞函數(shù)所述系統(tǒng)時的要長，比T=0.5時要短。

圖3 2型標準函數(shù)系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)

圖4 2型標準函數(shù)系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)誤差

4 多容慣性標準傳遞函數(shù)的應(yīng)用探討

在文獻[11]中，專門討論了應(yīng)用標準傳遞函數(shù)設(shè)計控制器的理論方法，考慮了串聯(lián)校正型、反饋校正型和狀態(tài)反饋型控制器的設(shè)計問題。并且針對1型標準傳遞函數(shù)無零點的特點，分別導(dǎo)出了串聯(lián)校正型、反饋校正型和狀態(tài)反饋型控制器的設(shè)計約束條件。還針對有零點的被控過程提出了應(yīng)用直接設(shè)計法和補償法兩種解決方案。

在文獻[12]中，專門討論了應(yīng)用多容慣性標準傳遞函數(shù)設(shè)計狀態(tài)反饋型控制器的問題，也是應(yīng)用無零點的1型標準傳遞函數(shù)。由于狀態(tài)反饋型控制器不會增加系統(tǒng)零點，所以更易滿足無零點約束條件。此外，在文獻[12]中所述的被控過程本身的階數(shù)高達9階，若采用ITAE標準傳遞函數(shù)，則找不到數(shù)據(jù)，而用多容慣性標準傳遞函數(shù)，其不限階數(shù)的優(yōu)勢盡現(xiàn)。

M型次的多容慣性標準傳遞函數(shù)的提出，打破了1型多容慣性標準傳遞函數(shù)的應(yīng)用局限，為應(yīng)用標準傳遞函數(shù)設(shè)計控制器提供了更大的設(shè)計空間。例如，針對2型標準傳遞函數(shù)，控制器的設(shè)計約束條件將從無零點變?yōu)榭捎幸粋€零點，所設(shè)計系統(tǒng)的型次也從1型提高至2型。

以下以管式檢定爐的溫度控制為例，應(yīng)用1型多容慣性標準傳遞函數(shù)設(shè)計一個串聯(lián)校正型控制器。

考慮圖5所示的典型的串聯(lián)校正型控制系統(tǒng)。其中，Gc（s）是控制器傳遞函數(shù)，Go（s）是被控過程傳遞函數(shù)，R是系統(tǒng)的設(shè)定值輸入，Y是系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)W（s）如式（12）所示。

圖5 串聯(lián)校正型控制系統(tǒng)

應(yīng)用直接設(shè)計公式式（13）可得控制器Gc（s）。

假設(shè)已知被控過程管式檢定爐的數(shù)學(xué)模型[13]如式（14）所示，這是一個有零點的被控過程。

利用Matlab中的simulink平臺，可搭建相應(yīng)的仿真試驗系統(tǒng)。將利用直接設(shè)計公式設(shè)計的多容慣性標準傳遞函數(shù)控制器Gc（s）置入試驗系統(tǒng)，并與一個常規(guī)的PID控制系統(tǒng)（設(shè)PID參數(shù)為Kp=0.6，Ti=2.04，Td=4）同時進行階躍響應(yīng)試驗，可獲得如圖6所示的階躍響應(yīng)曲線。其中，短劃線是期望的標準傳遞函數(shù)響應(yīng)，實線曲線是PID控制響應(yīng)，點劃線是所設(shè)計的控制系統(tǒng)響應(yīng)。顯然，所設(shè)計的控制系統(tǒng)響應(yīng)曲線與標準傳遞函數(shù)響應(yīng)曲線完全重合，其無超調(diào)量和調(diào)整時間短的特性遠比PID控制響應(yīng)優(yōu)越。

圖6 檢定爐溫度控制響應(yīng)

5 結(jié)束語

與ITAE標準傳遞函數(shù)相比，以上提出的通用的多容慣性標準傳遞函數(shù)具有無超調(diào)和不限系統(tǒng)階數(shù)的鮮明特點。通用多容慣性標準傳遞函數(shù)的系統(tǒng)型次為M已得到論證。而且，構(gòu)建任意數(shù)值的系統(tǒng)型次的多容慣性標準傳遞函數(shù)非常容易。多容慣性標準傳遞函數(shù)所表達的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)特性分析，充分展示了無超調(diào)特性和調(diào)整時間與3nT成正比的關(guān)系。應(yīng)用通用的多容慣性標準傳遞函數(shù)進行控制器的設(shè)計方法討論表明，利用控制器直接設(shè)計公式和狀態(tài)反饋極點配置是兩種常用的簡單和有效的應(yīng)用方法。

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