隨機庫存模型中最優(yōu)過程均值選擇研究

吳燕燕,　袁建明

(合肥工業(yè)大學 管理學院,安徽 合肥　230009)

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隨機庫存模型中最優(yōu)過程均值選擇研究

吳燕燕,袁建明

(合肥工業(yè)大學 管理學院,安徽 合肥230009)

摘要:通常過程均值的選擇和生產(chǎn)-庫存控制的決策是分開確定的,但是過程均值的確定會影響不合格品出現(xiàn)的概率,從而影響生產(chǎn)-庫存的決策。文章討論了在需求是隨機的且質(zhì)量特征服從截尾正態(tài)分布的情況下最優(yōu)過程均值和生產(chǎn)-庫存模型相應(yīng)決策變量聯(lián)合確定的問題。在該模型中, 允許缺貨發(fā)生且缺貨量完全延期供給,同時給出了模型的凸性證明和應(yīng)用實例。通過靈敏度分析,研究了各參數(shù)及截尾方式對過程均值和生產(chǎn)-庫存決策的影響。

關(guān)鍵詞:截尾正態(tài)分布;過程均值;需求不確定;庫存控制

在生產(chǎn)過程中,過程均值的選擇在很多領(lǐng)域被廣泛關(guān)注。最優(yōu)過程均值的確定非常重要,因為它直接影響到過程的零缺陷率、材料耗費成本、報廢或返修成本以及產(chǎn)品質(zhì)量特性偏離顧客目標值產(chǎn)生的質(zhì)量損失等。而在庫存控制中則要研究何時訂貨或組織生產(chǎn)以及訂購多少貨物或生產(chǎn)多少產(chǎn)品,以使得庫存系統(tǒng)的總支出最少或總利潤最大。通常過程均值的選擇和生產(chǎn)-庫存控制的決策是分開確定的,但是過程均值的確定會影響不合格品出現(xiàn)的概率,從而影響生產(chǎn)-庫存的決策。為了減少整條供應(yīng)鏈中的總成本,特別是為了控制生產(chǎn)和庫存的總成本,過程均值和生產(chǎn)-庫存決策應(yīng)該同時決定。

國內(nèi)外研究者對此開展了卓有成效的研究。文獻[1]討論了過程受控但不滿足規(guī)格限時過程均值的優(yōu)化設(shè)計問題;文獻[2]在質(zhì)量特征分別服從正態(tài)分布、對數(shù)分布和指數(shù)分布的情況下,討論了單邊規(guī)格限時的最優(yōu)過程均值的確定問題;文獻[3]考慮了在截尾正態(tài)分布的情況下最優(yōu)過程均值的確定問題;文獻[4]研究了時變需求下變質(zhì)性物品的隨機生產(chǎn)庫存問題;文獻[5]考慮了多個產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的最優(yōu)過程均值確定問題;文獻[6]建立了一個同時確定最優(yōu)過程均值、規(guī)格限制和生產(chǎn)質(zhì)量的模型；文獻[7]考慮了生產(chǎn)多種產(chǎn)品時同時確定最優(yōu)過程均值和生產(chǎn)控制限的問題;文獻[8]考慮了質(zhì)量特征服從正態(tài)分布時,隨機庫存模型最優(yōu)過程均值的選擇問題。在很多有關(guān)過程均值問題的文獻中,都假定總體分布是正態(tài)的,然而在有些情況下質(zhì)量輸出不可能取負值,也不可能為無窮大,而是在某個范圍內(nèi)取值[3]。例如,食品包裝的凈含量、鋼材鍛件的長度等。本文在假定需求是隨機的且質(zhì)量特征服從截尾正態(tài)分布的情況下,討論了最優(yōu)過程均值的確定和生產(chǎn)-庫存決策,并研究了過程參數(shù)、截尾方式及成本參數(shù)對最優(yōu)過程均值和生產(chǎn)-庫存決策的影響。

1模型的假定與記號

本文的主要假定和參數(shù)如下:

(1) 假設(shè)質(zhì)量特征變量X服從截尾正態(tài)分布,即X～N(μ,σ2),且X∈[θ1,θ2],其中μ為過程均值,σ為單位產(chǎn)品所需原材料的標準差。

(2) 不合格產(chǎn)品或報廢產(chǎn)品沒有殘值。

(3) 需求是隨機的,Q為總訂貨量,Λ為每單位時間需求的隨機變量,σΛ為單位時間需求的標準差,E(Λ)為平均需求率,且E(Λ)<∞,從而單位時間期望的訂貨次數(shù)為E(Λ)/Q。

(4) 缺貨允許發(fā)生且短缺量全部延期供給。

(6) 裝配費為A,原材料固定訂貨成本為Ar,單位時間單位產(chǎn)品的庫存費為h,單位時間單位原材料的庫存費為hr,單位產(chǎn)品的缺貨損失費為π,固定生產(chǎn)成本為b(b>0),增值因子為α(α>0),每單位原材料成本為c,Φ為標準正態(tài)分布累積分布函數(shù),L(μ)為標準損失函數(shù)。

(7)R為產(chǎn)品在再訂貨點時的庫存量,S為安全庫存隨機變量,s為期望安全庫存,s=E(S),N為缺貨次數(shù)隨機變量,n為期望缺貨次數(shù)n=E(N),CAT為單位時間的期望平均費用。

2數(shù)學模型

設(shè)F(x)和f(x)分別是均值為μ、方差為σ2的正態(tài)分布的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),即

(1)

由于假定質(zhì)量特征變量X服從均值為μ和方差為σ2的正態(tài)分布,其中μ是不隨時間變化而變化的,即過程均值不會隨時間漂移，且X不會小于某個值θ1,同時也不會大于某個值θ2,同時產(chǎn)品合格時需要滿足一定的范圍,即當L≤X≤U時產(chǎn)品是合格品,其中θ1

(2)

概率密度函數(shù)為:

(3)

于是,產(chǎn)品的合格概率為:

(4)

圖1　合格產(chǎn)品和原材料的庫存水平變化示意圖

在推導模型的總成本時,采用了經(jīng)典的周期模型,下面由圖1給出與模型相關(guān)聯(lián)的幾項費用。

(1) 裝配成本。由于單位時間的組裝次數(shù)為E(Λ)/Q,從而單位時間的裝配費為:

(5)

(2) 庫存保管費。圖1a描述了合格產(chǎn)品庫存隨時間變化而變化的過程。在一個周期[0,T]內(nèi),庫存從S+Q開始到S結(jié)束,其中S為安全庫存。由于期望需求率是一個常數(shù),從而現(xiàn)有的期望庫存的變化是線性地從S+Q變到S,其均值為S+Q/2,從而單位時間的期望庫存費為h(s+Q/2),其中s為期望安全庫存。同時在庫存建立期[T-τ,T],庫存水平的增加率為λ,直到有Q個合格品生產(chǎn)出來用于滿足需求。在庫存建立期每單位時間期望庫存費為h[E(Λ)τ]/2=[hQE(Λ)]/2λ。從而單位時間總的期望庫存成本為:

(6)

(7)

將(7)式代入(6)式得:

(8)

(3) 短缺量引起的缺貨費。缺貨費只有當前置時間需求量大于再訂貨點的量時才會發(fā)生,設(shè)缺貨的量為N,則N滿足以下關(guān)系式:

從而每周期的期望缺貨量n(R)為:

(9)

其中,L(μ)為標準正態(tài)損失函數(shù),其表達式為:

其中,Φ為標準正態(tài)分布累積分布函數(shù);φ為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

從而單位時間的期望缺貨費用為:

(10)

(4) 原材料控制成本。原材料控制成本包括原材料訂購成本和原材料庫存成本。當生產(chǎn)商向供應(yīng)商訂購原材料時要支付一個固定的訂購費Ar,而當原材料用于生產(chǎn)時,它以rμ的速度減少,從而在t(t≤τ)時,原材料的庫存為:

(11)

將τ=Q/λ代入(11)式,得到每周期原材料的庫存成本為:

從而每周期單位時間原材料總控制成本為:

(12)

(5) 直接生產(chǎn)成本。假設(shè)產(chǎn)品的直接生產(chǎn)成本為原材料成本的一個線性函數(shù)[8-9],其表達式為:h(X)=b+αcX,其中α≥1。從而每周期生產(chǎn)Q個合格產(chǎn)品所需的期望總成本為:

同時每周期生產(chǎn)Q個合格產(chǎn)品的期望原材料成本為:

從而每周期單位時間總的期望生產(chǎn)成本為:

(13)

從而可得庫存系統(tǒng)中單位時間期望平均費用為:

(14)

3理論結(jié)果及求解方法

現(xiàn)在的問題是尋求Q、R和μ的最優(yōu)值,使得系統(tǒng)每單位時間期望平均費用CAT達到最小。為此,下面給出系統(tǒng)每單位時間期望平均費用CAT的相關(guān)性質(zhì)。

定理1對于一切的Q>0,λ≥E(Λ),CAT為Q的下凸函數(shù)。

證明對于任意的Q>0,λ≥E(Λ),由(14)式兩邊對Q求偏導可得:

(15)

再由(15)式可得:

從而CAT是Q的下凸函數(shù)。證畢。

由定理1可知,令?CAT/?Q=0可得Q的最優(yōu)值為:

(16)

與定理1類似的方法,易證以下定理2。

定理2對于一切的Q>0,λ≥E(Λ),CAT是R的下凸函數(shù)。

(17)

由上述的分析可知,在模型的求解過程中可先令Q0為經(jīng)濟訂購批量，則有：

(18)

將(18)式代入(17)式求得R0,然后將Q0、R0代入(14)式求出過程均值μ0的最優(yōu)值,再利用μ0求出相應(yīng)的p和λ,將其代入(16)式求出Q1的值,將所求得的Q1代入(17)式中求出R1值,以此類推,直到所求得的2個連續(xù)CAT(Q,R,μ)值的誤差小于給定的精度δ為止。具體的求解步驟如下。

(1) 令i=1,CAT0→∞,且有：

(3) 通過(14)式計算CAT的最小值求得相應(yīng)的μi。

(4) 令CATi=CAT。

(5) 如果CATi

(6) 如果|CATi-CATi-1|>δ,則令i=i+1,轉(zhuǎn)步驟(7),否則轉(zhuǎn)步驟(8)。

(7) 通過(16)式求出Qi,轉(zhuǎn)步驟(2)。

(8) 停止。

需要指出的是在步驟(3)中可以使用任何一種一維搜索算法來求出相應(yīng)的最優(yōu)過程均值,例如二分法、斐波那契法和0.618法等，本文采用的是0.618法。而μ的搜索范圍為[L,L+zσ],其中z為一個預定的實數(shù),而L為最低質(zhì)量限制。值得注意的是,當μ=L時生產(chǎn)過程的產(chǎn)品合格率僅為50%,因而在現(xiàn)實的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)中,應(yīng)盡量避免這種情況的發(fā)生,來減少產(chǎn)品的零缺陷率、材料耗費成本、報廢或返修成本,提高企業(yè)的盈利能力。

4數(shù)值例子

設(shè)某工廠生產(chǎn)鋼材,鋼材長度X是一個連續(xù)性隨機變量,服從截尾正態(tài)分布。其上下質(zhì)量限制U、L分別為52.5 m和47.5 m;鋼材長度不短于45 m(即θ1=45),但又不長于55 m(即θ2=55),鋼材生產(chǎn)時的標準差σ=2 m,平均需求率E(Λ)=300根/a,單位時間需求的標準差σΛ=0根/a,生產(chǎn)率r=500根/a,裝配費A=50千元,原材料訂貨成本Ar=20千元,產(chǎn)品的年庫存費h=4 千元/根,原材料年庫存費hr=1 千元/根,產(chǎn)品年缺貨費π=7 千元/根，固定生產(chǎn)成本b=1千元/根,增值因子α=1,原材料成本c=0.5千元/m,固定前置組件時間Δ=0。通過Matlab 7.10軟件和0.618法進行計算可得當正態(tài)分布截尾與不截尾時的生產(chǎn)-庫存模型相應(yīng)的決策變量,見表1所列。

由表1可知,如果質(zhì)量輸出分布的截尾性被忽略時,雖然最優(yōu)過程均值的值是相同的,但是產(chǎn)品的合格率將會被低估,產(chǎn)品每次的生產(chǎn)批量和庫存周期均減少,同時導致生產(chǎn)-庫存系統(tǒng)的單位時間期望平均費用增加。

表1　正態(tài)分布截尾與不截尾時生產(chǎn)-庫存模型相應(yīng)的決策變量

5靈敏度分析

由于產(chǎn)品生產(chǎn)時所用原材料的量不一定都是關(guān)于目標值對稱波動的,從而導致截尾的方式不一樣;同時過程參數(shù)σ、σΛ和成本參數(shù)c、h、A也將會對生產(chǎn)-庫存的決策產(chǎn)生影響[10]。在上例的基礎(chǔ)上,單位產(chǎn)品所需原材料的標準差、單位時間需求的標準差、成本參數(shù)及截尾方式對生產(chǎn)-庫存決策模型的影響見表2～表5所列。

由表2可知,隨著單位產(chǎn)品所需原材料的標準差的增大,最優(yōu)過程均值也隨之增大,產(chǎn)品的合格率、生產(chǎn)批量逐漸減小,但卻導致每周期單位時間期望的平均費用逐漸增加。因而廠商在生產(chǎn)過程中應(yīng)盡量降低單位產(chǎn)品所需原材料的標準差,來減少產(chǎn)品生產(chǎn)過程中所造成的不必要的原材料浪費,從而降低生產(chǎn)成本,提高盈利能力。

表2　原材料的標準差σ的影響

由表3可知，當單位時間需求的標準差增大時,最優(yōu)過程均值、產(chǎn)品的合格率和生產(chǎn)批量及每周期單位時間期望平均費用均逐漸增大。

表3　單位時間需求的標準差σΛ的影響

由于成本參數(shù)c、h、A只會對生產(chǎn)-庫存模型中的決策變量產(chǎn)生影響,故當成本參數(shù)發(fā)生變化時,并不會對產(chǎn)品的最優(yōu)過程均值這一生產(chǎn)參數(shù)產(chǎn)生影響。下面只考慮成本參數(shù)對每周期單位時間期望的平均費用的影響,并對其進行靈敏度分析。由表4可知,生產(chǎn)-庫存決策系統(tǒng)每周期單位時間的期望平均費用均會隨著成本參數(shù)c、h、A的增加而增加。

表4　成本參數(shù)c、h、A的影響

由表5可知,隨著截尾方式上下限的逐漸放大,最優(yōu)過程均值也隨之增大,產(chǎn)品的合格率和產(chǎn)品的生產(chǎn)批量逐漸減小,但每周期單位時間的期望平均費用卻逐漸增加。

表5　正態(tài)分布截尾方式的影響

6結(jié)束語

過程均值的選擇是質(zhì)量工程學中一個重要的命題,它對于生產(chǎn)效率的提高、產(chǎn)品質(zhì)量的改進等具有重要的影響。傳統(tǒng)的過程均值選擇都是在質(zhì)量特征服從正態(tài)分布這一假定下進行討論的,但是這個假定有時并不成立。本文在假定需求是隨機的且質(zhì)量特征服從截尾正態(tài)分布的情況下,同時確定了最優(yōu)過程均值和生產(chǎn)-庫存模型相應(yīng)的決策變量,并且對所建立的模型給出了凸性證明和數(shù)值例子及其相應(yīng)參數(shù)的靈敏度分析。靈敏度分析表明:過程參數(shù)和截尾方式對每周期單位時間期望的平均費用的影響比成本參數(shù)對每周期單位時間期望的平均費用的影響更為顯著,所以在生產(chǎn)-庫存控制決策中應(yīng)首先減小過程參數(shù)的變化范圍和截尾方式的上下限。該模型為實際生產(chǎn)中對最優(yōu)過程均值的選擇及生產(chǎn)-庫存控制決策提供了理論依據(jù)。

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Research on optimal selection of process mean in stochastic inventory model

WU Yan-yan,YUAN Jian-ming

(School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:It is very common that the process mean selection and production-inventory decisions are determined separately. However, the probability of nonconforming production will be affected by the choice of process means. Thus, the process mean influences other important production and inventory decisions. This paper jointly determines the optimal process mean and the other decision variables in the production-inventory model when the demand is a random variable and the quality characteristic obeys the truncated normal distribution. In this model shortages are allowed to occur and backlogged completely. In addition, the convexity of the model is proved and its application example is also shown. The influences of the parameters and the type of truncation on the determination of process mean and production-inventory decisions are examined by conducting a sensitivity analysis.

Key words:truncated normal distribution; process mean; demand uncertainty; inventory control

中圖分類號:O213.1

文獻標識碼：A

文章編號：1003-5060(2016)03-0415-06

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.03.024

作者簡介：吳燕燕(1989-),女,浙江湖州人,合肥工業(yè)大學碩士生;袁建明(1956-),男,江蘇江陰人,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.

基金項目：國家自然科學基金重點資助項目(71131002)

收稿日期：2015-01-14；修回日期：2015-03-20