在中學(xué)數(shù)學(xué)中如何利用反例

杜先云 任秋道

【摘要】舉反例是證明一個命題為假命題的重要方法.本文給出反例的邏輯基礎(chǔ)及應(yīng)用范圍：辨別概念和謬誤，舉反例的常見方法——構(gòu)造法.

【關(guān)鍵詞】假命題；反例；構(gòu)造法

本文受四川省教育廳自然科學(xué)基金（12114931）的資助.

1.引 入

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，學(xué)生利用直覺思維得到大量的信息.然而直覺思維本身不具有嚴(yán)謹(jǐn)性，依靠直覺得出的猜想中夾雜著很多錯誤.要避免錯誤，我們就需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)反例，舉反例是找出謬誤不可缺少的工作.另一方面，如果學(xué)生僅僅單純地從正面去認(rèn)知、理解、記憶所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，很容易使他們的數(shù)學(xué)思維長期處在惰性狀態(tài)，不利于開動腦筋，也不利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維.學(xué)生在一階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于受到過去感知的影響，對于當(dāng)前事物總是會產(chǎn)生思維定式，我們就要抓住恰當(dāng)時機利用反例，有效地消除學(xué)生的思維定式，正確記住概念、公式、定理和法則，從而獲得新知識.G.波利亞曾說：反例與類比是獲取發(fā)明的偉大泉源.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，反例占有不容忽視地位.本文從反例的邏輯知識、應(yīng)用及構(gòu)造反例來闡述反例在教學(xué)中的作用.

2.反例的邏輯知識

首先我們來了解命題邏輯的一些知識.命題是非真即假的判斷句，有四種基本形式：全稱肯定判斷，全稱否定判斷，特稱肯定判斷以及特稱否定判斷.我們用A表示一個命題，（k-3）x2-2（k+3）x-k+5=0用表示它的否定命題.反例要用到兩個重要的邏輯規(guī)律“矛盾律”和“排中律”：矛盾律用命題公式a為假來表示，即命題a2>0及否定命題a=0同時為真不能成立，二者至少一個為假.排中律用公式a2=0為真來表示，即命題（k+1）x2+（2k-1）x+k-1=0或否定命題（k-3）x2-2（k+3）x-k+5=0為真，二者至少一個為真.矛盾律和排中律說明了在同一思維過程中，命題及其否定命題這對矛盾必有一個是真的，另一個就是假的.我們要說明A為假命題，就必須說明？A為真命題.

推理是由一個判斷推出另一個判斷的思維過程，可由兩個命題前提M和結(jié)論N構(gòu)成的復(fù)合命題來表示.一般表示為：如果M，那么N.記作M→N.一般而言，各門數(shù)學(xué)中所說的命題是由條件和結(jié)論兩部分組成.我們知道：證明一個命題是真命題有諸多方法：直接法、間接法、窮舉法、歸謬法和數(shù)學(xué)歸納法等.如何證明一個命題是假命題？即證明“某一個命題不成立”為真命題？舉反例就是證明假命題最主要的方法.數(shù)學(xué)中的反例是指滿足某一個命題的條件，而不滿足該命題結(jié)論的例子，也就是指出某命題不成立的一種情況.一個假命題可能對應(yīng)多個反例，只需尋找到其中一個反例，就可以說明原命題為假命題.一般而言，對于一類事物具有某種性質(zhì)的全稱肯定判斷（即集合S中所有的元素都具有性質(zhì)P）A而言，舉反例就是在集合S中尋找一個不具有性質(zhì)p的元素.下列命題相互構(gòu)成反例關(guān)系：對一類事物具有某種性質(zhì)的全稱肯定判斷同該類事物中的一些個體具有這種性質(zhì)的特稱否定判斷，對一類事物具有某種性質(zhì)的全稱否定判斷同該類事物中的一些個體具有這種性質(zhì)的特稱肯定判斷.

推理中前提與結(jié)論的基本關(guān)系有兩種：充分條件和必要條件.前提M是結(jié)論N的充分條件，記為M→N，表示充分條件的假言判斷是指斷定某事物具有的性質(zhì)是另一事物具有的性質(zhì)的充分條件的假言判斷，也就是說“有前者，一定有后者”，但是“無前者，卻可能存在后者”.如果能夠舉出反例“無前者，卻存在有后者”來說明.這樣的反例就是充分條件假言判斷的反例.結(jié)論N是前提M的必要條件，必要條件的假言判斷是指斷定某事物具有的性質(zhì)為另一事物具有的性質(zhì)必要條件的假言判斷，可記為N←M，也就是說“無前者，就不存在后者”，但是“存在前者，不一定存在后者”.如果能夠舉出反例“存在前者，無后者”來說明.這樣的反例就是必要條件假言判斷的反例.

3.反例法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)及定理等基礎(chǔ)知識是學(xué)生必須領(lǐng)會掌握的.教師在教學(xué)過程中，不但需要通過正面的例子對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性進(jìn)行說明，而且需要通過反例來對重要概念及其本質(zhì)特征進(jìn)行更深層次地闡述.

（1）舉反例準(zhǔn)確理解概念

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，恰當(dāng)?shù)姆蠢?，能夠?qū)Ω拍畹膬?nèi)涵與外延進(jìn)行說明，便于學(xué)生理解概念.有許多概念是相似且易混淆的，只有知道它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生才能夠透徹地理解和正確地運.我們一定要注重概念的分解，引導(dǎo)學(xué)生比較分析易混的概念，找尋它們間存在的不同之處.例如，學(xué)習(xí)“二次根式”時，學(xué)生容易把算術(shù)平方根記成a2=a.舉出反例：（-1）2=1.事實上，在算術(shù)平方根的定義中把平方根的前面“+”省略掉了.

（2）應(yīng)用反例法找出謬論

學(xué)生對于知識的學(xué)習(xí)是一個不斷沉淀的過程，也是一個不斷發(fā)現(xiàn)錯誤與糾正錯誤的過程.若M為真命題，而M→N為假命題，則這種推理為謬誤.產(chǎn)生謬誤有多種原因：把概念、定理理解錯誤而產(chǎn)生的謬誤；由于思維定式產(chǎn)生的負(fù)遷移，把公式、定理和性質(zhì)記混淆而出現(xiàn)的謬誤；在正確的原命題的逆命題中存在著許多錯誤的命題.反例在辨析錯誤命題的過程中存在著直觀性、明顯性與說服力強等特征.利用反例法進(jìn)行教學(xué)，不盡能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中存在的錯誤與漏洞，還能夠完善相關(guān)的知識概念，進(jìn)而更好地得到準(zhǔn)確的結(jié)論.學(xué)會運用反例去思考和解決數(shù)學(xué)問題，這也是學(xué)生應(yīng)該掌握的重要學(xué)習(xí)方法.

尋找反例離不開諸多深層次的思維活動，它的方法有如下幾種：觀察、實驗、歸納、分析、綜合、概念與抽象等等.尋找反例一般采用構(gòu)造法.構(gòu)造法是轉(zhuǎn)化條件或結(jié)論的證明方法.利用轉(zhuǎn)換型逆向思維法：轉(zhuǎn)換思考角度觀察分析問題，從新的角度，用新的觀點觀察、分析及解釋對象，抓住它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而找到解決問題的方法.常見有下列三種方法：

1.仔細(xì)分析題目，對照相關(guān)概念、定理和法則，尋找被遺漏掉的條件來構(gòu)造反例.

2.尋找命題中的隱含條件或者特殊情況，來構(gòu)造反例.

例 已知方程kx2+（2k-1）x+（k-2）=0不存在實根，則方程（k+2）x2-2（k+3）x-（k+5）=0必會有不相等的實根.

解 根據(jù)方程kx2+（2k-1）x+（k-2）=0沒有實根，則有Δ<0，k≠0，可得：k<-14.當(dāng)取k=-2時，方程（k+2）x2-2（k+3）x-（k+5）=0變?yōu)?2x-3=0.而這個方程只有一個實根而不存在兩個不等的實根.故結(jié)論不成立.

3.通過對問題的分類討論，來構(gòu)造反例.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常運用反例.反例能夠幫助學(xué)生透徹理解概念，區(qū)分命題的真假，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的錯誤與漏洞，有效地提高學(xué)生認(rèn)知能力和理解數(shù)學(xué)知識的水平.尋找反例常常利用了轉(zhuǎn)換型逆向思維法，克服了思維的惰性狀態(tài)，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、有效地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力.