對“角的平分線”教學(xué)的思考

摘要在“滬皖同課異構(gòu)”教學(xué)展示中，筆者通過梳理線段垂直平分線研究的“基本套路”，類比線段垂直平分線進行“角的平分線”教學(xué)，得到與會老師的共鳴.本文擬對本節(jié)課探究過程中的部分片斷進行回放，給出設(shè)計解讀并呈現(xiàn)教學(xué)過程中對相關(guān)問題的思考.

關(guān)鍵詞同課異構(gòu)；線段垂直平分線；角的平分線

2015年12月29日，“滬皖同課異構(gòu)”教學(xué)展示在蚌埠新城實驗學(xué)校舉行，筆者有幸代表蚌埠市與來自上海的孫靜賢老師一起共同為全市老師展示了滬科版數(shù)學(xué)八年級上冊《154角的平分線》第1課時的教學(xué)，筆者通過梳理線段垂直平分線研究的“基本套路”，類比線段垂直平分線進行角的平分線教學(xué)，得到了與會老師的共鳴.本文擬對本節(jié)課探究過程中的部分片斷進行回放，并給出解讀與思考，與同行研討.

1片段回放

片斷1：情境創(chuàng)設(shè)

師：對于線段的垂直平分線，我們是通過怎樣的順序來研究的？

學(xué)生回答后，師生共同梳理線段垂直平分線研究的“基本套路”：

線段的軸對稱性→線段垂直平分線的作法→猜測線段垂直平分線性質(zhì)→

驗證命題，形成定理→寫出定理的逆命題→驗證命題形成逆定理.

師：角作為軸對稱圖形可否采用與線段相同的“套路”來研究呢？如：

角的軸對稱性→角的平分線作法→？

生眾：應(yīng)該能！

片斷2：探究角的平分線作法

師：下面我們就根據(jù)這個“套路”來研究角的平分線作法.我們知道線段垂直平分線有哪幾種畫法？

生1：折紙法、過中點畫垂線、尺規(guī)作圖法三種.

師：類比線段垂直平分線，大家覺得作角的平分線可以有哪些方法？

生2：可以采用折紙法，如利用老師給我們的這個表示角的紙片，對折后就可以得到角的平分線，同學(xué)們也可以象我這樣折疊，試試看.

生3：可以采用七年級學(xué)過的利用量角器，通過測量計算后畫出角的平分線.

生4：我覺得也可以利用尺規(guī)作圖，但具體怎么做，我還沒有想好.

師：前兩位同學(xué)說的方法可以分別叫折紙法、度量法，下面我們就來重點研究一下角平分線的尺規(guī)作圖法.

師：如圖1，這個儀器叫簡易平分角的儀器，其中OE=OF，PE=PF.工人師傅常用這個儀器來畫角的平分線，如圖2，將O點放在角的頂點處，OE和OF沿角的兩邊放下，過OP畫一條射線OC，OC即為∠AOB的平分線.（老師通過PPT動畫演示作角的平分線過程）圖1圖2

師：同學(xué)們請思考：為什么這樣作出的射線OC即為∠AOB的平分線？

生5：根據(jù)儀器特征，可證△EOP≌△FOP（SSS），利用全等三角形對應(yīng)角相等，即可得OC平分∠AOB.

師：完全正確，既然這樣操作得到的射線就是角的平分線，你能否通過這個儀器的啟示得到利用“尺規(guī)”作角的平分線方法呢？請同學(xué)們試試看.

（學(xué)生嘗試解決，老師巡視，對部分有困難的學(xué)生進行指導(dǎo)，部分學(xué)生完成后，一位同學(xué)上黑板作角的平分線并講述作圖過程，老師對不規(guī)范的幾何語言進行糾正）

師：請同學(xué)們課下思考這樣兩個問題：（1）觀察角平分線尺規(guī)作圖的過程，它與前面學(xué)習(xí)的線段垂直平分線的尺規(guī)作圖本質(zhì)上是否有相通之處呢？（2）若∠AOB是個平角，角的平分線與角的兩邊有什么位置關(guān)系？它是否為我們作一條直線的垂線提供了某些思路呢？

片斷3：探究角的平分線性質(zhì)

師：觀察線段垂直平分線研究的“套路”，下面我們該研究……？

生眾：猜測角的平分線性質(zhì).

師：如圖3，請把對折后的紙片（使角的兩邊重合在一起）繼續(xù)折一次，折出一個直角三角形（使第一次的折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕.第二次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊有何關(guān)系，它們的長度有何關(guān)系？

生6：第二次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊垂直，且它們的長度相等.

師：線段PD、PE表示……？

生6：點P到OA、OB兩邊的距離.

師：此時的點P畢竟還是一個特定的位置，射線OC上的任意一點是否到角的兩邊距離都相等呢？下面老師給大家演示一下.

師：（用幾何畫板演示，當點P在角的平分線上移動時，PD與PE的長度始終相等）通過剛才的演示，你可以得出怎樣的猜想？

生7：角平分線上的點到角的兩邊距離相等.

師：這畢竟是一個猜想，若要說明它是一個真命題，還須進行嚴格的推理證明，請同學(xué)們想一想，對一個文字性命題按怎樣的“套路”來證明它是真命題.

生8：首先分析命題的條件與結(jié)論，畫出圖形，標出字母，接著結(jié)合圖形寫出已知、求證，然后分析證明思路，找出證明方法，最后寫出證明過程.

師：請同學(xué)們按照這樣的步驟，自主完成該命題的證明過程.

（學(xué)生完成后，老師利用投影展示部分同學(xué)的證明過程，并對部分不規(guī)范的書寫進行糾正）

師：我們知道對于一個定理，需要從文字語言、圖形語言、符號語言三位一體去理解，對角平分線的性質(zhì)定理，如何用符號語言去描述呢？

生9：如圖4，因為OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE.圖4

師：對，在使用這一定理時，一定要注意三個前提條件，并明確是哪兩條線段相等，下面我們來看這樣一個問題.

辨一辨：如圖5，在△ABC中，DC⊥BC于點C；DE⊥AB于點E，BD平分∠CDE，下列推理過程是否正確？圖5

因為BD平分∠CDE，DC⊥BC，DE⊥AB（已知），

所以CD=DE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）.

片斷4：小結(jié)階段

師：同學(xué)們，我們這節(jié)課是通過怎樣的方式進行學(xué)習(xí)的？

生10：我們是通過類比線段垂直平分線來進行本節(jié)課教學(xué)的？

師：具體說一說是如何類比的？

生10：我們是根據(jù)線段垂直平分線研究的“套路”來進行角的平分線學(xué)習(xí)，根據(jù)角的軸對稱，引出角的平分線，進而作角的平分線，再通過操作猜測角的平分線性質(zhì)，驗證命題形成角的平分線定理.

師：如果本節(jié)課繼續(xù)研究下去，你覺得下節(jié)課我們將研究……

生10：寫出性質(zhì)定理的逆命題，驗證命題，形成角平分線的判定定理.

師：類比線段的垂直平分線，同學(xué)們覺得下節(jié)課我們還需研究哪些內(nèi)容？

生11：三角形的三條角平線是否交于一點，若交于一點，這一點是否也如三角形三邊垂直平分線的交點一樣，也具有某些性質(zhì).

生12：角的平分線判定是否也需要先確定兩個點在角的平分線上.

生13：到角兩邊距離相等的點是否都在角的平分線上.

……

師：像今天這樣，通過“基本套路”進行幾何圖形的相關(guān)研究，將是后面我們學(xué)習(xí)幾何圖形的常規(guī)方法，希望同學(xué)們認真體會.2設(shè)計解讀

本節(jié)課是在七年級學(xué)習(xí)了角平分線的概念和前一章三角形全等的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，內(nèi)容包括角平分線的作法、角平分線的性質(zhì)及初步應(yīng)用.學(xué)生在這節(jié)內(nèi)容之前已通過全等三角形的相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，熟練掌握用三角形全等證明線段或角相等的方法，同時在前兩節(jié)已學(xué)過了基本的軸對稱圖形——線段、等腰三角形，已初步體會到了幾何圖形研究的“基本套路”，但大部分學(xué)生還不能通過類比的方法，利用“基本套路”進行相關(guān)研究，為此在本節(jié)課的設(shè)計上從以下兩個方面做了有益嘗試.

（1）通過梳理研究線段垂直平分線的“基本套路”，啟發(fā)學(xué)生類比線段垂直平分線探究思路研究角的平分線.本節(jié)課是角的平分線第一課時，沒有教學(xué)角的平分線判定，但為了更好地讓學(xué)生體會幾何圖形研究的“基本套路”，便在小結(jié)環(huán)節(jié)通過問題：本節(jié)課是通過怎樣的方式進行學(xué)習(xí)的？下節(jié)課我們將如何研究？還需研究哪些問題等，使學(xué)生一方面感受到完整的探究“套路”，另一方面讓學(xué)生根據(jù)線段垂直平分線的研究問題，猜想角的平分線研究的相關(guān)問題，使學(xué)生更好的體會“類比”的數(shù)學(xué)思想.

（2）注意“收”與“放”度的把握.學(xué)生對驗證一個文字命題是否為真命題的“套路”已相當熟悉，所以對于角平分線性質(zhì)的猜想便大膽放手讓學(xué)生自主完成驗證，當學(xué)生明確簡易平分角的儀器作角的平分線的原理后，便由學(xué)生自主探究角平分線的尺規(guī)作法等，這些“放”的手段給了學(xué)生充分的“自由”，發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性.由于大部分學(xué)生對于定理的符號語言還不是很熟悉，書寫時還可能出現(xiàn)這樣或那樣的問題，筆者便根據(jù)定理的條件與結(jié)論，結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生得出，并通過辨一辨的形式，加深學(xué)生對于定理的理解，這些“收”的環(huán)節(jié)又使“放”處在一定的可控范圍，體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用.3對“角的平分線”教學(xué)相關(guān)問題的思考

3.1對研究問題“基本套路”的思考

作為一線老師經(jīng)常面對這樣一種現(xiàn)象：當學(xué)生獨立面對一個新的研究對象時，就感到無從下手，平時講過的練過的試題，考試時學(xué)生也很容易出錯.這種現(xiàn)象的產(chǎn)生其實反映了學(xué)生不會思考，沒有掌握研究問題的“基本套路”.人教社資深編審章建躍博士曾指出：注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[1].在初中數(shù)學(xué)中，“基本套路”的教學(xué)載體比比皆是，如三角形性質(zhì)的研究套路以三角形的要素（三條邊、三個內(nèi)角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）以及幾何量（邊長、角度、面積等）之間的相互關(guān)系為基本問題，從“形狀、大小和位置關(guān)系”等角度展開研究；再比如四邊形的研究套路是：四邊形的概念，基于邊、角、對角線、對稱性的角度研究性質(zhì)、判定及應(yīng)用等.若教師以此為基本依據(jù)設(shè)計教學(xué)，并讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷這個邏輯過程，是學(xué)生學(xué)會思考的關(guān)鍵之一.好比一棵參天大樹，若把研究問題的“基本套路”看成根和主干，千變?nèi)f化的具體方法則是其枝和葉.當前課堂教學(xué)中的普遍問題是，把注意力集中到了“枝繁葉茂”的追求上，而忘卻了“根和主干”的重要性.如果在教學(xué)中一有機會就引導(dǎo)學(xué)生按照“基本套路”展開思維活動，那么經(jīng)過長期熏陶，就能使學(xué)生在潛移默化中形成思考的習(xí)慣.

3.2對“角的平分線尺規(guī)作圖”的思考

在本次“滬皖同課異構(gòu)”展示課的點評環(huán)節(jié)，有部分老師認為在角的平分線尺規(guī)作圖中（如圖6），點P這個點的選擇可以通過作線段DE的垂直平分線確定，進而可以推廣到過一點作已知直線的垂線（如圖7），第一步在直線上作線段DE，第二步作線段DE的垂直平分線，這樣就把線段垂直平分線、角的平分線、過一點作已知直線的垂線統(tǒng)一了起來，易于學(xué)生掌握.這三種尺規(guī)作圖確有相通之處，如此統(tǒng)一是否合理呢？《數(shù)學(xué)課程標準》（2011版）明確指出初中階段須掌握五種基本尺規(guī)作圖，其中就包含以上三種，為什么《數(shù)學(xué)課程標準》（2011版）沒有把這三種尺規(guī)作圖統(tǒng)一起來呢？細細體會不難發(fā)現(xiàn)對于角的平分線，若是作線段DE的垂直平分線，便會出現(xiàn)一個問題：垂直平分線是否經(jīng)過角的頂點，即要證明O點在線段DE的垂直平分線上，過一點作已知直線的垂線亦是如此.我們知道在初中階段，三點共線的證明對于學(xué)生來說，難度較大，且《數(shù)學(xué)課程標準》（2011版）也沒有相關(guān)要求.因此，在教學(xué)時不建議把這三種尺規(guī)作圖統(tǒng)一起來，以免使學(xué)生知其然而不知其所以然，不過作為老師，一定要了解這三種尺規(guī)作圖的相通之處.圖6圖7

3.3對是否可用“軸對稱圖形性質(zhì)”進行證明的思考

對于角平分線性質(zhì)定理的證明，有老師認為在本節(jié)課教學(xué)之前，學(xué)生已明確知道角是軸對軸圖形，且角平分線所在的直線是角的對稱軸，可以不借助全等證明，直接使用軸對稱的性質(zhì)證明即可.

如圖4，因為∠AOB是軸對稱圖形，OC所在的直線是其對稱軸，所以PD=PE.

這種證法是否可行，確實不好給出準確的答案.不過我們可以先看這樣一道問題的解答，或許可以得出啟示：

例：已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N.

（1）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖8的位置時，求證：BM+DN=MN；

（2）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖9的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.

這道題基本的解題思路為：把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使△ABM與△ADN構(gòu)造的△ANM′全等于△ANM.可是在具體的解題過程中，把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°往往是通過延長ND至點M′（或在線段DN上取一點M′），使DM′=BM，連接AM′來實現(xiàn)的.為什么會出現(xiàn)這樣的情況，筆者認為若通過旋轉(zhuǎn)來處理，就會出現(xiàn)為什么旋轉(zhuǎn)后點M會在直線CD上的問題，即要說明點C、D、M三點共線.回到角平分線性質(zhì)的證明上，若利用軸對稱性證明就要涉及到點D、E為什么是對應(yīng)點（或圖形沿角平分線折疊后點D、E為什么一定重合），這些問題對于八年級的學(xué)生來說具有一定的困難，所以在這個階段教學(xué)時要盡量回避.筆者個人認為對稱、旋轉(zhuǎn)、平移變換等可以為我們解決問題提供一個方向，一個思路，一個策略，對于初中階段的學(xué)生，在具體的推理過程中，不建議使用，當學(xué)生進入高中階段后，熟悉了三點共線，真正搞懂了其中的“門道”，對稱、旋轉(zhuǎn)、平移變換不失為解決問題的一種好方法.

參考方獻

[1]章建躍.注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（3）：封底

[2]高厚良.對探索“多邊形內(nèi)角和公式”的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（1）：23-25