借力辯證破解“超驗”

邢成云

摘要有些數(shù)學(xué)結(jié)論難以從可感的操作直接感知，需要靠一種超乎尋常的想象去實現(xiàn)認知，這種想象卻往往是“超驗”的.為了在教學(xué)實踐中取得優(yōu)質(zhì)的教學(xué)效果，不妨擺開具體性操作，拿起辯證的武器去應(yīng)對，從而實現(xiàn)從感性認識到理性認識的過渡，破解學(xué)生心中的糾結(jié)，本文擬通過三個案例借力辯證思維去嘗試“超驗”知識的獲取.

關(guān)鍵詞理性認識超驗認識辯證思維

數(shù)學(xué)上很多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)或發(fā)現(xiàn)后的既成事實，由于直觀的錯覺和經(jīng)驗的定勢，往往一時難以認同，有時候縱然認同也可能是強權(quán)之下的接受，并不能讓學(xué)生心悅誠服地真正接納.而基于辯證思維，創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情景，讓學(xué)生在情景之下變被動接受為主動獲取，在具體操作或思維操作下，實現(xiàn)從感性到理性的認知升華，學(xué)生的困頓糾結(jié)或許就在這當兒豁然洞開，進而實現(xiàn)超驗的跨越.本文以三個案例為載體，充分利用有限無限、一般特殊等辯證思維做一闡釋，請同行指正！1拉長過程，慢中求實——顯化超驗概念

直線是個不定義的概念，關(guān)于它的教學(xué)是個難點，因為這個不定義的概念是超驗的，不好理解，需要增設(shè)認知環(huán)節(jié)把它做實，以加深其理性認識，把概念沉淀于心，否則，容易輕松滑過，學(xué)生大腦中難以留下它的數(shù)學(xué)印跡.

基于此，把對直線的教學(xué)過程拉長，在緩?fù)坡M中濡染，在多維視角中豐實，設(shè)置如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

案例1直線的教學(xué)[1].

環(huán)節(jié)1說印象——立足小學(xué)談?wù)J識.

設(shè)計說明關(guān)注認知起點，學(xué)生對直線的認識早已有之，但程度不一，通過說，激活每個人的生長點，在大家交流中相互補益，彼此豐富對它的認識，突出其直、其線性、其兩端延伸等特征.

環(huán)節(jié)2找實例——觸摸生活尋蹤影

設(shè)計說明通過搜尋生活中的實例，感知直線具象的存在，縱然不能完全取代，但總能感受到線性的直，如筆直鐵軌的邊緣等能較形象地展現(xiàn)出直線的模樣，生活中類似的例子較多，有心處處可見它的影子.

環(huán)節(jié)3畫模樣——形象化作具象來

設(shè)計說明通過讓學(xué)生過1個點畫直線、2個點畫直線等操作行為把直線的形象物化出來，讓學(xué)生觸摸直線的實體所在，同時為后續(xù)“兩點確定一條直線”基本事實的出現(xiàn)做了鋪墊，一箭雙雕.

環(huán)節(jié)4說感悟——假以畫圖找感覺

設(shè)計說明在環(huán)節(jié)3的基礎(chǔ)上，有了親力親為的直感，進一步體驗直線的基本特征.

環(huán)節(jié)5說應(yīng)用——反觀生活用其益

設(shè)計說明學(xué)以致用，當學(xué)生認識到學(xué)到的知識有用時自然而然地提升了學(xué)習(xí)的興趣，因此，在生活中幫助學(xué)生看到數(shù)學(xué)的價值，是一種無形的力量，能催動學(xué)生對所學(xué)的渴望.如栽樹、拉線、排隊等，都是線性之直的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生挖掘出生活中的應(yīng)用之例，將助力于學(xué)生對直線的學(xué)習(xí).

環(huán)節(jié)6標直線——命名透出本質(zhì)來

設(shè)計說明學(xué)習(xí)任何幾何圖形都要命名，以便交流，直線也不例外，常用的標示方式有二：一是用兩個大寫字母，其實是“兩點確定一條直線”的闡釋，二是用一個小寫字母，兩種方法并存不悖，各有利弊.在標示命名中揭示出直線的本質(zhì).

環(huán)節(jié)7形象化——超脫中感受其神

設(shè)計說明可用孫悟空上柱擎天下通四海的“金箍棒”形象一喻直線之直與其雙向的無限延展；也可用陳子昂古韻“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下”，從時間的無始無終來形象刻畫直線的無限性，從而達到形神兼?zhèn)涞某炐Ч?

通過以上7個環(huán)節(jié)，形象與具象結(jié)合，感覺與表象兼容，物質(zhì)與時空并存，畫圖操作與理性認識交融，生活與數(shù)學(xué)對接，把縹緲的直線沉靜下來，在“輕歌曼舞”中把直線概念做實，在這些辯證關(guān)聯(lián)中增進了對不定義直線概念的認識.2特殊一般，辯證關(guān)聯(lián)——助推超驗認識

當學(xué)生對兩直線平行實現(xiàn)了超驗的認知后，為兩平行線之間（或之外）含拐點的問題打開了一扇窗，通過特殊位置獲得的結(jié)論去推測一般狀況可能的結(jié)論，在一般與特殊的辯證關(guān)系中去體會、去揣摩、去領(lǐng)悟.

我們知道，兩條直線被第三條直線所截，截線發(fā)揮了貫通的作用，實現(xiàn)了數(shù)量與位置的切換，兩條直線發(fā)生聯(lián)系是通過截線溝通的.這是平行線一章的核心圖形，也是基本圖形，在學(xué)生心中應(yīng)然扎下根來.可面對如下問題該如何是好？圖1

案例2如圖1，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點，探索∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系.

環(huán)節(jié)1（教師拋出問題，提供思考起點，搭建探研支架）：兩條直線被第三條直線所截，截線發(fā)揮了貫通的作用，如圖，如果兩條平行線間截線沒有貫通，出現(xiàn)了拐點，即P、M、N三點不共線，讓我們探索∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系，怎么辦？

教學(xué)說明采用分組想法，集中交流的形式展開教學(xué).

教學(xué)預(yù)設(shè)讓學(xué)生小組內(nèi)合作，各自畫出題目中的圖形，鼓勵學(xué)生利用量角器，嘗試用度量的方法獲得可感的具體數(shù)據(jù)，為猜想提供素材；小組內(nèi)成員每位同學(xué)畫出的可能都不一樣，但經(jīng)過測量學(xué)生會詫異的發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果都接近或等于360°，由此可能引發(fā)學(xué)生的估測，猜得這三個角的和是360°.

環(huán)節(jié)2（教師拋出問題，引發(fā)學(xué)生思考，逼近問題本質(zhì)）同學(xué)們畫的圖縱然相似，但拐點彎折的程度卻不盡相同，那為什么測量的結(jié)果卻接近或一樣呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生在自己操作的基礎(chǔ)上思考，通過以上事實性的測量作出的猜想結(jié)論可能與拐點在兩平行線之間的彎折程度沒有關(guān)系.

環(huán)節(jié)3（教師拋出問題，啟迪學(xué)生理性論證）既然與點P的位置沒有關(guān)系，說明我們的猜想是正確的，也就是說三個角的和是固定不變的360°，那么該如何證明這個結(jié)論呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生研究360°

引導(dǎo)1：由于平行線被一直線所截，可以呈現(xiàn)180°的基本圖（定位同旁內(nèi)角），現(xiàn)在面對360°該如何處理？

引導(dǎo)2：拐點圖沒法把兩條平行線的性質(zhì)派上用場，面對如此境況，我們該如何思考下去？

通過兩個引導(dǎo)，估計學(xué)生能發(fā)現(xiàn)：要建立起兩條彼此“分離”的平行線的關(guān)系，需要在拐點處構(gòu)建起新的平行線，通過平行線的傳遞性把三條線聯(lián)通，360°（2個180°）搖身變成2組活生生的平行線下的同旁內(nèi)角.至此問題獲解.而后組織學(xué)生嘗試證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

環(huán)節(jié)4（教師拋出問題，在一般與特殊的辯證關(guān)聯(lián)中再度領(lǐng)悟）同學(xué)們大膽假設(shè)一下：如果我們將a、b這兩條平行線間的拐點往里推，同學(xué)們先想象一下，在推的過程中能發(fā)現(xiàn)什么狀態(tài)？這時原題目中的∠1，∠2，∠3發(fā)生了什么變化？

先行想象，若有阻力，可以通過幾何畫板具體演示，如圖2，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個特殊狀態(tài)——點P落在線段MN上，進而發(fā)現(xiàn)∠1和∠3變成了同旁內(nèi)角，而∠2（即∠MPN）變成了一個平角，此時∠1+∠2+∠3=360°的結(jié)論仍然成立.

設(shè)置此環(huán)節(jié)在于讓學(xué)生從特殊圖形與一般圖形的辯證關(guān)系上提高認識，進而把平行線之間帶有拐點的角的問題化歸為可用平行線性質(zhì)的基本圖形問題，變“拐點”為“平直”，打通了兩平行線之間的節(jié)點，生疏問題熟悉化，以鞏固超經(jīng)驗的成果.

環(huán)節(jié)5若點P不在兩平行線之間，∠1，∠2，∠3會有怎樣的關(guān)系？

教學(xué)預(yù)設(shè)

引導(dǎo)學(xué)生討論，不在兩平行線之間需要分成兩類：一是在其中一線上，二是在兩線之外.若點P在a上，顯然∠1成為平角，∠2與∠3構(gòu)成a∥b下的同旁內(nèi)角，即結(jié)論不變；若點P在其外呢？（遷移已經(jīng)學(xué)過的方法構(gòu)造平行線解決，結(jié)論發(fā)生了變化）.圖3

環(huán)節(jié)6若兩平行線之間有兩個拐點呢？如圖3，∠1，∠2，∠3，∠4之間的關(guān)系.

通過這一環(huán)節(jié)把通過拐點構(gòu)造平行線的方法遷移過來，在問題的解決過程中加固認識.3從直到曲，無限逼近——漸溶超驗阻隔

案例3滾圓問題的教學(xué)——從正多邊形到圓.

同樣大小兩硬幣，一枚固定，另一枚繞其滾動一周，滾動硬幣自傳了2圈，這一結(jié)論讓大部分學(xué)生很難接受.縱然可通過動畫形象演示讓學(xué)生能直觀的觀察到，但也難以入心.筆者通過從直線型到曲線型的過渡幫助學(xué)生去認識，收到了良效.

教學(xué)設(shè)計

臺階一在一維直的線上動.

一枚硬幣在線段AB上從點A向點B滾動，硬幣滾動的路程=AB的長；

臺階二在二維封閉圖形上動.

（1）在任意三角形邊上滾動，轉(zhuǎn)了3個拐角，故硬幣滾動的路程是三角形的周長+3個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（2）在任意四邊形邊上滾動，轉(zhuǎn)了4個拐角，故硬幣滾動的路程是四邊形的周長+4個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（3）在任意五邊形邊上滾動，轉(zhuǎn)了5個拐角，故硬幣滾動的路程是四邊形的周長+5個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（4）在任意六邊形邊上滾動，轉(zhuǎn)了6個拐角，故硬幣滾動的路程是四邊形的周長+6個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（歷經(jīng)四個圖形，學(xué)生已有所悟，在二維封閉圖形上動，打破了直線上滾動路程等于周長的先前認識，多出了一個硬幣的周長.下面趁熱打鐵，進一步穩(wěn)固學(xué)生的認識.）

臺階三

（1）若把前面的多邊形統(tǒng)一改為正多邊形，結(jié)論如何？

教學(xué)預(yù)設(shè)一致認為，結(jié)論不變；

（2）若正多邊形邊數(shù)在增加，比如變?yōu)檎?邊形了，結(jié)論如何？正八邊形呢？以此類推，正n邊形呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)一致認為，結(jié)論仍不變；

（3）當n無限增大時，想象此時的正多邊形會怎樣？

教學(xué)預(yù)設(shè)如下：

生眾：象個圓了.

師：是的，劉徽的割圓求周、祖沖之的圓周率的計算無不是用了這種思想，正多邊形的邊數(shù)一多，就給人一種圓的感覺，既然如此，一枚硬幣繞一個和硬幣同樣半徑的圓一周，硬幣滾動的路程是多少？

生眾：圓周長+硬幣周長.

師：回到我們開始的問題，一枚硬幣固定，另一硬幣繞其一周滾動的路程為多少？

生眾：哦，兩圈.

教學(xué)說明

可見，從一維直線段到二維封閉圖形，硬幣運行路程是不同的，在線段上從一端滾動至另一端時正好等長線段，而繞二維封閉圖形時是圖形周長+硬幣周長；當正n邊形的n逐漸增大時，圖形與圓無限逼近，“直”躍變?yōu)椤扒?，縱然這種認識是超經(jīng)驗的，但學(xué)生已經(jīng)有了直觀的認可（邊數(shù)多了就像個圓），所以能心悅誠服地接受.這種從極限角度落實類比遷移的認識，是學(xué)生比較認同的，整個認識活動其實就是有限到無限的一種闡釋，對學(xué)生以后極限觀念的形成作了孕伏，一舉多得.

這樣一來，不可操作的“直變曲”，轉(zhuǎn)換為可以操作的檢驗方式（檢驗是否“多了一個硬幣的周長”，無限逼近中圓的形象漸行漸清）.超驗的“無限”困難被克服了.

寫在后面

以上三例，都體現(xiàn)了辯證觀點，兩個是有限到無限、一個是特殊與一般！在這種辯證關(guān)系中去認識超驗的知識，縱然學(xué)生沒有成形的辯證觀點，但這種對立統(tǒng)一的觀點它們是認同的，對于這類難以直接感知的數(shù)學(xué)結(jié)論，用好辯證的武器不失良策，在教學(xué)實踐中已經(jīng)收到了優(yōu)質(zhì)的效果，從具體可感的操作到?jīng)]法操作，靠的就是一種超乎尋常的想象，這種想象就是超驗的，筆者在教學(xué)實踐中正在為“超驗”認識付諸努力.

參考文獻

[1]蔡兆生.慢化教學(xué)的實施路徑[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2015（05）：1-4