三角形垂頂徑定理的發(fā)現(xiàn)與證明

丁位卿

《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（初中）2015年第12期刊登了黃兆麟老師的“一個(gè)與垂心有關(guān)的三角形面積公式”一文（文[1]），巧妙利用三角形垂頂距與其外接圓半徑，給出了銳角三角形的一個(gè)漂亮的面積公式.閱后深受啟發(fā)，筆者另覓新徑，深入研究，發(fā)現(xiàn)和證明了如下的三角形垂頂徑定理（查閱了大量的文獻(xiàn)資料，沒有此種論述）.

為方便讀者對(duì)比閱讀，仍沿用文[1]的字母.

三角形垂頂徑定理如圖1或2，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，三條高線分別為AE、BF、CG，又R、H分別為外接圓半徑及垂心，三個(gè)垂頂距HA=u，HB=v，HC=w，則R是一元三次方程4x3-（u2+v2+w2）x±uvw=0的一個(gè)正實(shí)數(shù)根（對(duì)鈍角和銳角三角形ABC，uvw前分別取正負(fù)號(hào)，直角三角形正負(fù)均可）.

證明

如圖1或2，連接BO交外接圓O于M，再連

接AM和MC，則有MA⊥AB，MC⊥BC，又因CH⊥AB，AH⊥BC（垂心性質(zhì)），所以AM∥HC，AH∥MC，所以四邊形AMCH為平行四邊形，故有MC=AH=u，AM=HC=w.又在Rt△ABM和Rt△BMC中，

AB=BM2-AM2，BC=BM2-MC2即c=4R2-w2，a=4R2-u2，同理可證AC=b=4R2-v2.在圓內(nèi)接四邊形ABCM中，由托勒密定理得，

AM·BC+MC·AB=BM·AC，即w4R2-u2

+u4R2-w2=2R4R2-v2，移項(xiàng)得w4R2-u2=2R4R2-v2-u4R2-w2

化簡(jiǎn)整理得，

R2[4R2-（u2+v2+w2）]2=（uvw）2. ①

以下分三種情況：

（1）如圖1，對(duì)于銳角三角形ABC及其外接圓O，在Rt△BHE中，∠BEH=90°，∠BHE為銳角，故其補(bǔ)角∠AHB必為鈍角，所以cos∠AHB<0，又在△AHB中，由余弦定理得，c2-u2-v2=-2uvcos∠AHB>0，又c2=4R2-w2，故4R2-（u2+v2+w2）>0，此時(shí)，由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=uvw，于是4R3-（u2+v2+w2）R-uvw=0. ②

（2）同理，如圖2，對(duì)于鈍角三角形ABC及其外接圓O，在Rt△BHE中，∠BHE為銳角，故cos∠BHA>0，在△AHB中，仿上由余弦定理得，4R2-（u2+v2+w2）=-2uvcos∠BHA<0.

故由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=-uvw，

于是4R3-（u2+v2+w2）R+uvw=0.③

（3）如圖3，對(duì)于直角△ABC，其直角頂點(diǎn)B與其垂心H重合.

所以HA=u，HB=v=0，HC=w，斜邊AC=2R.

將它們代入②或③，②、③均成立，（注意到勾股定理u2+w2=AC2=4R2）

綜合②、③得，4R3-（u2+v2+w2）R±uvw=0（△ABC為鈍角和銳角三角形時(shí)，uvw前分別取正負(fù)號(hào)），直角三角形正負(fù)均可）.

垂頂徑定理獲證.由于定理涉及的三次方程求解較為復(fù)雜，留給讀者解決，若求出此根，將重新改寫文[1]的三角形面積公式.

參考文獻(xiàn)

[1]黃兆麟.一個(gè)與垂心有關(guān)的三角形面積公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（12）：60