數(shù)學概念教學的意義、問題、方法及建構策略

趙緒昌

摘要數(shù)學概念是反映數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學的學習過程，就是不斷地建立各種數(shù)學概念的過程.當前數(shù)學概念教學在一定程度上出現(xiàn)了偏差.我們主要通過概念的形成和概念的同化的方式獲得概念.常常采用建模建構、實驗建構、演繹建構、類比建構、反思建構等策略進行概念教學.

關鍵詞數(shù)學概念；教學意義；教學問題；教學方法；建構策略；案例分析

1數(shù)學概念教學的意義

哲學上把概念理解為，人腦對事物本質(zhì)特征的反映.概念是思維的基本單位，是形成判斷和推理的基礎.數(shù)學概念是反映數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學知識體系（定理、法則等）的基石、數(shù)學思想方法的載體，也是數(shù)學研究的起點，判斷、推理、計算、證明和解決問題的依據(jù).

數(shù)學概念教學是數(shù)學教學的重中之重.有效的數(shù)學概念教學，絕不能以讓學生學會概念為終極目標，同時要讓學生在參與概念的形成、發(fā)展、鞏固、應用和拓展的過程中，把握概念的本質(zhì)特征，體會隱含在概念中的思想方法，從而完善自身的認知結構，在知識、能力、素養(yǎng)方面獲得全面的發(fā)展.

2數(shù)學概念教學的問題

數(shù)學教材中大多采用“定義——性質(zhì)——定理——應用”的演繹體系呈現(xiàn)概念，希望學生學習數(shù)學概念后再解決問題，并通過解決問題進一步理解和掌握概念.這樣的演繹體系雖然有利于學生知識系統(tǒng)的形成，但是把有意義的、鮮活的生成數(shù)學概念的活動給掩蓋了，使學生不知道一些定義從何而來、為何如此規(guī)定——荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾稱其為“教學法的顛倒”.

由于多種因素，當前很多教師主要采用如下方式進行數(shù)學概念教學：（1）“一個定義、幾項注意、一步到位、舉例訓練、反復練習、迎接考試”的急功近利式；（2）“掐頭、去尾、燒中段”的直接授予式；（3）“照本宣科+解題教學”的大容量訓練式.這些方式的共同特征是，重解題技巧、輕概念生成，追求習題講解的最大化和概念教學的最小化.這樣的教學會導致學生認為概念學習單調(diào)乏味而不重視它，只會死記硬背概念本身，不能理解概念的形成過程.認識不到概念引出的必要性和概念應用的價值，難以把握概念的本質(zhì)；導致學生在知識掌握一知半解的情況下匆忙解題，只會機械地模仿某些特定的題型，掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況就束手無策.以解題教學代替概念教學的做法，還會導致學生耗費大量的時間、精力在知識的外圍重復訓練，結果還是對教學的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，知其然而不知其所以然，使得教學效果事倍功半，知識、能力、素養(yǎng)發(fā)展終將落空.

3數(shù)學概念教學的方法

由心理學研究和教學經(jīng)驗可知，我們主要通過兩種方式獲得概念：概念形成和概念同化.前者主要指依靠對個別、具體事物、例子的概括、抽象來獲得概念；后者主要指利用認知結構中相關的舊概念來理解新概念.前者的主要的操作步驟為：（1）辨別一類事物的不同例子；（2）概括、抽象出各個例子的本質(zhì)（共同）屬性；（3）把本質(zhì)屬性與原有認知結構中適當?shù)闹R聯(lián)系起來，使新概念與已有的有關概念區(qū)別開來；（4）把本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物中去，以表明新概念的外延；（5）擴大或改組原有認知結構.后者的主要的操作步驟為：（1）揭示出概念的關鍵屬性，給出其定義、名稱和符號；（2）討論概念所包含的各種特例，突出概念的本質(zhì)特征；（3）把本質(zhì)屬性與原有認知結構中適當?shù)闹R聯(lián)系起來，使新概念納入到已有的概念體系中；（4）辨認肯定例證與否定例證，使新概念與已有認知結構中的有關概念產(chǎn)生分化；（5）使有關的概念融會貫通，組成一個新的整體.

通過概念形成方式學習數(shù)學概念，便容易接受概念，理解概念的關鍵屬性，把握抽象概念背后的豐富意藴，但有時不容易建立概念體系，不符合學習的經(jīng)濟原則——主要體現(xiàn)從特殊到一般、由表及里的認知規(guī)律.通過概念同化方式學習數(shù)學概念，則正好相反——主要體現(xiàn)從一般到特殊、由此及彼的認知規(guī)律.

因此，在數(shù)學概念學習中，兩種方式不能孤立使用，而要結合起來.教師可以在揭示出概念的定義后引導學生去觀察實例，定義的導向可以使學生比較容易地揭示實例中包含的概念的關鍵屬性，而正例與反例的應用可以使學生在分析、比較、分類、概括中將概念的關鍵屬性清晰化；然后引導學生以實例為概念的認識載體，將新概念與已有認知結構中的有關概念建立聯(lián)系，形成概念體系.

4數(shù)學概念教學的策略

4.1建模建構策略

數(shù)學建模是指為了某種目的，將現(xiàn)實原型簡化、抽象為數(shù)學結構.它是一種非常重要的數(shù)學思想方法，是運用數(shù)學知識解決現(xiàn)實問題的基礎，是數(shù)學反映客觀事物的途徑，也體現(xiàn)了數(shù)學與自然科學的聯(lián)系與區(qū)別.理解數(shù)學建模，對于領會數(shù)學內(nèi)容、掌握數(shù)學方法具有重要意義，因而也對提高數(shù)學學習興趣、提高數(shù)學教學效率具有重要的意義.

很多數(shù)學概念的形成過程都有力地體現(xiàn)了建模思想的價值.利用建模思想，讓學生歷經(jīng)、體驗“從現(xiàn)實事物，到事物的本質(zhì)（數(shù)和量）特征，再到數(shù)學概念的定義和名稱”的創(chuàng)造過程，從而在理解簡化、抽象方法的同時，領會數(shù)學概念的內(nèi)涵、外延和意義，是數(shù)學概念教學最基本策略之一.這一策略最大的特點是，將對概念的理解建立在對概念建構過程的體驗，而非對概念定義的反復辨析上，即將注意力集中在對概念作用和意義的理解，而非對概念字面的反復糾纏上.這樣，不僅能使學生認識概念是怎樣的，而且能使學生認識概念為什么是這樣的，因此是學生通過對形成過程的體驗到對概念本質(zhì)的認識的必由之路.

比如，在數(shù)學教學中，可以從物體具有大小（占有一定空間）出發(fā)，引導學生通過建模思想建立長度、面積、體積、測度等概念；從物質(zhì)世界具有正、反兩個方面出發(fā)，引導學生通過建模思想建立正負兩個概念；從自然界具有等量關系出發(fā)，引導學生通過建模思想建立方程的概念；等等.

4.2實驗建構策略

數(shù)學實驗能改變學生的數(shù)學觀念和數(shù)學學習方式，在數(shù)學教學中是不可或缺的.利用實物（如教具、學具）或模擬（如幾何畫板）的實驗，讓學生在觀察、操作、探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等活動中領悟數(shù)學概念的形成，也是概念教學最基本策略之一.在數(shù)學概念教學中，教師應為學生創(chuàng)設一種活動情境，讓學生動手“做數(shù)學”，完成“接觸概念、體驗概念、使用概念、建構和完善概念、掌握概念的內(nèi)涵和外延”的過程.

案例1“無理數(shù)概念”的教學.

首先，讓學生利用一把剪刀、兩張同樣大小的正方形紙片（邊長視為1）剪拼出面積為2的正方形.通過動手操作，學生不難完成多種拼圖；通過班級交流，學生不難選出比較簡便和美觀的拼圖，如圖1所示.由此，教師提問：觀察拼圖，拼得的正方形的邊長是多少？根據(jù)算術平方根的概念，學生能得出正方形的邊長是2.教師追問：估計2的值在哪兩個整數(shù)之間？利用取平方的方法，學生也不難得出2的值在1和2之間.

然后，教師提問：2能用分數(shù)表示嗎？激發(fā)學生的認知沖突后，教師引導學生利用計算器探求2的小數(shù)部分：（1）試輸入一個大于1、小于2的數(shù)，如果平方的結果比2大，如何調(diào)整？比2小呢？（2）通過實驗，猜想能否找到一個有限小數(shù)，使它的平方等于2？由此，引導學生體驗2=14142…，是一個無限不循環(huán)小數(shù).從而，引出無理數(shù)的概念.

實踐表明，通過變換角度的操作和觀察，學生能切身感受有理數(shù)外還有一類數(shù)，抓住無理數(shù)的本質(zhì)特征，加深對無理數(shù)概念的理解；經(jīng)過對概念的形成過程以及問題發(fā)現(xiàn)、解決過程的猜想、驗證等實驗探究，學生拓寬了思維視角，增強了合作意識，同時獲得了成功的體驗.對很多數(shù)學概念都可以這樣教學，如空間直線、平面的位置關系，橢圓，向量坐標運算，概率等.

4.3演繹建構策略

數(shù)學知識是以概念為基礎的強大演繹體系，很多數(shù)學概念之間都有著密切的邏輯相關關系（聯(lián)系）.這些相關關系是界定概念同化最有效的聯(lián)系，為學生深入理解概念、牢固建立知識結構指明了方向.所以，對于那些與學生原有認知結構中的概念有邏輯關聯(lián)的概念，我們可以通過邏輯演繹過程，幫助學生同化概念.

比如，教學“三角函數(shù)概念”時，很多學生甚至教師只注意到三角函數(shù)概念出現(xiàn)在三角比概念后面，從而認為三角函數(shù)概念是單純的三角知識，對于三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)也往往就事論事，其教學效果可想而知.其實，我們應該意識到三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，引導學生利用函數(shù)的概念和思路加深對三角函數(shù)的認識和理解，認識到三角函數(shù)概念不是孤立的三角知識，而是函數(shù)知識體系中一個特殊的節(jié)點，只不過多了幾個特殊性質(zhì)而已，從而使教學自然、高效.

4.4類比建構策略

數(shù)學知識也是以概念為基礎的廣泛類比系統(tǒng)，很多數(shù)學概念之間都有著豐富的直覺相似關系（聯(lián)系）.這些相似關系也是界定概念同化有效的聯(lián)系，使學生理解概念、建立知識結構有了認知基礎.所以，對于那些與學生原有認知結構中的概念有直覺關聯(lián)的概念，我們可以先引導學生回顧已有概念的屬性，再創(chuàng)設聯(lián)系已有相似概念的情境，引導學生利用直覺類比方法獲得發(fā)現(xiàn)，并嘗試給出新概念的定義.

案例2“三角形概念”的教學.

師：剛才請同學們用數(shù)學的眼光欣賞了美麗的圖片.那么，請問這些美麗的圖片中都含有哪種平面幾何圖形？

生（眾）：三角形.

師：對！（課件出示圖2）小學時我們已經(jīng)學過三角

形的一些知識，從今天開始將進一步學習有關三角形

的知識.誰來說說什么樣的圖形叫做三角形呢？

生：由三條線段組成的圖形叫做三角形.

師：有不同的觀點嗎？

生：我不同意他的觀點.（投影出示圖3、圖4）請大家看我畫的由三條線段組成的圖形，它們不是三角形.故應改為，由三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形.圖3圖4

師：這下，大家沒異議了吧！

生：不行！必須添上條件“不在同一條

直線上”，否則，組成的圖形可能是線段.

（投影出示圖5）請看.故應改為，由不在

同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成

的圖形叫三角形.

師：真聰明！這樣就準確了.我們知道圖形的角用符號“∠”表示，垂直用符號“⊥”表示，那么，三角形應該用什么符號表示呢？

生眾：用小的三角形圖形.

師：你們是怎么想到的？

生眾：受角、垂直的符號表示法的啟發(fā)呀！

師：這種考慮問題的方法就叫作類比.類比是關注兩個對象在某些方面的相同或相似，從而推測它們在其他方面可能存在的相同或相似.它是非常有創(chuàng)造力的一種思維方法.的確，數(shù)學家們用小的三角形圖形“△”表示三角形.這一符號形象、直觀，便于記憶.（指著圖2）我們還知道這個三角形中的三條線段可分別記作線段AB、BC、CA，三個角可分別記作

∠ABC、∠BAC、∠ACB，那么，那么，這個三角形又該如何用符號表示呢？

生：記作△ABC.

師：能否記作△BCA或△CAB呢？

生：不能.因為∠ABC、∠BAC表示不同的角，類比角的表示法，所以△ABC、△BCA應表示不同的三角形，所以△ABC不能記作△BCA.

生：我認為可以.因為在三角形中點A、B、C呈“三國鼎立，勢均力敵”之勢，所以“排名不分先后”（有學生笑）.而在角中點A、B、C的地位是不同的，故不能盲目類比.

師：說得太棒了！從中我們得到啟發(fā)，有時由類比得到的結論不一定可靠，需要仔細斟酌.我們知道符號“∠ABC”讀作“角ABC”，那么符號“△ABC”又如何讀呢？

生眾：讀作“三角形ABC”.

這里，通過引導學生研究已有三角形概念的本質(zhì)特點，產(chǎn)生新概念的“生長點”，以類比方法獲得三角形的概念，使學生覺得這一概念是小學三角形概念的一種自然發(fā)展.對很多數(shù)學概念都可以這樣教學，如分式（與分數(shù)類比）、不等式（與方程類比）、空間（與平面類比）、無限（與有限類比）等.

4.5反思建構策略

指導學生反思概念形成的過程，是幫助學生深刻理解概念本質(zhì)特征的重要環(huán)節(jié)，也有利于提升學生從自身經(jīng)歷中學習、提煉的意識和能力.進行課堂總結時，很多教師通常會提出“通過本節(jié)課的學習，你學到了什么”“有哪些認識和體會”“還有什么疑問”等問題，引導學生根據(jù)板書，作出簡明扼要的語言回答.但是，這樣的問題過于籠統(tǒng)，這樣的回答過于表面.實際上，學生是學習的主體.反思概念形成的過程同樣需要學生具體、深入的實踐、練習，才能有效促進數(shù)學經(jīng)驗的積累和數(shù)學思想的形成.

案例3“反比例函數(shù)概念”的教學.

（在課堂總結階段，教師提出問題：你是如何認識反比例函數(shù)的？引導學生交流學習反比例函數(shù)概念的經(jīng)驗.）

師：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)有何異同？

生：反比例函數(shù)和正比例函數(shù)一樣，它們都是用一般式來定義的.

生：反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的一般式中，都只有一個自變量，都只有一個不為零的常數(shù).

生：兩種函數(shù)的解析式的形式不同，正比例函數(shù)的解析式是整式，而反比例函數(shù)的解析式是分式.

生：兩種函數(shù)的自變量的取值范圍不同，正比例函數(shù)的自變量可取一切實數(shù)，而反比例函數(shù)的自變量不能等于0.

師：由此你能猜想一下兩種函數(shù)圖像的不同點嗎？（出示圖6）下列哪幅圖可能是反比例函數(shù)y=12x的圖像？為什么？

生：反比例函數(shù)的自變量不能等于0，當然函數(shù)值也就不能等于0，所以它的圖像上點的橫坐標和縱坐標都不能等于0，也就是它的圖像不能與坐標軸相交，所以排除A和D，選擇B或C.

師：很好！你的分析體現(xiàn)了數(shù)向形的轉(zhuǎn)化.那么，到底選項B，還是選項C呢？為什么？

生：選C.因為滿足y=12x的x、y的值是同正或同負，B中圖像在第二象限時x的值為負，y的值為正，所以排除B.

生：（投影展示圖像）我通過列表、描點、連線，畫出了y=12x的圖像.雖然沒有C中的圖像那么美觀，但是變化范圍和趨勢是一樣的.

師：通過本節(jié)課，你積累了哪些學習函數(shù)概念的方法？如果讓你去自學二次函數(shù)，你有什么想法？

生：也是從實例、概念、圖像、性質(zhì)、應用這幾個方面去研究……

在反思學習過程的基礎上，對比猜想反比例函數(shù)的圖像，類比猜想二次函數(shù)的研究方法，能夠促使學生由已知內(nèi)容很自然地遷移到未知內(nèi)容，有利于產(chǎn)生進一步的認識或疑問，以作為新的教學起點，從而自然延伸概念學習，不斷完善認知結構.

最后，不難發(fā)現(xiàn)上述策略不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，有時需要綜合運用；而且對概念以外的數(shù)學知識的教學往往也是適用的.