具有飽和發(fā)生率的HIV／AIDS模型的穩(wěn)定性分析

王　輝，侯文濤，胡志興，廖福成

（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

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具有飽和發(fā)生率的HIV／AIDS模型的穩(wěn)定性分析

王輝，侯文濤，胡志興，廖福成

（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

摘 要：研究一類具有飽和發(fā)生率、免疫接種和時滯的HIV／AIDS模型.運用Routh-Hurwitz判據(jù)、LaSalle不變集原理、Beretta和Kuang的幾何判別準(zhǔn)則.首先，研究了系統(tǒng)無病平衡點的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性；然后討論了系統(tǒng)正平衡點的唯一存在性，并研究了正平衡點分別在系統(tǒng)有無時滯時穩(wěn)定需要滿足的充分條件；最后，對所得結(jié)果進行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞：飽和發(fā)生率；免疫接種；穩(wěn)定性

艾滋病，即獲得性免疫缺陷綜合癥（AIDS），是由人類免疫缺陷病毒（HIV）感染引起的一種嚴(yán)重免疫缺陷性傳染病.近年來，關(guān)于HIV／AIDS模型已經(jīng)被廣泛研究［1-13］.如利用自治常微分方程研究了一類包含治療的階段性HIV／AIDS模型［1］、具有非線性發(fā)生率的HIV／AIDS模型［3］、一類具有脈沖接種的HIV／AIDS模型［3］、一類具有時滯和免疫接種的階段性HIV／AIDS模型［8］等.筆者根據(jù)相關(guān)文獻建立的數(shù)學(xué)模型［8］，考慮飽和發(fā)生率，建立了一個具有時滯和免疫接種的階段性HIV／AIDS模型，并研究了模型的平衡點的穩(wěn)定性.

1　模型的建立

下面研究一類具有飽和發(fā)生率和免疫接種的HIV／AIDS時滯模型

其中：α和β表示有效接觸率，其他參數(shù)代表的含義均參照文獻［8］.

系統(tǒng)（1）的初始條件為

2　平衡點及其穩(wěn)定性分析

2.1 無病平衡點穩(wěn)定性分析

其中

定義基本再生數(shù)為

定理1 若R0＜1，則無病平衡點E0對所有的τ≥0是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 顯然（3）有兩個負(fù)根λ1＝-（μ1＋θ），λ2＝-（μ1＋μ2＋ε）.因此無病平衡點E0的穩(wěn)定性由方程λ2＋a0（λ，τ）λ＋a1（λ，τ）＝0根的情況決定.

首先，當(dāng)τ＝0時，方程f（λ，τ）＝0變?yōu)?/p>

計算可得，當(dāng)R0＜1時，方程（4）所有系數(shù)都為正，且有兩個負(fù)實部的根.從而平衡點E0在τ＝0時是局部漸近穩(wěn)定的.

其次，若λ＝iω（ω＞0）是方程f（λ，τ）＝0的純虛根，分離實部和虛部并且再平方相加得

由R0＜1時μ1＋γ1-δa＞0，從而方程（5）中系數(shù)都為正.因此方程（5）沒有正根.

綜合上述可得，若R0＜1，平衡點E0對所有的τ≥0是局部漸近穩(wěn)定的.

2.2 染病平衡點穩(wěn)定性分析

而S＊滿足方程.由關(guān)于S＊的表達式知，且

定義

定理2系統(tǒng)存在唯一的染病平衡點E＊＝（S＊，W＊，U＊，I＊）T，并且此時系統(tǒng)滿足，1＜R0＜

證明 由W＊，U＊，I＊都是正值可解得

顯然R1≤1時，系統(tǒng)不存在正平衡點.因此設(shè)R1＞1，若Δ＜0系統(tǒng)顯然沒有正平衡點；若Δ＞0，則有兩個正根設(shè)為，.其中

將a0，a1，a2的表達式代入上式計算可證得上式成立.

綜合上述，定理2得證.

下面考慮若正平衡點存在時，正平衡點的穩(wěn)定性.令

則系統(tǒng)在正平衡點E＊＝（S＊，W＊，U＊，I＊）T處特征方程為

其中

顯然特征方程有一根λ＝-b1，因此正平衡點的穩(wěn)定性由以下方程根的情況決定

定理3 如果1＜R0＜min｛βS0／（μ1＋γ2＋η），m1μS0／（μ1＋γ1）ηS＊2｝，則當(dāng)τ＝0時平衡點E＊是局部漸近穩(wěn)定的.

證明 當(dāng)τ＝0時，特征方程變?yōu)?/p>

其中：Δ1＝g0（0）＋g3（0），Δ2＝（g0（0）＋g3（0））（g1（0）＋g4（0））-（g2（0）＋g5（0）），Δ3＝（g2（0）＋g5（0））·Δ2.

如果1＜R0＜min｛βS0／（μ1＋γ2＋η），m1μS0／（μ1＋γ1）ηS＊2｝，計算可得Δ1＞0，Δ2＞0和Δ3＞0.由Routh-hurwitz判據(jù)知，當(dāng)τ＝0時平衡點E＊是局部漸近穩(wěn)定的.

下面探討方程（7）純虛根λ＝iω（ω＞0）的存在性.設(shè)λ＝iω（ω＞0）是特征方程的一純虛根，代入特征方程分離實部和虛部可解得

將上面兩式兩邊分別平方，整理相加得

其中

令x＝ω2，則上式變?yōu)?/p>

易得

定理4 如果1＜R0＜min｛βS0／（μ1＋γ2＋η），m1μS0／（μ1＋γ1）ηS＊2｝成立，則染病平衡點E＊對所有τ≥0是局部漸近穩(wěn)定的，如果下列條件之一滿足

（1）D3≥0且M≤0

定理5 如果1＜R0＜min｛βS0／（μ1＋γ2＋η），m1μS0／（μ1＋γ1）ηS＊2｝成立，則F（x，τ）＝0至少有一個正根，如果下列條件之一滿足（1）D3＜0；（2）D3≥0且

利用文獻［10］建立的幾何判別準(zhǔn)則.不失一般性，設(shè)ω（τ）是其任意一個正根.構(gòu)造集合I＝｛ττ≥0，F(xiàn)（ω，τ）＝0｝有正解，即當(dāng)τ∈I 的時候，F(xiàn)（ω，τ）＝0有正解ω（τ）；而當(dāng)τ∈I 的時候，F(xiàn)（ω，τ）＝0沒有正解.

對τ∈I，定義一個角θ（τ）∈［0，2π）滿足cosωτ和sinωτ表達式.則θ（τ）與ω（τ）τ必須滿足如下關(guān)系

根據(jù)Beretta和Kuang［10］可知：Sn（τ）在I上連續(xù)可微，且橫截條件為

定理6 假設(shè)ω（τ）是F（ω，τ）＝0的定義在I上的連續(xù)可微的正解，且對某個n∈N0，在某τ＊∈I 處有Sn（τ＊）＝0，則在當(dāng)τ＝τ＊時，系統(tǒng)特征方程有一對純虛根λ＝±ω（τ＊），且如果橫截條件δ（τ＊）＞0（＜0），那么隨著τ的增加并越過τ＊時，這對純虛根所對應(yīng)的根將會從左（右）半平面穿過虛軸進入右（左）半平面.

3　結(jié)束語

作者考慮了更接近實際的具有飽和發(fā)生率和免疫接種的HIV／AIDS時滯動力學(xué)模型.分析得出了模型的基本再生數(shù)R0，R0＜1時，無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.時，唯一的染病平衡點存在，并且得出了染病平衡點穩(wěn)定性的充分條件.因此，在實際的疾病預(yù)防控制工作中，應(yīng)該考慮加大HIV／AIDS疫苗接種量，重視利用抗逆轉(zhuǎn)錄病毒治療，控制基本再生數(shù)R0在小于1的范圍內(nèi)，從而控制疾病的擴散.可見論文的結(jié)論對疾病的預(yù)防和控制有理論和實際的指導(dǎo)意義.

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（責(zé)任編輯 朱夜明）

Stability analysis of the HIV／AIDS model with saturated incidence rate

WANG Hui，HOU Wentao，HU Zhixing，LIAO Fucheng
（College of Mathematics and Physics，Beijing University of Science and Technology，Beijing 100083，China）

Abstract：In this paper，an HIV／AIDS model with saturation incidence，immu-nization and time delay was considered.By using Routh-Hurwitz criterion，LaSalle invariant set principle，Beretta and Kuang geometric criterion，firstly，the local stability and global stability of the disease-free equilibrium point were studied.Then，the existence and uniqueness of the positive equilibrium point was discussed and the sufficient condition for the stability of the positive equilibrium point was researched whether the time delay was in the system or not.Finally，the results obtained by numerical simulation.

Key words：saturated incidence；immunization；stability

doi：10.3969／j.issn.1000-2162.2016.01.004

作者簡介：王 輝（1965-），女，山西榆次人，北京科技大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（61174209）；北京科技大學(xué)冶金工程研究院基礎(chǔ)研究基金資助項目（YJ 2012-001）

收稿日期：2015-03-15

中圖分類號：O175

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-2162（2016）01-0018-05