一維三粒子系統(tǒng)的磁化平臺(tái)與熱力學(xué)性質(zhì)研究

王　勁,羅　有，廖艷華

(湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,湖北 黃石 435003)

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一維三粒子系統(tǒng)的磁化平臺(tái)與熱力學(xué)性質(zhì)研究

王勁,羅有，廖艷華*

(湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,湖北 黃石 435003)

摘要：采用伊辛模型，引入統(tǒng)計(jì)物理中配分函數(shù)方程，推導(dǎo)出具有不同自旋數(shù)值的一維三粒子系統(tǒng)的磁矩關(guān)系式。研究結(jié)果表明：粒子之間的交換作用與磁場(chǎng)之間形成競(jìng)爭(zhēng)，競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果導(dǎo)致磁化過程中出現(xiàn)磁化臺(tái)階。臺(tái)階處對(duì)應(yīng)的磁矩值與單粒子自旋大小有關(guān)，且臺(tái)階的寬度會(huì)受到交換強(qiáng)度的影響。

關(guān)鍵詞：伊辛模型；配分函數(shù)；磁矩

0引言

伊辛模型是描繪相鄰微觀粒子之間相互作用的最簡(jiǎn)單的物理模型，可以用它來研究系統(tǒng)的相變和臨界現(xiàn)象[1-2]。1925年，該模型提出者伊辛采用“組合法”嚴(yán)格求解了一維伊辛模型(經(jīng)典模型)，后被海森堡證實(shí)一維伊辛模型不存在鐵磁-順磁相變。布喇格(Bragg) 和威廉斯(Williams)于1941年采用矩陣解法，更為嚴(yán)格地求解了一維伊辛模型。 在1944年，美國(guó)物理化學(xué)家昂薩格(L.Onsager)采用布喇格-威廉斯的一維矩陣思想，受到一維梯子模型啟發(fā)，采用矩陣方法嚴(yán)格求解了平面正方二維伊辛模型，證明確實(shí)存在一個(gè)相變點(diǎn)[3]。但對(duì)三維伊辛模型的嚴(yán)格解，迄今為止，尚未有人得出。理論工作者采用該模型研究了一系列有關(guān)相變和粒子輸運(yùn)的問題[4-5]，特別是采用蒙特卡羅的方法對(duì)三維的伊辛模型進(jìn)行了比較深入的研究[6]。伊辛模型的理論和實(shí)際意義，已經(jīng)大大超出了相變臨界現(xiàn)象的研究領(lǐng)域，被廣泛地應(yīng)用于研究諸多凝聚態(tài)物理問題，如用它能較好地描述各向異性很強(qiáng)的鏑鋁石榴石的磁性產(chǎn)生機(jī)制。

近年來，一些理論工作者對(duì)低維自旋系統(tǒng)中的低溫磁化平臺(tái)產(chǎn)生的機(jī)制進(jìn)行深入研究[7-8]，嘗試采用量子機(jī)制和量子無序來解釋。本研究通過建立一維三粒子的近伊辛模型，獲得一維熱力學(xué)配分函數(shù)，推導(dǎo)出三粒子系統(tǒng)的磁矩，以期用少體問題理解具有不同自旋粒子鏈的磁化平臺(tái)產(chǎn)生的量子機(jī)制。

1一維伊辛模型及其配分函數(shù)

對(duì)于具有N個(gè)處于晶格格點(diǎn)位置上的自旋粒子系統(tǒng)，每個(gè)粒子自旋可以取向上或向下2種態(tài)，在只考慮最近鄰粒子間相互作用情況下，這樣的自旋系統(tǒng)被稱之為伊辛模型，其哈密頓量為：

(1)

其中J代表兩粒子之間的交換相互作用，當(dāng)J>0時(shí)描述的為反鐵磁關(guān)聯(lián)；J<0時(shí)描述的為鐵磁關(guān)聯(lián)。σi(σj)代表第i(j)個(gè)格點(diǎn)位置的自旋，取正值時(shí)表示自旋沿著z軸正方向，自旋向上；負(fù)值表示沿z軸負(fù)方向，自旋方向向下。B表示沿z軸方向的外加磁場(chǎng)。

三格點(diǎn)模型示意圖如圖1所示，其哈密頓量可以表示為：

H=JSz(1)Sz(2)+JSz(2)Sz(3)-B[Sz(1)+Sz(2)+Sz(3)]

(2)

(3)

引入熱力學(xué)配方函數(shù):

(4)

則系統(tǒng)的磁矩為：

(5)

1.2格點(diǎn)中粒子自旋為±1時(shí)

當(dāng)格點(diǎn)自旋為±1時(shí)，由式(2)可得格點(diǎn)中粒子處于不同自旋方向時(shí)本征值為：

(6)

引入熱力學(xué)配方函數(shù):

2(2+e2JB)cosh(Bβ)

(7)

則系統(tǒng)的磁矩可表示為:

2(2+e2Jβ)·sinh(βB)]

(8)

(9)

引入熱力學(xué)配方函數(shù):

(10)

此時(shí)系統(tǒng)的磁矩為:

(11)

1.4格點(diǎn)中粒子自旋為±2時(shí)

當(dāng)格點(diǎn)自旋為±2時(shí)，由式(2)可得格點(diǎn)中粒子處于不同自旋方向時(shí)本征值為：

(12)

引入熱力學(xué)配方函數(shù):

2(2+e8βJ)cosh(2βB)

(13)

此時(shí)系統(tǒng)的磁矩為:

(14)

2結(jié)果與討論

由式(3)~(14)，筆者繪制了一維三格點(diǎn)系統(tǒng)的磁矩隨磁場(chǎng)和交換強(qiáng)度之間的變化關(guān)系。

3結(jié)論

通過對(duì)一維的三粒子伊辛模型研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)交換項(xiàng)J值較小時(shí)，磁場(chǎng)很容易使三粒子系統(tǒng)形成鐵磁關(guān)聯(lián)，J作用無法顯現(xiàn)；隨著J的增加，磁矩隨磁場(chǎng)的增大會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階，臺(tái)階處對(duì)應(yīng)的磁矩大小就是該單粒子自旋值大小，且當(dāng)單粒子自旋值增大時(shí)，臺(tái)階長(zhǎng)度變長(zhǎng)。臺(tái)階處應(yīng)是粒子之間的交換項(xiàng)所導(dǎo)致的反鐵磁與由磁場(chǎng)導(dǎo)致的鐵磁之間的競(jìng)爭(zhēng)過程。連續(xù)變化粒子之間的交換強(qiáng)度，筆者發(fā)現(xiàn)在小磁場(chǎng)環(huán)境下，由交換項(xiàng)所導(dǎo)致粒子之間的鐵磁關(guān)聯(lián)(J<0)由于混合態(tài)的存在而致使總磁矩不強(qiáng)，隨著磁場(chǎng)增加，磁矩會(huì)逐漸增強(qiáng)。但磁場(chǎng)增大到一定值時(shí)，能使得混合態(tài)成為單一的鐵磁關(guān)聯(lián)，此時(shí)磁矩達(dá)到最大值。同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，在一定磁場(chǎng)環(huán)境下，變換交換強(qiáng)度到反鐵磁關(guān)聯(lián)時(shí)(J>0),磁矩線會(huì)有一個(gè)平滑的下降過程，且最小磁矩值也會(huì)隨著磁場(chǎng)的增大而增大。當(dāng)磁場(chǎng)增加到一定值時(shí)，最小磁矩為單粒子的自旋值。在此變化過程中，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)磁場(chǎng)為0時(shí)，磁矩為0，與溫度大小無關(guān)，熱學(xué)效應(yīng)沒有體現(xiàn)，說明一維近伊辛模型無相變。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Kerson Huang.Statistical Mechanics[M].New York:John Wiley & Sons,1963:361-368.

[2]劉連壽.理論物理基礎(chǔ)教程[M].北京：高等教育出版社,2003:707-710.

[3]T D Lee,C N Yang.Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions.II LLattice Gas and Ising Model[J].Physical Review,1952,87(3)：410-419.

[4]Gunlycke D,Kendon V M,Vedral V,et al.Thermal concurrence mixing in a one-dimensional Ising mode[J].Physical Review A,2001,64(4):502-508.

[5]Tai Tsun Wu,Barry M McCoy,Craig A Tracyt,et al.Spinmpin correlation functions for the two-dimensional Ising model Exact theory in the scaling[J].Physical Review B,1975,13(1):316-374.

[6]A M Ferrenberg,D P Landau.Critical behavior of the three-dimensional Ising model:A high-resolution Monte Carlo study[J].Physical Review B Condensed Matter,1991,44(10):5081-5091.

[7]VR Ohanyan,NS Ananikian.Magnetization plateaus in the ferromagnetic-ferromagnetic-antiferromagnetic Ising chain [J].Physics Letters A,2002,307(1):76-84.

[8]GH Liu,W Li,WL You,et al.Quantum phase transitions and the 1/3 magnetization plateau in the spin-1/2 Ferromagnetic-Ferromagnetic-Antiferromagnetic chain[J].Journal of Magnetism & Magnetic Materials,2015,377:12-18.

[9]李正中.固體理論[M].北京:高等教育出版社,2002:62-67.

(責(zé)任編輯黃小榮)

Magnetization Plateau and Thermodynamic Properties in One-dimensional Three Particle System

WangJin,LuoYou,LiaoYanhua*

(School of Mathematics and Physics，Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Abstract：Using the effective Ising model and partition function equation,the formula of magnetic moment in a one-dimensional three particle system is deduced.It is found that a competition exists between the exchange interaction and the magnetic field,resulting in the occurrence of magnetization steps.The value of steps relates to the size of the single particle spin.In addition,the width is affected by the exchange interaction.

Key words：ising model;partition function;magnetic moment

中圖分類號(hào)：O482.51

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-4565(2016)01-0046-05

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.011

*通訊作者：廖艷華，講師，博士，研究方向：強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)。

作者簡(jiǎn)介：王勁，本科。

基金項(xiàng)目：湖北理工學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：2015B09)；湖北理工學(xué)院實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目。

收稿日期：2015-04-07