兩類特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式的新解法

付　琴，黃華平 ，辛　華，盧永翠，劉婉貞

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石 435002)

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兩類特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式的新解法

付琴，黃華平*，辛華，盧永翠，劉婉貞

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石 435002)

摘要：得到了一類常見數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用此公式得到了兩類著名數(shù)列，即斐波那契數(shù)列和切比雪夫數(shù)列的通項(xiàng)公式.相比前人的方法，該方法更簡潔，直觀，實(shí)用.

關(guān)鍵詞：斐波那契數(shù)列;切比雪夫數(shù)列;通項(xiàng)公式

0引言

斐波那契(Fibonacci)數(shù)列(見文獻(xiàn)[1-2])和切比雪夫(Chebyshev)數(shù)列(見文獻(xiàn)[3-4])是兩類著名的數(shù)列，有很高的實(shí)用價(jià)值.多年來，學(xué)者們一直在探究它們的通項(xiàng)公式的求解方法，已經(jīng)涌現(xiàn)出了多種方法(見文獻(xiàn)[4-5]).但據(jù)筆者們所知，這些方法大都需要比較高深的數(shù)學(xué)知識，例如組合數(shù)學(xué)的方法(見文獻(xiàn)[6])，概率的方法(見文獻(xiàn)[7])等等，讓人比較難理解，不容易接受.基于此，本研究給出了一種簡易的初等數(shù)學(xué)方法，先探求它們的特征多項(xiàng)式，然后通過求解線性方程組的思想，得出它們的通項(xiàng)公式.這種方法深入淺出，有一定的實(shí)用價(jià)值.

為方便讀者，首先回顧一下這2種數(shù)列.

所謂斐波那契數(shù)列，是指數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，其特點(diǎn)如下：

1)從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是前2項(xiàng)之和.

2)隨著各項(xiàng)的逐漸增大，2個(gè)相鄰的數(shù)字之比趨近于黃金分割數(shù)0.618….

容易得到斐波那契數(shù)列{an}應(yīng)滿足的遞推公式為an+2=an+1+an，其中a1=a2=1.

所謂切比雪夫數(shù)列是指滿足Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)的函數(shù)列{Tn(x)}，其中T0=1,T1=x.

1主要結(jié)果

定理1形如an+2=pan+1+qan(p,q為常數(shù)，且p2+4q>0)的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：

其中α，β是一元二次方程x2-px-q=0的2個(gè)根.

證明易得an+2=pan+1+qan對應(yīng)的特征方程為x2=px+q.由于一元二次方程x2-px-q=0的根的判別式△=p2+4q>0,故方程x2=px+q存在2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根α，β,再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有：

p=α+β,q=-αβ.

將上面的式子代入到an+2=pan+1+qan中有:

an+2-αan+1=β(an+1-αan)

(1)

an+2-βan+1=α(an+1-βan)

(2)

由式(1)可知數(shù)列{an+1-αan}是以a2-αa1為首項(xiàng)，以β為公比的等比數(shù)列，從而其通項(xiàng)公式為：

an+1-αan=(a2-αa1)βn-1

(3)

再由式(2)可知數(shù)列{an+1-βan}是以a2-βa1為首項(xiàng)，以α為公比的等比數(shù)列，從而其通項(xiàng)公式為：

an+1-βan=(a2-βa1)αn-1

(4)

由式(4)-(3)可得：

(α-β)an=(a2-βa1)αn-1-(a2-αa1)βn-1.

進(jìn)一步求得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

推論1斐波那契數(shù)列，即滿足遞推式an+2=an+1+an(a1=a2=1)的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：

利用定理1的思想容易驗(yàn)證下面的結(jié)論.

例1切比雪夫數(shù)列，即滿足遞推式Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)(T0=1,T1=x)的函數(shù)列{Tn(x)}的通項(xiàng)公式為：

證明Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)的特征方程為y2=2xy-1，此特征方程的根為：

利用定理1的證明思想，考慮到一元二次方程y2=2xy-1的根與系數(shù)的關(guān)系，易得原遞推式Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)等價(jià)于：

(5)

(6)

進(jìn)而：

(7)

故：

(8)

最后由式(8)-(7)可得:

即得:

參 考 文 獻(xiàn)

[1]李美玲.趣談斐波那契數(shù)列[J].科協(xié)論壇(下半月)，2008(8):42.

[2]謝凱.斐波那契數(shù)列在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊(上半月)，2009(5):91.

[3]張躍平.有關(guān)兩類切比雪夫多項(xiàng)式的幾個(gè)關(guān)系式[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007，30(1)：43-45.

[4]于海杰.奇妙的廣義斐波那契數(shù)列[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，30(8)：1-2.

[5]凌明燦,吳康.一類切比雪夫型方程組的通解[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012，30(4)：46-49.

[6]黎海燕,吳康.關(guān)于切比雪夫型方程組的研究[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011(1)： 25-28.

[7]何彩香.廣義斐波那契數(shù)列[J].大理師專學(xué)報(bào),2001(4):1.

(責(zé)任編輯吳鴻霞)

General Formulas on Two Special Sequences

FuQin,HuangHuaping*,XinHua,LuYongcui,LiuWanzhen

(School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi Hubei 435002)

Abstract：In this paper,a general formula for a class of usual sequences is given.By using it,some general formulas such as Fibonacci sequence and Chebyshev sequence are also presented.Compared with the previous methods in the literature,the obtained techniques are much simpler,more straightforward and applicable.

Key words：fibonacci sequence;chebyshev sequence;general formula

中圖分類號：O177.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-4565(2016)01-0038-03

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.009

*通訊作者：黃華平，副教授，碩士，研究方向：函數(shù)論。

作者簡介：付琴,本科生。

基金項(xiàng)目：湖北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃指導(dǎo)性項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：B2015137)；湖北師范學(xué)院本科生科研項(xiàng)目立項(xiàng)資助項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：2014071)。

收稿日期：2015-10-13