指數(shù)函數(shù)在迭代下軌道的極限

成凱歌

(浙江旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,浙江 杭州 311231)

?

指數(shù)函數(shù)在迭代下軌道的極限

成凱歌

(浙江旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,浙江 杭州 311231)

摘要：對函數(shù)迭代的研究是離散動力系統(tǒng)的主要內(nèi)容之一.對于低次的迭代問題往往不會復(fù)雜，但當(dāng)?shù)拇螖?shù)較高或迭代次數(shù)不斷增加時，會出現(xiàn)意想不到的的情況.指數(shù)函數(shù)作為重要的基本初等函數(shù)之一，通過對它的迭代在迭代次數(shù)不斷增加時出現(xiàn)的結(jié)果進行研究，獲得了過定義域中每一點的軌道性質(zhì)以及軌道在迭代次數(shù)趨向無窮大時的極限狀態(tài).

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)；迭代；不動點；2-周期點；軌道

對于給定函數(shù)f(x)， 要考慮其低次迭代譬如f(f(x)),f(f(f(x)))是比較容易的，但更高次的迭代不僅函數(shù)的性質(zhì)會出現(xiàn)復(fù)雜的情況， 而且會出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果.數(shù)學(xué)中研究的迭代反映了現(xiàn)實生活中的常見現(xiàn)象， 因為許多現(xiàn)象本身就是迭代或者都可以用迭代解釋， 如植物的生長過程、動物的繁殖等現(xiàn)象都可以用迭代進行研究，所以對映射迭代的研究構(gòu)成了離散動力系統(tǒng)的主要內(nèi)容.另外，計算機的運行就是迭代， 所以對迭代研究也促使了計算機技術(shù)的飛速發(fā)展.上世紀(jì)50年代以來,在迭代的研究方面取得了很多重要的成果[1-8].在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中, 迭代問題盡管常常遇到,但具體的常見函數(shù)迭代的研究涉及不多.本研究將討論指數(shù)函數(shù)的迭代， 進一步研究指數(shù)函數(shù)在迭代的次數(shù)不斷增大時的極限狀態(tài).

1有關(guān)的定義及定理

定義1[9]設(shè)f:I→I是一個自映射，那么對?x∈I，f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),…都是有意義的.記：

f0(x)=x,fn(x)=f(fn-1(x))，則fn(x)對一切非負(fù)整數(shù)n都有意義.fn(x)稱為f(x)的n次迭代函數(shù)， 簡稱為f(x)的n次迭代，其中n稱為迭代指數(shù).

定義2[9]設(shè)ξ∈I,如果f(ξ)=ξ，則稱ξ是f(x)的一個不動點.

定義3[9]設(shè)ξ∈I,如果f(ξ)≠ξ，但f2(ξ)=ξ，則稱ξ是f(x)的一個2-周期點.

定義4[10]設(shè)x0∈I, 則：

x0,f(x0),…,fn(x0),…，稱為f過點x0的正半軌道, 簡記為{fn(x0)}.如果f:I→I是可逆映射, 那么：

…,f-n(x0),…,f-2(x0),f-1(x0),x0,f(x0),…,fn(x0),…，稱為f過點x0的軌道；而：

…,f-n(x0),…,f-2(x0),f-1(x0),x0，稱為f過點x0的負(fù)半軌道.由不動點的定義可得：

定理 1若ξ是f(x)的不動點，那么，對任意正整數(shù)n，ξ也是fn(x)的不動點.

2指數(shù)函數(shù)迭代的討論

函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1),x∈(-∞,+∞)稱為定義在(-∞,+∞)上的指數(shù)函數(shù).

2.1當(dāng)a>1時指數(shù)函數(shù)的迭代

由定理2可得如下推論.

定理3設(shè)f(x)=ax(a>1), 則:

①對任意正整數(shù)n,fn(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞增.

證明結(jié)論①顯而易見.

(1)

ξ1=f(ξ1)

進而，對任意正整數(shù)n，有:

ξ1

2.2當(dāng)0

定理4當(dāng)0

證明令F(x)=ax-x，則有：

由ax>0以及l(fā)na<0，得對?x∈(-∞,+∞)，有F'(x)<0.所以，函數(shù)F(x)=ax-x在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減.注意：

推論2當(dāng)0

事實上，由定理4的證明，可知：

F(0)=1>0,F(1)=a-1<0.

根據(jù)介值定理得函數(shù)F(x)=ax-x有唯一零點屬于區(qū)間(0,1)，即函數(shù)f(x)=ax的唯一不動點屬于區(qū)間(0,1).

定理5設(shè)f(x)=ax(0

①對任意正整數(shù)n，f2n-1(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減，而f2n(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞增.

證明①對正整數(shù)n=1，因為f2n-1(x)=f(x)，所以，在n=1時，f2n-1(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減成立.假設(shè)n=k，即f2k-1(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減成立.對任意x1,x2∈(-∞,+∞),在x1f(x2).進而有:

f2(x1)=f(f(x1))

可得：

f2k+1(x1)=f2k-1(f2(x1))>f2k-1(f2(x2))=f2k+1(x2).

這表明f2k+1(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減.由歸納法得，對任意正整數(shù)n，f2n-1(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞減，至于f2n(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格遞增可類似證明.

②首先指出對?x∈(-∞,+∞)，有f2(x)∈[0,1].事實上，注意到0<ξ<1，一方面，有f((-∞,0))=(f(0),+∞)=(1,+∞)，以及：

f((1,+∞))=(0,f(1))?(0,f(ξ))=(0,ξ)?[0,1].

另一方面，又有：

f([0,1])=[f(1),f(0)]?(0,1]?[0,1],可知f(x)在區(qū)間[0,1]上是一個自映射，所以，有：

f2(x)∈[0,1],?x∈(-∞,+∞)

(2)

假設(shè)x∈[0,ξ)，那么ξ

假設(shè)f2(x)

0≤f2n(x)

ξ

由于：

(3)

(4)

可得A=f2(A),B=f2(B)，從而f(x)=ax存在2-周期點，和已知矛盾，所以，只能有f2(x)>x，從而得ξ

(5)

由上述可得：

(6)

參 考 文 獻(xiàn)

[1]H J Hamilton.Roots of equations by functional iteration[J].Duke Mathematical Journal,1946,13(1):113-121.

[2]M Kuczma.Functional Equations in a Single Variable[M].Warsaw:Polish Scientific Publishers,1968:288-307.

[3]Dunn K B,Lidl R.Iterative roots of functions over finite fields[J].Mathematische Nachrichten,1984,115(1):319-329.

[4]何連法,牛東曉.一類上自同胚的迭代根[J].數(shù)學(xué)研究與評論,1991,11(2):305-310.

[5]Bogatyi S.On the nonexistence of iterative roots[J].Topology & Its Applications,1997,76(2):97-123.

[6]孫太祥,席鴻建.區(qū)間上N 型函數(shù)的迭代根[J].數(shù)學(xué)研究,1996,29(2):40-45.

[7]Cheng R,Dasgupta A,Ebanks B R,et al.When f-1=1/f[J].American Mathematical Monthly,1998,105(8):704-717.

[8]S J Greenfield,R D.Nussbaum.Dynamics of a quadratic map in two complex variables[J].Journal of Differential Equations,2001,169(1):57-141.

[9]張景中,楊路.論逐段單調(diào)連續(xù)函數(shù)的迭代根[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1983,26(4):398-412.

[10]張景中,熊金城.函數(shù)迭代于一維動力系統(tǒng)[M].成都:四川科技教育出版社,1992:8-36.

(責(zé)任編輯黃小榮)

Limit of Orbit of Exponential Function under Iteration

ChengKaige

(Department of Basic Sciences,Tourism College of Zhejiang,Hangzhou Zhejiang 311231)

Abstract：The study of iteration of the function is one of the important issues in the discrete dynamical system.The iterative problem of low degree is not complex,but when the degree of iteration is higher,or iterative times increasingly grow,the unexpected things will happen.The exponential function is one of the important basic elementary functions,through the study of the iteration based on results obtained when iterative times increasingly grows iteration,the relevant properties of the orbit of every point in its domain and the limit of its orbit have been obtained.

Key words：exponential function;iteration;the fixed point;2-periodic point;orbit

中圖分類號：O29

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-4565(2016)01-0028-05

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.007

作者簡介：成凱歌，講師，本科。

收稿日期：2015-11-17