星際探測太陽帆行星和太陽借力軌道全局優(yōu)化*

錢　航，鄭建華，李明濤，李　暉，高　東，于錫崢

(1.中國科學(xué)院 復(fù)雜航天系統(tǒng)電子信息技術(shù)重點實驗室， 北京　100190；

2.中國科學(xué)院 空間天氣學(xué)國家重點實驗室， 北京　100190； 3.中國科學(xué)院大學(xué)， 北京　100190)

?

星際探測太陽帆行星和太陽借力軌道全局優(yōu)化*

錢航1,3，鄭建華1，李明濤1，李暉2，高東1，于錫崢1

(1.中國科學(xué)院 復(fù)雜航天系統(tǒng)電子信息技術(shù)重點實驗室， 北京100190；

2.中國科學(xué)院 空間天氣學(xué)國家重點實驗室， 北京100190； 3.中國科學(xué)院大學(xué)， 北京100190)

摘要：以太陽帆在20年內(nèi)飛行至距離太陽200 AU以遠(yuǎn)進(jìn)行星際探測為目標(biāo)，研究太陽帆通過行星借力和太陽借力的軌道全局優(yōu)化問題。建立太陽帆時間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道數(shù)學(xué)模型，分析行星借力和太陽借力的約束條件，并用這些約束條件構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，從而將軌道優(yōu)化的四點邊值問題轉(zhuǎn)化為求解無約束條件下的多變量優(yōu)化問題。通過選取合理的約束權(quán)重，采用遺傳算法獲得大范圍的粗略解，代入到序列二次規(guī)劃算法中獲得高精度解。仿真結(jié)果表明，雖然太陽帆通過太陽借力已獲得相當(dāng)大的加速度，但加上木星借力仍然可以節(jié)省相當(dāng)多的飛行時間。提出的軌道優(yōu)化思路，可以為太陽系逃逸任務(wù)軌道初步設(shè)計提供參考。

關(guān)鍵詞：星際探測；太陽帆；引力輔助；太陽光壓輔助；軌道全局優(yōu)化

外日球?qū)右约靶请H空間是人類從未直接探索過的嶄新領(lǐng)域，蘊(yùn)含著許多重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的無限可能。迄今為止，國際上還沒有一個專門設(shè)計的飛船計劃對其展開綜合性的就位與遙感探測。作為國際上首個為飛出日球?qū)犹剿魅祟悘奈从|及且知之甚少的星際空間而專門設(shè)計的飛船探測計劃，中科院空間中心提出的星際快車(Interstellar Express)——“神梭”探測計劃將開展概念研究，旨在設(shè)計一種能在20年內(nèi)穿過日球?qū)舆吔绲竭_(dá)200AU(天文單位，1AU=1.495 978 70×1011m，表示地球到太陽的平均距離)以外星際空間的飛船方案，實現(xiàn)對外日球?qū)雍托请H空間的等離子體、中性成分、塵埃、磁場、高能粒子、宇宙線和太陽系外紅外輻射等信息的首次綜合性就位及遙感探測，從而研究日球?qū)觾?nèi)外的物質(zhì)分布特性、鄰近太陽系星際介質(zhì)的性質(zhì)、動力學(xué)特征及演化規(guī)律，揭示日球?qū)优c星際介質(zhì)的相互作用過程及相互影響機(jī)制，促進(jìn)對外日球?qū)?、鄰近星際空間以及二者之間耦合過程的深入認(rèn)識。

“神梭”探測計劃的首要技術(shù)挑戰(zhàn)就是設(shè)計一種經(jīng)濟(jì)可行的推進(jìn)技術(shù)方案?，F(xiàn)有四種先進(jìn)星際航行推進(jìn)技術(shù)：放射性同位素電推進(jìn)(Radioisotope Electric Propulsion, REP)、核電推進(jìn)(Nuclear-Electric Propulsion, NEP)、太陽帆推進(jìn)(Solar Sail Propulsion, SSP)以及引力輔助推進(jìn)(Gravity Assist Propulsion, GAP，即行星借力)。其中，太陽帆航天器雖然受到的太陽光壓力很小，但持續(xù)加速可使太陽帆航天器在長時間后獲得相當(dāng)可觀的速度，并且利用太陽帆可以實現(xiàn)傳統(tǒng)航天器無法實現(xiàn)的非開普勒軌道，因而備受重視。

在太陽帆借力飛行和軌道優(yōu)化方面，意大利比薩大學(xué)學(xué)者Quarta和Mengali根據(jù)非理想太陽帆的最優(yōu)控制律設(shè)計了通過一次金星借力與水星交會的最小時間轉(zhuǎn)移軌道[1]。Dachwald基于進(jìn)化神經(jīng)元算法研究了關(guān)于理想和非理想太陽帆的最優(yōu)逃逸太陽系軌道，并以太陽帆最大耐熱溫度而不是以最小近日距離為優(yōu)化約束[2]。Leipold總結(jié)了NASA冰火項目任務(wù)，提出高性能太陽帆采用單次或雙次太陽光壓輔助可以更快地飛往冥王星甚至更遠(yuǎn)目標(biāo)，并認(rèn)為無須進(jìn)行引力輔助[3]。Matloff在給NASA報告中提出了在0.2 AU近日點的雙曲軌道展開太陽帆、在橢圓軌道的近日點0.2AU展開太陽帆和木星借力這三種可能的近星際太陽帆探測方案設(shè)想，但沒有給出具體任務(wù)軌道設(shè)計[4]。Vulpetti首次提出了三維角動量翻轉(zhuǎn)太陽帆日心逃逸軌道設(shè)計方法[5]。

針對太陽系行星近似共面特點，太陽帆逃逸太陽系任務(wù)基于平面二體模型，對從地球出發(fā)在20年內(nèi)通過行星借力和太陽借力獲得巨大加速后到達(dá)距離太陽200 AU以遠(yuǎn)的軌道做初步設(shè)計。該問題需要考慮行星借力時太陽帆與行星位置約束，以及太陽借力時不得小于最小近日距離約束，和終端200 AU約束，屬于復(fù)雜四點邊值問題，用傳統(tǒng)方法求解存在難以收斂、對初值敏感或計算速度慢等缺點。針對這一問題，可轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題，并引入相關(guān)算法進(jìn)行求解。

1理想太陽帆時間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道

給出太陽帆運(yùn)動方程的極坐標(biāo)形式，軌道半徑為r，軌道相角為θ，徑向速度是vr，橫向速度為vθ，那么太陽帆在日心黃道J2000坐標(biāo)系中平面軌道運(yùn)動方程[6-9]為：

(1)

(2)

(3)

(4)

由于太陽帆不消耗燃料，唯一優(yōu)化指標(biāo)是飛行時間，故目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

構(gòu)造該系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)。

(6)

其中：λ=[λ1λ2λ3λ4]T為協(xié)態(tài)矢量。

(7)

(8)

(9)

(10)

根據(jù)龐德里亞金極小值原理，最優(yōu)控制輸入u*≡α*使哈密頓函數(shù)H最小。

(11)

其中：x*和λ*分別表示最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)協(xié)態(tài)矢量。最優(yōu)方向角α*可以通過?H/?α=0得到。[10]

(12)

由協(xié)態(tài)方程(7)～(10)和式(12)可以看出，最優(yōu)控制輸入可由協(xié)態(tài)變量初值完全確定。

2借力與優(yōu)化模型

2.1行星借力

(13)

設(shè)vbody為行星在日心黃道慣性坐標(biāo)系中的速度，在太陽帆飛越行星前后，相對行星的速度分別為：

(14)

(15)

(16)

在飛越前后，太陽帆相對于行星的速度大小滿足：

(17)

則當(dāng)進(jìn)行引力輔助時約束為：

(18)

(19)

引力輔助通過將相對速度矢量旋轉(zhuǎn)δ角度，可以張成錐形空間，使得軌道能量增加或減少(相對速度大小不變)。對于平面行星借力問題，可以將相對速度δ角度張成扇形空間處理。計算得到標(biāo)稱轉(zhuǎn)角δ，優(yōu)化轉(zhuǎn)角系數(shù)s，使得相對速度在扇形空間內(nèi)(實際轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角系數(shù)s與標(biāo)稱轉(zhuǎn)角δ乘積，-1≤s≤1)。

2.2太陽借力

太陽借力，又稱為太陽光壓輔助，是太陽帆獨有的動力學(xué)特性。根據(jù)太陽光壓加速度的計算公式(3)和式(4)，太陽帆獲得的光壓加速度與帆日距離平方成反比。對于星際飛行，從地球出發(fā)后先向內(nèi)飛靠近太陽，獲得巨大速度后逃逸出太陽系?？紤]到材料的耐熱性，太陽帆距離太陽限制在規(guī)定的距離以外。

rsail≥rmin

(20)

(21)

2.3全局優(yōu)化

太陽帆轉(zhuǎn)移軌道的初始條件為

(22)

終端約束條件為

(23)

其中：t0，tf分別為出發(fā)時刻和到達(dá)時刻；r0，rf分別為地球軌道半徑和最遠(yuǎn)飛行距離。要求太陽帆初始相位角與地球相位角相同θ(t0)=θ0，對終端時刻相位角沒有要求θ(tf)=free。

(24)

由式(8)可知，終端時刻并沒有對相位角進(jìn)行約束，則在時間區(qū)間[tga,tf]內(nèi)，相位角的協(xié)態(tài)變量滿足λ2=0。由式(8)和式(24)可以看出，在行星借力前的飛行時間區(qū)間[t0,tga]內(nèi)，相位角的協(xié)態(tài)變量同樣滿足λ2=0，即整個飛行區(qū)間[t0,tf]內(nèi)λ2=0，這樣就可以減少兩個優(yōu)化變量，使得優(yōu)化計算過程更順利進(jìn)行。

采用行星借力和太陽借力的太陽帆飛往太陽系邊緣的任務(wù)軌道在行星借力處分為兩段，行星借力認(rèn)為是瞬間完成，相當(dāng)于獲得速度增量。而行星借力和太陽借力的先后順序以及行星借力高度則是優(yōu)化結(jié)果。

行星借力時要求太陽帆和借力天體的日心位置相同，即

rsail(tga)=rbody(tga)

(25)

同時，考慮到太陽帆飛越行星時必須有距離行星表面的安全高度hmin，這里規(guī)定為500 km，則

(26)

其中：Rbody為行星的半徑。該約束為硬約束，構(gòu)造約束函數(shù)方法同式(21)。

為使優(yōu)化更容易，將行星借力約束和太陽借力約束轉(zhuǎn)化在目標(biāo)函數(shù)中，則太陽帆最優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)為：

(27)

將協(xié)態(tài)變量初值作為尋優(yōu)變量，從而太陽借力和行星借力組合的太陽帆轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個無約束多變量優(yōu)化問題，尋優(yōu)參數(shù)為：

Y=[t0t1tfsλ11λ13λ14λ21λ23λ24]T

(28)

其中：t0為太陽帆從地球出發(fā)所經(jīng)歷的時間，t1為從出發(fā)到借力時刻所經(jīng)歷的時間，tf為飛行總時間，s為轉(zhuǎn)角系數(shù)；λ11，λ13，λ14為第一段軌道的協(xié)態(tài)變量初值；λ21，λ23，λ24為第二段軌道的協(xié)態(tài)變量初值。

如圖1所示，主要討論從地球出發(fā)的太陽帆通過行星借力和太陽借力加速的時間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計，屬于四點邊值問題(Four-Point Boundary Value Problem, 4PBVP)，并且動力學(xué)模型復(fù)雜，用傳統(tǒng)方法求解存在難以收斂、對初值敏感或計算速度慢等缺點。針對這一問題，通過混合優(yōu)化算法來解決，即先采用遺傳算法獲得大范圍的粗略解形成太陽帆整體飛行軌跡，代入到序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming，SQP)算法中獲得高精度解以加強(qiáng)約束[13]。圖2是該套算法的流程圖。

圖1復(fù)雜約束的四點邊值問題Fig.1　4PBVP with complicated path constraints

圖2　算法流程圖Fig.2　Flow chart of algorithm

3算例與分析

為了便于同僅以太陽借力的太陽系逃逸任務(wù)軌道對比，仿真參數(shù)取自Leipold經(jīng)典文獻(xiàn)的算例[14]。太陽帆的特征加速度ac=0.75 mm/s2，對應(yīng)的太陽帆尺寸為160 m×160 m，總質(zhì)量為280 kg。特征加速度小于1 mm/s2，是目前國際上太陽帆能夠達(dá)到的制造技術(shù)水平。2000年左右，NASA提出星際探測器任務(wù)[15]，其太陽帆特征加速度選擇為3～4 mm/s2，屬于高性能太陽帆，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過當(dāng)今的制造技術(shù)水平。出發(fā)時雙曲超越速度C3=0 km2/s2，最小近日距離是0.1 AU，最遠(yuǎn)飛行200 AU，總飛行時間為21.2 h。圖3為該算例的軌道圖。

以下借力參數(shù)根據(jù)實際情況合理選取。太陽帆出發(fā)的窗口時間選擇在2020年1月1日00:00：00至2035年1月1日00:00：00，借力時間是第100至1000天，整個飛行時間從15年到25年(每年按365.25天算)。選擇借力天體為木星，木星的引力常數(shù)為1.266 87×108km3/s2，其半徑為71 400 km。出發(fā)天體為地球，按二體圓軌道進(jìn)行遞推。選擇歷元為MJD 54000時兩個天體的軌道根數(shù)，以此時長半軸為圓軌道半徑，以此時平近點角為相角，相應(yīng)軌道參數(shù)見表1。

圖3　Leipold文獻(xiàn)中的最優(yōu)太陽帆軌跡[14]Fig.3　Leipold’s optimal trajectory with dual solar photonic assist

行星長半軸/AU平近點角/(°)木星5.207048482836224.406064159641地球1.000840371998260.350295639764

采用MATLAB的ode113積分器，積分相對和絕對精度為1×10-10。經(jīng)過反復(fù)調(diào)試，在算法的最優(yōu)性和收斂性上做了平衡，遺傳算法的參數(shù)最終設(shè)定為種群代數(shù)為10，種群大小為10 000，交叉概率為0.8，精英解保持個數(shù)為2；SQP算法最終設(shè)定為迭代次數(shù)為10 000；目標(biāo)函數(shù)中最小近日不等式約束權(quán)重k1=1018，等式約束k2=103，借力天體徑向約束權(quán)重k3=102，相角約束權(quán)重k4=102，借力高度不等式約束k5=1018，終端最遠(yuǎn)距離約束k6=10，硬約束的權(quán)重遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軟約束。

仿真得到太陽帆出發(fā)時刻是2023年12月4日06：37：09，到達(dá)時刻是2041年05月10日18：10：58，借力飛行時間是第734.463天，總飛行時間是17.4年。太陽帆距離太陽最近為0.100 004 AU，最遠(yuǎn)飛行距離距日200.005 022 AU，解來出的初始值是Y=[1 036.981 672 586 412.634 310 670 6109.534 052 051 51.000 000 000 00.842 889 169 70.217 008 775 10.298 441 508 6-0.114 242 867 11.365 045 386 7-0.043 180 891 0]T。

圖4　太陽帆飛行至200 AU以遠(yuǎn)軌道圖Fig.4　Sailcraft interstellar trajectory beyond 200 AU

圖4為優(yōu)化得到的太陽帆飛行至200 AU以遠(yuǎn)軌道，可見算法優(yōu)化的結(jié)果是先進(jìn)行太陽借力，而后進(jìn)行行星借力。對比圖3和圖4，兩個軌道在進(jìn)行太陽借力軌道段是大致相同的，都是進(jìn)行了兩次太陽借力，本文給出的算法算例在太陽帆飛越木星時獲得借力，飛行方向發(fā)生明顯變化，比Leipold算例節(jié)省3.8年的時間正是木星借力的結(jié)果。

圖5　太陽帆控制角曲線圖Fig.5　Solar sail control angle curve

圖5是太陽帆控制角隨時間變化曲線。從圖5中可以看出太陽帆姿態(tài)角發(fā)生3次突變，第1次突變和第2次突變均是太陽帆姿態(tài)角從一個極限位置轉(zhuǎn)變到另一個極限位置。結(jié)合圖6太陽帆速度隨時間變化曲線，控制角第1次突變和第2次突變是太陽帆在其遠(yuǎn)日點進(jìn)行調(diào)整，第3次突變是由木星借力產(chǎn)生。從圖6看出，木星借力得到的速度增量將太陽帆加速(Δv=39.920 km/s)，并且使太陽帆速度方向偏轉(zhuǎn)43°。在獲得木星加速后，也就是距離太陽5 AU后，太陽帆所受光壓力很小，獲得加速也很小，拋掉太陽帆更有利于科學(xué)載荷開展工作(圖5和圖6由于后續(xù)曲線幾乎不發(fā)生改變，故只取前5年的變化曲線)。

圖6　太陽帆速度曲線圖Fig.6　Solar sail velocity curve

表2給出了借力時太陽帆與借力天體絕對差，反映太陽帆與借力天體交會時，兩者位置差是73 592 km，即借力高度是2192 km；并獲得了39.920 km/s的速度增量，相當(dāng)于8.421 AU/a，使得太陽帆絕對速度增加了1.857 AU/a。

表2　借力時太陽帆與借力天體絕對差

4結(jié)論

研究了太陽帆通過行星和太陽借力飛行至太陽系邊緣的軌道全局優(yōu)化問題，將復(fù)雜的四點邊值問題轉(zhuǎn)換為無約束的參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，通過合理地設(shè)計優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束參數(shù)，利用混合優(yōu)化算法，計算得到了滿足條件的組合借力逃逸太陽系軌道。仿真結(jié)果表明，雖然太陽帆通過太陽借力已獲得相當(dāng)大加速，但加上行星借力仍然可以節(jié)省相當(dāng)多的任務(wù)時間；到達(dá)木星軌道后，太陽帆所受光壓力很小，速度幾乎不再發(fā)生變化。該太陽帆軌道設(shè)計思路，可以為采用行星借力和太陽借力的軌道初步設(shè)計提供參考。

參考文獻(xiàn)(References)

[1]Quarta A A, Mengali G. Solar sail missions to mercury with venus gravity assist[J]. Acta Astronautica, 2009, 65(3-4): 495-506.

[2]Dachwald B. Optimal solar sail trajectories for missions to the

outer solar system[J]Journal of Guidance Control & Dynamics, 2004, 28(6):1187-1193.

[3]Leipold M. To the sun and pluto with solar sails and micro-sciencecraft[J]. Acta Astronautica, 1999, 45(4-9): 549-555.

[4]Matloff G L, Taylor T, Powell C, et al. Near term interstellar sailing, 20050204038[R]. New York, USA: NYC College of Technology, 2004.

[5]Vulpetti G. 3D high-speed escape heliocentric trajectories by all-metallic-sail low mass sailcraft[J]. Acta Astronautica, 1996, 39(1-4): 161-170.

[6]McInnes C R. Solar sailing: technology, dynamics, and mission applications [M]. London,UK: Springer Verlag, 1999, 112-151.

[7]Kim M. Continuous low-thrust trajectory optimization: techniques and applications [D]. Virginia,USA: Virginia Polytechnic Institute and State University, 2005.

[8]王松霞, 徐世杰, 陳統(tǒng). 太陽帆飛行器軌道動力學(xué)分析[J]. 中國空間科學(xué)技術(shù), 2006, 26(2): 30-37.

WANG Songxia, XU Shijie, CHEN Tong. Orbit dynamics analysis of solar spacecraft[J]. Chinese Space Science and Technology, 2006,26(2): 30-37. (in Chinese)

[9]Wie B. Thrust vector control of solar sail spacecraft[C]//Proceedings of AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit, San Francisco, California,USA, 2005.

[10]錢航, 鄭建華. 太陽帆航天器行星際軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化算法[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用, 2012, 38(1): 18-22.

QIAN Hang, ZHENG Jianhua. Optimization algorithm for interplanetary transfer trajectories of solar-sail spacecraft[J]. Aerospace Control and Application, 2012, 38(1): 18-22. (in Chinese)

[11]唐國金, 羅亞中, 雍恩米. 航天器軌跡優(yōu)化理論、方法及應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2011.

TANG Guojin, LUO Yazhong, YONG Enmi.Spacecraft trajectory optimization: theory, method and application[M]. Beijing: Science Press, 2011. (in Chinese)

[12]Bryson A E, Ho Y C. Applied optimal control: optimization, estimation, and control[M]. Waltham, Massachusetts,USA: Blaisdell Publishing Company, 1969.

[13]彭祺擘, 李海陽, 李楨, 等.從空間站出發(fā)的奔月軌道設(shè)計[J]. 國防科技大學(xué)學(xué)報, 2009, 31(2): 25-30.

PENG Qibo, LI Haiyang, LI Zhen, et al. Trans-lunar trajectory design of lunar probe launched from space station[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2009, 31(2):25-30. (in Chinese)

[14]Leipold M, Fichtner H, Heber B, et al. Heliopause explorer-a sailcraft mission to the outer boundaries of solar system[J]. Acta Astronautica, 2006, 59(8-11): 785-796.

[15]Liewer P C, Mewaldt R A, Ayon J A, et al. NASA′s interstellar probe mission[C]//Proceedings of EI-Genk, M.S.Space Technology and Applications International Forum, New York,American Institute of Physics, 2000: 911-916.

Global optimization of solar sail gravity assist and solar photonic assist trajectory for interstellar mission

QIANHang1,3,ZHENGJianhua1,LIMingtao1,LIHui2,GAODong1,YUXizheng1

(1. Key Laboratory of Electronics and Information Technology for Space Systems, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China；2. State Key Laboratory of Space Weather, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China；3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Abstract：With the goal of solar sail mission to near interstellar space (200AU) in 20 years, a global optimization problem of solar sail gravity assist and solar photonic assist trajectory for interstellar mission was studied. A mathematical model for solar sail time-optimal trajectory was established. By taking the constrains of solar sail gravity assist and solar photonic assist into the object function, the four-point boundary value problem of orbit optimization can be converted to multi-variable optimization problem of no constraint. With choosing appropriate constrain proportions, the problem was solved by using genetic algorithm and sequential quadratic programming method. Optimization result shows that plenty of time can be saved by adding Jupiter gravity assist, though solar sail gains a large velocity with solar photonic assist. The proposed global optimization algorithm will provide a reference for the preliminary design of solar system escape orbit.

Key words：interstellar flight; solar sail; gravity assist; solar photonic assist; global optimization of trajectory

中圖分類號：V423.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-2486(2016)01-137-06

作者簡介：錢航(1987—)，男，湖北黃岡人，博士研究生，E-mail：qianhang10@mails.ucas.ac.cn；鄭建華(通信作者)，女，研究員，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：zhengjianhua@nssc.ac.cn

基金項目：中國科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項資金資助項目(XDA04060303，XDA04076700)

*收稿日期：2015-01-19

doi:10.11887/j.cn.201601022

http://journal.nudt.edu.cn