帶隔板的矩形截面渡槽內(nèi)液體的晃動(dòng)特性

房忠潔， 周　叮， 王佳棟， 劉偉慶

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京　211816)

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帶隔板的矩形截面渡槽內(nèi)液體的晃動(dòng)特性

房忠潔， 周叮， 王佳棟， 劉偉慶

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京211816)

摘要：研究帶有剛性隔板的矩形截面渡槽中液體的微幅線性晃動(dòng)特性。將因隔板而導(dǎo)致的復(fù)雜液體域分割為若干個(gè)形狀簡單且邊界條件均一的子域，分別研究各子域內(nèi)液體運(yùn)動(dòng)的勢函數(shù)。利用疊加原理和分離變量法，導(dǎo)出每個(gè)子域內(nèi)液體速度勢的一般解。根據(jù)液體子域界面處速度和壓力的連續(xù)條件以及自由液面處的表面波條件，得到含有待定系數(shù)的級(jí)數(shù)方程。對(duì)方程作Fourier展開，即可求得液體的固有晃動(dòng)頻率和振型函數(shù)。

關(guān)鍵詞：剛性隔板；矩形截面；液體子域；廣義特征值；固有頻率；振型函數(shù)

渡槽是我國南水北調(diào)工程的重要渠系建筑物，在地震作用下，渡槽內(nèi)液體的晃動(dòng)會(huì)對(duì)槽體結(jié)構(gòu)造成嚴(yán)重的破壞。在我國，大多渡槽地跨地震高發(fā)的華北、西北地區(qū)，因此研究渡槽結(jié)構(gòu)的晃動(dòng)特性十分必要。工程中，常用防晃板來抑制液體的晃動(dòng)[1]，因此研究帶有隔板的渡槽的晃動(dòng)特性具有重要的實(shí)際意義。

研究渡槽的晃動(dòng)特性的方法通常有三種[2]：①Housner[3]提出的彈簧質(zhì)量模型，特點(diǎn)是物理概念明確且模型簡單，但槽身剛度較低時(shí)結(jié)果偏小，低估了水體的晃動(dòng)效應(yīng)；②Westergaard[4]提出的附加質(zhì)量模型，計(jì)算簡單方便且應(yīng)用廣泛，但忽略了流體的晃動(dòng)作用；③邊界元法[5]和有限元法[6]，能充分考慮流體的運(yùn)動(dòng)特征，適用于求解復(fù)雜域內(nèi)流體的晃動(dòng)問題，但對(duì)網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)算法有較高要求且計(jì)算量大。黃磊等[7]基于線性勢流理論，采用Galerkin展開求解自振頻率和速度勢函數(shù)，得到二維月池固有頻率和振型的半解析解，但到目前為止，還沒有人采用解析法來研究帶有隔板的渡槽晃動(dòng)特性問題。本文采用流體子域法[8-9]，假設(shè)液體為理想流體、自由表面做線性微幅晃動(dòng)，在隔板與渡槽均為剛性的條件下，將帶有隔板的矩形截面渡槽中的液體分為四個(gè)子域，利用疊加原理和分離變量法，分別求解每個(gè)子域內(nèi)液體的勢函數(shù)，然后將其帶入子域交界面及自由表面處的邊界條件確定未知系數(shù)，使問題得到解決。

1基本方程

將渡槽簡化成如圖1所示的無限長矩形儲(chǔ)液槽，設(shè)隔板、槽壁、槽底均為剛體，槽內(nèi)部分充有無粘、無旋、不可壓縮的理想流體。儲(chǔ)液槽的寬為B，自由液面的高度為H，隔板長度為a，隔板的高度為h，忽略隔板的厚度。如圖2所示，將液體分割成四個(gè)子域：Ωj(j=1,2,3,4)。設(shè)液體子域Ωj的速度勢函數(shù)為φj(x,z,t)，根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)的理論，理想流體的速度勢函數(shù)應(yīng)滿足以下Laplace方程[10]：

(1)

Ωj中任一點(diǎn)處的速度為：

(2)

由于槽體、隔板均為剛性，且液體表面做自由微幅晃動(dòng)，則φj(x,z,t)(j=1,2,3,4)在槽體、隔板以及自由表面處的邊界條件為：

(3)

(4)

(5)

圖1 帶剛性隔板的剛性矩形水槽截面Fig.1Rectangularrigidaqueductequippedwithabaffle圖2 流體子域以及子域間的界面Fig.2Liquidsub-domainsandartificialinterfacesofthesystem

將子域Ω1與Ω2交界面記作Γ1，子域Ω3與Ω4交界面記作Γ2，子域Ω2與Ω4交界面記作Γ3，子域Ω3對(duì)應(yīng)的自由液面記作S1，子域Ω4對(duì)應(yīng)的自由液面記作S2。

根據(jù)相鄰子域勢函數(shù)在子域交界面上的壓力連續(xù)條件得到：

(6)

(7)

2勢函數(shù)求解

當(dāng)液體自由晃動(dòng)時(shí)且自由表面做微幅波動(dòng)時(shí)，線性化后，液面上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以看作是簡諧振動(dòng)，顯然其速度勢也必是時(shí)間的簡諧函數(shù)，可將速度勢函數(shù)表達(dá)為[11]：

φj(x,z,t)=iωeiωtΦj(x,z)

(8)

將式(8)代入式(2)和(4)~(6)得到：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

從式(10)~式(14)可以看出，振型函數(shù)Φj的控制方程為二階線性偏微分方程，其邊界條件亦均為線性，顯而易見，可以利用疊加原理來求解Φj，每個(gè)子域的邊界條件可以分為兩類：齊次邊界和非齊次邊界。假設(shè)子域Ωj的非齊次邊界條件個(gè)數(shù)為Kj，于是設(shè)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

對(duì)于流體子域Ω2有：

(21)

對(duì)于流體子域Ω3有：

(22)

對(duì)于流體子域Ω4有：

(23)

為簡化分析過程，引入下列無量綱參量：

(24)

利用分離變量法，可以求得液體各子域速度勢的解：

(25)

(26)

(27)

Φ4(ξ,ζ)=A40+

(28)

(29)

式中：系數(shù)矩陣[D]、[K]和待定系數(shù){A}可寫成如下形式

3收斂性和比較研究

隔板長度與儲(chǔ)液槽內(nèi)液體的高度比分別為：β1=a/H=0.3,0.7。儲(chǔ)液槽的寬度與儲(chǔ)液槽內(nèi)液體高度比為：β=B/H=1。取兩個(gè)不同的隔板位置：α=h/H=0.6,0.8，考察10個(gè)不同的級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)數(shù)：7~16，計(jì)算前六階的晃動(dòng)頻率。

表1　隔板位置α=h/H=0.6時(shí)，的收斂性

表2　隔板位置α=h/H=0.8時(shí)，的收斂性

表3　本文方法求得的與無隔板矩形截面

從表3中的數(shù)據(jù)可以看出本文得到的解與無隔板矩形儲(chǔ)液槽的解析解非常接近，從而證明了本文方法的正確性和高精度。

4參數(shù)研究

將求得的系數(shù){A}代入式(25)~(28)，得到速度勢函數(shù)的振型Φj，將z=H代入Φ3和Φ4即得自由液面的振型函數(shù)Fn(n為對(duì)應(yīng)頻率的階次)。分別取四種不同的隔板長度：β1=0.2,0.4,0.6,0.8和兩個(gè)不同隔板位置：α=0.6,0.8，自由表面波高的前三階振型如圖5所示。從圖中也可以看出，當(dāng)隔板靠近自由液面時(shí)，隔板長度對(duì)晃動(dòng)模態(tài)的影響增大。

隔板長度分別取β1=0.4,0.8，隔板位置取α=0.8，第一階液體速度勢模態(tài)的分布如圖6所示。從圖中可以看出隔板上下液體速度勢的差別較大，說明隔板的存在對(duì)液體速度勢的分布有較大影響，隔板越長，隔板上部液體的速度勢越大。

圖3　β1=0.2,0.4,0.6,0.8時(shí)，隨α的變化曲線Fig.3 Sloshing frequencies (n=1,2)versus α for β1=0.2,0.4,0.6,0.8

圖4　α=0.2,0.4,0.6,0.8時(shí)，隨β1的變化曲線Fig.4 Sloshing frequencies (n=1,2)versus β1for α=0.2,0.4,0.6,0.8, respectively

圖5　β1=0.2,0.4,0.6,0.8時(shí)的自由液面波高振型Fig.5 Wave height modes on the free surface forβ1=0.2,0.4,0.6,0.8, respectively

圖6　β1=0.4,08時(shí)的液體速度勢的分布Fig.6 The distribution of liquid velocity potential functions forβ1=0.4,0.8, respectively

5結(jié)論

本文研究了帶隔板的矩形儲(chǔ)液槽內(nèi)液體的晃動(dòng)特性，文中假設(shè)隔板與儲(chǔ)液槽均為剛性，液體為理想流體。本文將流體劃分為若干子域，保證子域的每個(gè)邊界都有均一的邊界條件，利用勢函數(shù)疊加求得各子域振型函數(shù)的解析式，由邊界條件和表面波方程導(dǎo)出頻率方程。收斂性和比較研究證明了本文方法的正確性。

本文研究得到如下結(jié)論：隔板的存在總是降低液體的固有晃動(dòng)頻率，隔板越長，固有晃動(dòng)頻率越低；隔板越靠近自由液面，隔板長度對(duì)液體晃動(dòng)固有頻率和振型的影響越大。

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附錄

Sloshing characteristics of liquid in a rectangular aqueduct with baffle

FANGZhong-jie,ZHOUDing,WANGJia-dong,LIUWei-qing

(College of Civil Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China)

Abstract:The small amplitude sloshing of an ideal fluid in a rectangular rigid aqueduct with a rigid baffle was studied. The complicated fluid domain caused by the baffle was divided into several sub-domains with simple shape and uniform boundary conditions. The velocity potential functions corresponding to each fluid sub-domain were studied. The general expressions for the modal shape functions of sub-domains were analytically deduced by using the method of separation of variables based on the superposition principle. According to the continuous conditions of velocity and pressure at the interface between two sub-domains and the free fluid surface wave conditions, the unknown coefficients in the velocity potential solutions were uniquely obtained. The natural sloshing frequencies and modal functions were numerically determined by using the Fourier series expansion.

Key words:rigid baffle; rectangular aqueduct; fluid sub-domain; generalized eigenvalue; natural frequency; modal shape function

中圖分類號(hào):TU352

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.027

通信作者周叮 男，博士，教授，1957年5月生

收稿日期：2014-11-17修改稿收到日期：2015-02-10

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11172123)

第一作者 房忠潔 女，碩士生，1990年7月生