基于欠定系統(tǒng)局灶解法的逆合成孔徑雷達(dá)成像

江　東，童寧寧，馮為可，胡小偉

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 陜西 西安 715100)

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基于欠定系統(tǒng)局灶解法的逆合成孔徑雷達(dá)成像

江東，童寧寧，馮為可，胡小偉

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 陜西 西安 715100)

摘要:針對(duì)目前壓縮感知中常用的信號(hào)重構(gòu)算法普遍存在計(jì)算復(fù)雜、需要信號(hào)的稀疏度作為先驗(yàn)信息等缺陷的問題，提出了基于欠定系統(tǒng)局灶解法(Focal Undetermined System Solver, FOCUSS)的逆合成孔徑雷達(dá)(Inversed Synthetic Aperture Radar, ISAR)成像方法。該方法利用QR分解預(yù)處理共軛梯度法求解正則化FOCUSS算法中的線性方程組，在不需要先驗(yàn)信息的條件下進(jìn)一步提高算法收斂速度。仿真實(shí)驗(yàn)表明，利用基于QR分解預(yù)處理共軛梯度法改進(jìn)的正則化FOCUSS算法對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，既能獲得更加清晰的成像結(jié)果，又能進(jìn)一步提高運(yùn)算速度。

關(guān)鍵詞:壓縮感知；逆合成孔徑雷達(dá)；欠定系統(tǒng)局灶解法；信號(hào)重構(gòu)

0引言

高分辨雷達(dá)成像技術(shù)在目標(biāo)識(shí)別、航空管制等軍事和民用領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而要獲得高分辨的雷達(dá)圖像，通常需要采用大信號(hào)帶寬。但是瞬時(shí)帶寬大，對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)的A/D轉(zhuǎn)換速率及數(shù)據(jù)處理等有較高要求。近年來信號(hào)處理領(lǐng)域中提出的壓縮感知[1-4](Compressive Sensing，CS)理論指出，當(dāng)信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性時(shí)，通過求解一個(gè)最優(yōu)化問題，就可以依靠遠(yuǎn)低于Nyquist率所采集到的信號(hào)測(cè)量值實(shí)現(xiàn)信號(hào)的準(zhǔn)確或近似重構(gòu)。而對(duì)于ISAR成像而言，由于目標(biāo)強(qiáng)散射點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)小于采樣數(shù)，目標(biāo)回波滿足稀疏性的條件。因此，CS理論可以緩解直接對(duì)目標(biāo)回波進(jìn)行帶通采樣帶來的數(shù)據(jù)采集和存儲(chǔ)壓力，為高分辨雷達(dá)成像提供了一種新的途徑。

將CS理論應(yīng)用于雷達(dá)成像[5-6]的關(guān)鍵在于能否利用合適的重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的精確重構(gòu)。文獻(xiàn)[7—9]分別提出利用凸優(yōu)化、貪婪追蹤及其組合算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。凸松弛算法需要的測(cè)量數(shù)最少、精度高，但有繁重的計(jì)算負(fù)擔(dān)；貪婪追蹤算法運(yùn)算復(fù)雜度較低，但需要信號(hào)的稀疏度作為先驗(yàn)信息且抗噪能力較差。本文針對(duì)此問題，提出了基于欠定系統(tǒng)局灶解法(Focal Undetermined System Solver, FOCUSS)的逆合成孔徑雷達(dá)(Inversed Synthetic Aperture Radar, ISAR)成像方法。

1壓縮感知理論及FOCUSS算法基本原理

1.1壓縮感知理論

考慮一個(gè)有限長度的一維實(shí)值離散信號(hào)x∈RN×1,如果x可以表示為：

x=Ψα

(1)

式(1)中α為N×1維列向量，Ψ=[ψ1,ψ2…,ψN]，ψi為N×1維的基向量。如果x僅表示為K個(gè)基向量的線性組合，換句話說如果α中僅有K個(gè)元素不為零，其他的元素都為零時(shí)，則稱信號(hào)x是K-項(xiàng)稀疏的，或者稱信號(hào)的稀疏度為K。

壓縮感知理論指出，當(dāng)信號(hào)x在某一稀疏基ψ上是稀疏的，則可用一個(gè)與ψ不相關(guān)的M×N維觀測(cè)矩陣Φ(K

yM×1=ΦM×NxN×1=ΦM×NΨN×NαN×1

(2)

由式(2)易知，觀測(cè)值y的維數(shù)遠(yuǎn)小于x的維數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的壓縮采樣。

式(2)中α的求解可歸結(jié)為如下一個(gè)l1范數(shù)最小化問題

(3)

式(3)中，Γ=ΨΦ。

考慮到運(yùn)算復(fù)雜度和先驗(yàn)信息等問題，本文提出利用FOCUSS算法對(duì)式(3)中的最優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

1.2FOCUSS算法基本原理

FOCUSS算法又名欠定系統(tǒng)局灶解法，其實(shí)質(zhì)上是一種加權(quán)最小范數(shù)最小二乘法。FOCUSS算法利用后驗(yàn)知識(shí)，采用逐步迭代的方法，由前一次計(jì)算求得的迭代數(shù)據(jù)產(chǎn)生新的加權(quán)函數(shù)，利用新的加權(quán)函數(shù)求得迭代數(shù)據(jù)使得能量較上一步更為集中。FOCUSS算法的核心在于通過線性變換α=Wq將方程(4)轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)問題：

min‖q‖2s.t.‖y-ΓWq‖2=0

(4)

式(4)中，W表示權(quán)值矩陣，q表示約束最小解。

然后用拉格朗日乘子將約束最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為非約束問題：

(5)

式(5)中，λ為正則化系數(shù)，與噪聲水平有關(guān)。

再對(duì)C(q)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，從中求得q值為：

q=WHΓH(ΓWWHΓH+λI)-1y

(6)

將q值代入式α=Wq，得到：

α=WWHΓH(ΓWWHΓH+λI)-1y

(7)

將FOCUSS算法轉(zhuǎn)化為實(shí)際求解問題的迭代過程描述如下：

1)初始化

取α0=ΓHy作為迭代初始化值，αk-1為第k-1次迭代值，且αk-1=[αk-1(1),αk-1(2),…,αk-1(N)]T

2)計(jì)算權(quán)值矩陣Wk

(8)

3)迭代運(yùn)算

更新αk，即：

αk=WkWkHΓH(ΓWkWkHΓH+λI)-1y

(9)

4)如果αk滿足收斂條件，迭代停止，否則返回1)。

2基于改進(jìn)FOCUSS算法的壓縮感知ISAR成像

2.1改進(jìn)的FOCUSS算法

本文在深入研究線性方程組求解的預(yù)處理方法的基礎(chǔ)上，利用QR分解預(yù)處理共軛梯度法求解線性方程組對(duì)正則化FOCUSS算法進(jìn)行改進(jìn)，提高了算法收斂速度。具體實(shí)現(xiàn)過程如下：

1)初始化

取α0=ΓHy作為迭代初始化值，αk-1為第k-1次迭代值，且αk-1=[αk-1(1),αk-1(2),…,αk-1(N)]T

2)計(jì)算權(quán)值矩陣Wk

3)迭代運(yùn)算

①對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行近似分解。

根據(jù)矩陣分解理論，Ak能夠化成正交(酉)矩陣Qk和非奇異上三角矩陣Rk的乘積，即：

Ak=QkRk

(10)

②對(duì)線性方程組進(jìn)行預(yù)處理。

取預(yù)處理矩陣為QkRk，則Akbk=y等價(jià)為：

(QkRk)-1Akbk=(QkRk)-1y

(11)

對(duì)式(9)乘矩陣Rk-1得到：

(12)

③求解線性方程組

(13)

4)如果αk滿足收斂條件，迭代停止，否則轉(zhuǎn)到1)。

2.2基于FOCUSS算法的壓縮感知ISAR成像

設(shè)雷達(dá)發(fā)射脈寬為Tp，帶寬為B的線性調(diào)頻脈沖信號(hào)為

(14)

設(shè)目標(biāo)包含I個(gè)散射點(diǎn)，則目標(biāo)回波可以表示為：

(15)

式(15)中，δi為第i個(gè)散射點(diǎn)的散射強(qiáng)度，τim(tm)=2Ri(tm)/c為對(duì)應(yīng)散射點(diǎn)的時(shí)延，其中，Ri(tm)為tm時(shí)刻該散射點(diǎn)到雷達(dá)的距離，c為電磁波傳播速度。

設(shè)參考信號(hào)為：

(16)

式(16)中，τ0=2Rref/c為參考延時(shí)，Rref為參考距離。

采用Stretch處理，即回波信號(hào)與參考信號(hào)做差頻得

(17)

式(17)中，Δτim=τim-τ0。

由上式可知，Stretch處理后各散射點(diǎn)回波的相位為

(18)

設(shè)α為sif在頻域的稀疏系數(shù)，分別構(gòu)造離散傅里葉矩陣Ψ，由sref構(gòu)成的N×N對(duì)角矩陣Θ，即

(19)

(20)

其中m,n分別為元素在矩陣中的行、列序號(hào)，1≤m,n≤N。

則式(17)可表示為：

sif=ΘHsr=Ψα

(21)

由于ΘH=Θ-1，所以式(19)可表示為：

sr=ΘΨα=Dα

(22)

式中，D=ΘΨ。

由式(22)可得：

1)sr=Dα，即D為回波sr的稀疏基；

2)DHD=(ΘΨ)H(ΘΨ)=ΨHΘHΘΨ=I即D具有正交性。

因此，D為回波sr的正交稀疏基。

為了保證在觀測(cè)過程中不丟失重要信息，能準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號(hào)，觀測(cè)矩陣Φ和稀疏矩陣D需滿足不相關(guān)的要求，即觀測(cè)矩陣Φ需要滿足約束等距性準(zhǔn)則(Restricted Isometry Property, RIP)，實(shí)驗(yàn)證明，如隨機(jī)高斯矩陣、伯努利矩陣等隨機(jī)矩陣都能較好地滿足上述要求。文中采用的是隨機(jī)高斯矩陣。

(23)

它的優(yōu)點(diǎn)在于它幾乎與任意稀疏信號(hào)都不相關(guān)，因而所需的測(cè)量次數(shù)最小，但缺點(diǎn)是矩陣元素所需存儲(chǔ)空間很大。隨機(jī)高斯測(cè)量矩陣測(cè)量值的數(shù)目M須滿足：

M>cKlg(N/K)

(24)

其中c是一個(gè)很小的常數(shù)。

N維回波信號(hào)經(jīng)過隨機(jī)高斯測(cè)量矩陣Φ降維處理之后得到的M維觀測(cè)信號(hào)的過程可表示為：

yM×1=ΦM×NsrN×1=ΦM×NDN×NαN×1=ΓM×NαN×1

(25)

式(25)中α的求解可歸結(jié)為如下一個(gè)l1范數(shù)最小化問題

(26)

實(shí)際雷達(dá)回波信號(hào)通常是非理想稀疏或被噪聲污染的，重構(gòu)過程轉(zhuǎn)化為如下具有松弛約束的l1范數(shù)最小化問題：

(27)

式(27)中ε由回波數(shù)據(jù)中的噪聲量決定。

本文提出利用FOCUSS算法對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

以上討論主要是針對(duì)ISAR成像中距離向數(shù)據(jù)采集展開的，方位向可采用傳統(tǒng)FFT方法處理，也可采用CS方法處理。

3仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證文中方法的有效性和可行性，下面使用MATLAB語言進(jìn)行有關(guān)仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)雷達(dá)載頻為10GHz，帶寬為300MHz，脈寬為4μs，采樣頻率為300MHz，脈沖重復(fù)頻率為50Hz，距離向采樣點(diǎn)數(shù)N=1 200，方位向采樣點(diǎn)數(shù)M=250。設(shè)計(jì)一個(gè)具有5個(gè)強(qiáng)散射中心的模擬目標(biāo)，假設(shè)散射強(qiáng)度均為1 ，雷達(dá)與目標(biāo)中心距離為10 000m，散射點(diǎn)坐標(biāo)分別為(48，0)、(0，48)、(0，-48)、(-96,48)、(-96，-48)，其散射點(diǎn)分布及原始雷達(dá)回波信號(hào)波形如圖1、圖2所示。

圖1　仿真目標(biāo)散射點(diǎn)分布Fig.1　The scattering point of the target

圖2　原始雷達(dá)回波信號(hào)波形Fig.2　The waveform of original radar echo

轉(zhuǎn)臺(tái)模型中，目標(biāo)旋轉(zhuǎn)角速度為0.01rad/s，距離分辨率和方位分辨率均為1m，成像積累時(shí)間為5s，成像積累角度為0.05rad/s，用傳統(tǒng)RD算法成像結(jié)果如圖3所示。

圖3　FFT成像結(jié)果Fig.3　The image via FFT

對(duì)于ISAR成像，距離向采用CS方法，方位向既可采用傳統(tǒng)FFT方法也可采用CS方法進(jìn)行處理。為簡(jiǎn)化運(yùn)算，在本文中距離向采用CS方法，方位向采用傳統(tǒng)FFT方法。分別采用正則化FOCUSS算法和利用QR分解預(yù)處理共軛梯度法改進(jìn)的正則化FOCUSS算法進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。成像結(jié)果如圖4所示。

圖4　基于CS的成像結(jié)果Fig.4　The image via CS

通過對(duì)比圖3、圖4的成像結(jié)果可得，與傳統(tǒng)成像算法相比，基于CS的成像方法能夠利用較少的測(cè)量數(shù)據(jù)獲得聚焦質(zhì)量更好的圖像；特別是利用改進(jìn)的正則化FOCUSS算法的成像方法得到的結(jié)果更清晰。

此外，利用QR分解預(yù)處理共軛梯度法改進(jìn)的正則化FOCUSS算法，在不需要先驗(yàn)信息的條件下能進(jìn)一步提高算法收斂速度。本文通過對(duì)仿真過程的分析，在設(shè)定停止迭代誤差限值為1×10-10的情況下，得出了正則化FOCUSS算法和利用QR分解預(yù)處理共軛梯度法改進(jìn)的正則化FOCUSS算法停止迭代時(shí)所需迭代步數(shù)和迭代誤差。分析結(jié)果如表1所示。

表1　兩種方法的迭代步數(shù)和迭代誤差

從表1中可以看出：正則化FOCUSS算法需要較高的迭代次數(shù)才能夠滿足成像誤差的要求，而基于QR分解預(yù)處理共軛梯度法改進(jìn)的正則化FOCUSS算法僅僅經(jīng)過一步迭代，成像誤差便遠(yuǎn)小于設(shè)定值。因此基于QR分解預(yù)處理共軛梯度法改進(jìn)的正則化FOCUSS算法可以利用單步運(yùn)算的時(shí)間獲得很高的成像質(zhì)量，兼顧了單步算法和迭代算法的優(yōu)點(diǎn)，是一種快速而且高效的單步成像算法。

4結(jié)論

本文提出了基于FOCUSS算法的ISAR成像方法。該方法利用QR分解預(yù)處理共軛梯度法求解正則化FOCUSS算法中的線性方程組，在不需要先驗(yàn)信息的條件下進(jìn)一步提高算法收斂速度。仿真實(shí)驗(yàn)表明，利用基于QR分解預(yù)處理共軛梯度法改進(jìn)的正則化FOCUSS算法對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，既能獲得更加清晰的成像結(jié)果，又能進(jìn)一步提高運(yùn)算速度。

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ISAR Imaging Algorithm Based on Focal Undetermined System Solver Method

JIANG Dong, TONG Ningning, FENG Weike, HU Xiaowei

(Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi'an 710051, China)

Abstract:In order to solve the problems of the existing signal reconstruction methods which have more or less defects such as big amount of calculation and needing the signal sparseness as the prior information, an improved method of ISAR imaging algorithm based on focal undetermined system solver was proposed. Of this method, conjugate gradient scheme based on QR decomposition was used to solve the linear equations in regularized focal undetermined system solver (R-FOCUSS) method. Simulation results showed that it could obtain more clear imaging results and further improved the computing speed by using the improved method to reconstruct the received signal.

Key words:compressed sensing; inversed synthetic aperture radar; regularized focal undetermined system solver; signal reconstruction

中圖分類號(hào):TN95

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào)：1008-1194(2016)01-0099-05

作者簡(jiǎn)介:江東(1991—)，男，湖南常德人，碩士研究生，研究方向：雷達(dá)信號(hào)處理。E-mail:jd__283945288@163.com

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(61372166)；陜西省科學(xué)基金項(xiàng)目資助(2014JM8308)

*收稿日期:2015-09-17