基于壓縮感知的模擬信息轉(zhuǎn)換器仿真

周權(quán)+諶貴輝+李瑞+潘磊

摘 要：由于奈奎斯特采樣定理的限制，在對(duì)高頻率信號(hào)、大數(shù)據(jù)量、寬帶跳頻信號(hào)的采集時(shí)，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集技術(shù)面臨著巨大的挑戰(zhàn)。近年國(guó)際上提出的壓縮感知理論（Compressed Sensing）能有效緩解傳統(tǒng)數(shù)據(jù)采集的壓力，而以壓縮感知理論為基礎(chǔ)的模擬信息轉(zhuǎn)換器能直接對(duì)連續(xù)模擬信號(hào)以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率進(jìn)行采樣，最后通過相關(guān)的重構(gòu)算法對(duì)原信號(hào)進(jìn)行精確重構(gòu)。文中對(duì)壓縮感知理論及模擬信息轉(zhuǎn)換器理論進(jìn)行了介紹，并通過Matlab對(duì)模擬信息轉(zhuǎn)換器進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；模擬信息轉(zhuǎn)換器；正交匹配追蹤算法；Matlab

中圖分類號(hào)：TN957.52 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-1302（2015）07-00-02

0 引 言

現(xiàn)代技術(shù)的飛速發(fā)展導(dǎo)致數(shù)據(jù)量的急劇增多，傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理大大限制了數(shù)據(jù)的采集、存儲(chǔ)，及增加硬件的成本。根據(jù)傳統(tǒng)采樣方法，采樣速率要高于信號(hào)帶寬的兩倍及以上才能還原原信號(hào)，而在實(shí)際工程應(yīng)用中，常采用大于兩倍的采樣頻率。

近幾年出現(xiàn)了一種新的理論：壓縮感知（也稱壓縮采樣）[1]。該理論表明：如果信號(hào)是稀疏的，或者在某變換域下是稀疏的，則可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣來(lái)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行線性投影，然后對(duì)投影得到的測(cè)量值通過求解優(yōu)化問題，可高概率的實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)的重構(gòu)[2]。模擬信息轉(zhuǎn)換器是壓縮感知理論的實(shí)際應(yīng)用之一，使系統(tǒng)能夠以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率進(jìn)行采樣，經(jīng)過重構(gòu)算法，使采樣得到的信號(hào)能大概率的精確重構(gòu)。

1 壓縮感知理論原理

一長(zhǎng)度為N的實(shí)值有限長(zhǎng)一維離散信號(hào)x（x∈RN），RN空間里的任何信號(hào)都可以用基向量Ψ線性表示，則x可以表示為：

或者 x=θΨ （1）

其中θ=[θi]=[]為N×1的列向量。觀測(cè)值Y可以寫為：

Y=Φx=ΦΨθ=ACSθ （2）

式中ACS=ΦΨ=Θ稱為恢復(fù)矩陣[3]。

由于恢復(fù)矩陣ACS=ΦΨ=Θ是個(gè)M×N（M×N）的矩陣，方程Y=ACSθ為欠定方程組，方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，方程無(wú)確定解，無(wú)法重構(gòu)信號(hào)。為了保證從觀測(cè)值準(zhǔn)確重構(gòu)信號(hào)，觀測(cè)矩陣Φ需要滿足兩個(gè)條件限制[6]：

（1）觀測(cè)矩陣Φ和基矩陣Ψ之間的不相干性；

（2）RIP（有限等距約束）：對(duì)于任意K稀疏的信號(hào)x和常數(shù)δK∈（0，1），恢復(fù)矩陣Θ=ΦΨ滿足：

（3）

實(shí)際應(yīng)用中觀測(cè)次數(shù)M≥c·Klog（N/K），則構(gòu)建的觀測(cè)矩陣Φ在很大概率上同時(shí)滿足不相干性和有限等距約束條件。

2 模擬信息轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)模型

基于壓縮感知理論構(gòu)建模擬信息轉(zhuǎn)換器有兩個(gè)問題需要解決：

（1）壓縮感知理論的提出是針對(duì)于離散信號(hào)；

（2）從硬件上實(shí)現(xiàn)多維矩陣相乘運(yùn)算比較困難。

對(duì)于以上問題需要找到一種能從連續(xù)信號(hào)中得到離散信號(hào)的方法。由此Saini Kirolos等人提出了一個(gè)基于壓縮感知理論應(yīng)用于模擬信號(hào)處理的方案，即模擬信息轉(zhuǎn)換器（AIC）[4]。

假設(shè)模擬信號(hào)x（t）（t∈[0，T]）可由一些連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的字典中的有限個(gè)函數(shù)進(jìn)行線性表示：

（4）

αn是線性表示的系數(shù)，且αn中只有很少的幾個(gè)大系數(shù)，我們可以說x（t）是可壓縮的。表達(dá)字典中的函數(shù)ψn可能帶寬很大，但信號(hào)的自由度比較小，所以我們能以幾倍于信號(hào)的自由度進(jìn)行采樣，而不是以兩倍及以上信號(hào)帶寬的奈奎斯特采樣頻率進(jìn)行采樣。系統(tǒng)框圖如圖1所示[4]：

圖1 AIC系統(tǒng)框圖

AIC系統(tǒng)由調(diào)制、濾波、均勻采樣等三大部分組成，其中x（t）用偽隨機(jī)PN序列Pc（t）∈{-1，1}進(jìn)行調(diào)制，Pc（t）符號(hào)改變的速率必須大于奈奎斯特采樣頻率，調(diào)制的目的是為了后期的信號(hào)重構(gòu)提供必要的隨機(jī)性。調(diào)制后的信號(hào)通過低通濾波器濾波，濾波后的信號(hào)最后通過采樣速率為M的普通ADC進(jìn)行采樣。觀測(cè)值Y可以看為離散系數(shù)矢量α的線性變換，類似于離散信號(hào)的壓縮感知理論，其線性變換過程包含兩個(gè)過程：第一是離散矢量α被表達(dá)字典Ψ投影成模擬信號(hào)x （t）；第二是模擬信號(hào)x（t）被觀測(cè)矩陣Φ投影成離散矢量Y。系統(tǒng)輸出y[m]可以表示為：

（5）

將代入式（5）有：

（6）

假設(shè)θm，n∈Θ，則：

（7）

即有表達(dá)式：y=Θα。

此時(shí)，模擬信息轉(zhuǎn)換器模型與離散信號(hào)的壓縮感知理論達(dá)到了形式上的統(tǒng)一[5]。

3 模擬信息轉(zhuǎn)化器仿真結(jié)果

根據(jù)上一章所述的模擬信息結(jié)構(gòu)框圖及實(shí)現(xiàn)流程，采用原始信號(hào)x（t）由4種不同頻率的余弦波疊加，分別為50 Hz、100 Hz、150 Hz、200 Hz。PN序列采用9級(jí)寄存器產(chǎn)生。最后通過OMP算法進(jìn)行信號(hào)重建。通過Matlab進(jìn)行系統(tǒng)搭建與仿真，仿真結(jié)果如圖2所示。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)壓縮感知的基本理論進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹，分析了基于壓縮感知的一種應(yīng)用方法——模擬信息轉(zhuǎn)換器，并通過Matlab仿真證明了模擬信息轉(zhuǎn)換器在應(yīng)用中的可行性。在現(xiàn)實(shí)信號(hào)處理中有很多信號(hào)都具有稀疏性，壓縮感知理論利用信號(hào)的稀疏性大大降低了信號(hào)采集頻率，對(duì)高頻信號(hào)，寬帶跳頻信號(hào)等信號(hào)的采集及傳輸具有重要的意義。

參考文獻(xiàn)

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[2]石光明，劉丹華，高大化.壓縮感知理論及其研究進(jìn)展[J].電子學(xué)報(bào)，2009，37（5）：1069-1081.

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[4] Emmanuel J.Candes. The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J].Theory of Signals/Mathematical Analysis，2008，346（9-10）：589-592.

[5] KirolosS，RaghebT，LaskaJ，et al. Practical issues in implementing analog-to-information converters [J].The 6th international workshop on System-on-Chip for Real-Time Applications，2006：141-146.

[6] KIROLOS Sami， LASKA Jason， WAKIN Michael. Analog-to-information conversion via random demodulation [C]. 2006 IEEE Dallas/CAS Workshop on Design， Applications， Integration and Software. Dallas： IEEE， 2006： 71-74.