對(duì)形如sinA+sinC的式子取值范圍解法反思

施春輝

摘 要：在解三角形的知識(shí)背景下有一類(lèi)求解形如sinA+sinC取值范圍的問(wèn)題，它有幾種衍生類(lèi)型如求a+b，a2+b2，sin2A+sin2B的取值范圍，在這類(lèi)問(wèn)題解決過(guò)程中通行的思路，是將表達(dá)式統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成關(guān)于某個(gè)角的表達(dá)式. 但在處理過(guò)程要注意兩點(diǎn)，首先是要注意減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)；其次，是要注意確定代表元素的取值范圍.

關(guān)鍵詞：a+b；解題思想；解題方法

解三角形在高考中占據(jù)著非常重要的地位，是屬于B級(jí)的考查要求，其題目往往是簡(jiǎn)單偏中等難度的類(lèi)型. 而這類(lèi)題目恰恰是學(xué)生成績(jī)的基礎(chǔ)，在解三形的知識(shí)體系下，有一類(lèi)求解形如a+b取值范圍的題型，近些年來(lái)成為高考和各大市調(diào)研考試青睞的對(duì)象，值得花費(fèi)一番心思去構(gòu)建它的解題模型，形成固定解題程序，方便學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的操作.

見(jiàn)微知著：由一道高考題引發(fā)的思考

2015年湖南省高考理科卷第17題的一道解三角形簡(jiǎn)單的中檔題引發(fā)了筆者對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題的思考.

模型建構(gòu)：對(duì)形如sinA+sinC的題型的理論歸納

在實(shí)際的解題過(guò)程中學(xué)生可能遇到更多的類(lèi)似于sinA+sinC這樣的題型，比如cosA+cosB，a+b，更復(fù)雜點(diǎn)的有sin2A+sin2B，a2+b2等不同表現(xiàn)形式的問(wèn)題. 這些問(wèn)題都有一個(gè)共性：即它們都包含著兩個(gè)未知數(shù)，并且這兩個(gè)未知數(shù)可以通過(guò)三角形這個(gè)中介轉(zhuǎn)化成同一個(gè)角的三角函數(shù). 因此，這類(lèi)題型的最基本的解題思想，即利用解三角形的相關(guān)理論，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)確定角的取值來(lái)決定表達(dá)式整體的取值. 其具體模型概括如下：

（1）降低未知數(shù)的個(gè)數(shù)：對(duì)于直接給定正弦或余弦形的表達(dá)式，可以直接用三角形內(nèi)角和的關(guān)系來(lái)進(jìn)行角的替換，以此降低未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而對(duì)于給定邊的和或給定邊的平方和，首先需要用正弦定理將其轉(zhuǎn)化成角表達(dá)式，然后再將角替換，以此降低未知數(shù)的個(gè)數(shù).

（2）根據(jù)表達(dá)式的具體形式判斷是否需要用降冪公式，將表達(dá)式化成一次冪，對(duì)于平方和的形式往往需做這一步處理.

（3）確定作為未知元角的取值范圍：需要注意的是由于三角形三個(gè)內(nèi)角是相互限制的，因此確定未知元角的取值范圍時(shí)，應(yīng)當(dāng)用未知元角表示其他角，列出相應(yīng)不等式，取交集，以此共同限制未知元角的取值范圍.

（4）確定表達(dá)式的取值范圍：經(jīng)過(guò)變換后，表達(dá)式往往可以寫(xiě)成三角函數(shù)或以正弦（余弦）為內(nèi)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的形式，可根據(jù)確定好的角的取值范圍，求解表達(dá)的取值范圍.

實(shí)踐探索：解題程序在具體問(wèn)題中的運(yùn)用

解題模型的建構(gòu)僅僅是為學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題提供了一定的參考標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生真正的解決問(wèn)題能力還應(yīng)當(dāng)從解題的過(guò)程中展現(xiàn). 如以?xún)傻勒{(diào)研考試題目為案例具體說(shuō)明，解題模型在具體問(wèn)題中的運(yùn)用.

上述幾道例題雖然在難度上略顯簡(jiǎn)單，但卻貼近考試實(shí)際，也是形如sinA+sinC這種題型的典型例子：一種直接給予角的表達(dá)式；一種給予邊的表達(dá)式需要向角的表達(dá)式轉(zhuǎn)換.反思上述幾個(gè)例子我們可以從如下三個(gè)方面來(lái)解讀這一類(lèi)型的題目：首先，從題目的復(fù)雜程度上講，有關(guān)邊的和差表達(dá)式求取值范圍要更為復(fù)雜，解決過(guò)程中首先涉及邊向角的轉(zhuǎn)換，因此對(duì)思維上的要求也就更高；其次，從題目的本質(zhì)上講，無(wú)論是給關(guān)于角的表達(dá)式，還是給關(guān)于邊的表達(dá)求取值范圍，最本質(zhì)上是利用三角形內(nèi)角關(guān)系來(lái)限定代表元角的取值范圍，從而確定所求表達(dá)式的取值范圍；第三，觀察上述解題的第三步確定代表元的取值時(shí)，有時(shí)僅僅需要一個(gè)表達(dá)式就可限定代表元角，有時(shí)需要對(duì)三角形的所有內(nèi)角范圍均有限定，才能確定代表元，這是由題目中所給三角形的形狀所決定的，三角形的形狀不同時(shí)，三個(gè)內(nèi)角相互限制會(huì)導(dǎo)致代表元有不同的取值范圍.