結(jié)論非王道，解題需靈活

蔣紅雅

摘 要：數(shù)學(xué)是有規(guī)律的，它往往可以分門別類，可以歸納結(jié)論；數(shù)學(xué)是靈動(dòng)的，它往往變動(dòng)不居，需要領(lǐng)悟真諦.數(shù)學(xué)教學(xué)中教師們往往對結(jié)論歸納甚為上心，學(xué)生們往往對結(jié)論應(yīng)用樂此不疲. 但這卻不能真正欣賞數(shù)學(xué)的美麗，因?yàn)榻Y(jié)論應(yīng)用只是虛有其表，領(lǐng)悟真諦才是王道.

關(guān)鍵詞：結(jié)論；靈活；對比；矛盾；反思

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門具有規(guī)律性的學(xué)科，它所包含的種種問題往往可以分門別類，對于每一類的問題通常會(huì)存在一個(gè)與之對應(yīng)的結(jié)論，這給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了方便：學(xué)生解題時(shí)，往往是結(jié)論的套用. 但事實(shí)是，這樣的教學(xué)是死板的，缺乏靈動(dòng)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)的美麗就在于它的靈動(dòng)性.每道題看似與一個(gè)結(jié)論對應(yīng)，但它卻有自己的特殊性，死套結(jié)論只能解決一些問題，卻不能領(lǐng)略數(shù)學(xué)的真諦. 文章以一道恒成立問題及其變式的解題反思來論證：結(jié)論非王道，解題需靈活.

對比：結(jié)論增加難度，本質(zhì)輕松化解

眾所周知，在數(shù)學(xué)中有一類恒成立的問題，針對不同的表達(dá)形式，可以分割成好幾類：有函數(shù)與參數(shù)比較大小恒成立的，有函數(shù)與函數(shù)比較大小恒成立的. 每種類型問題下都有與之對應(yīng)的結(jié)論，例如：函數(shù)與參數(shù)比較恒成立的結(jié)論就有：“若g（x）>k在x∈H上恒成立，則g（x）min>k”；若g（x）﹤k在x∈H上恒成立，則g（x）max

反思：反觀上述解題過程，其復(fù)雜程度可見一斑：首先，它利用知識點(diǎn)交叉綜合使用，題目綜合運(yùn)用了分類討論、參變分離、求導(dǎo)等數(shù)學(xué)方法；其次，也是更重要的一點(diǎn)是，此法用了高中內(nèi)容不要求的二次求導(dǎo). 顯然，這并不是一般學(xué)生所能接受的.

部分的圖象，而y=kx是一條過原點(diǎn)的直線，所以只需保證在[0，1]上y=kx圖象在y=sin圖象下方即可.

通過圖象可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線位于k位置（直線位于二、四象限）時(shí)成立，當(dāng)直線轉(zhuǎn)動(dòng)到一、三象限時(shí)，直線k2（斜率為1）是臨界位置，超過此位置直線會(huì)存在處于三角函數(shù)上方的部分，因此直線k的取值范圍為k≤1.

反思：通過數(shù)形結(jié)合，將符號表達(dá)式轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的位置關(guān)系，是抓住了本問題的實(shí)質(zhì)，從計(jì)算量看，數(shù)形結(jié)合比較結(jié)論計(jì)算少得太多，而這恰恰應(yīng)當(dāng)是問題計(jì)算本然的面貌. 因此不是本質(zhì)減少了計(jì)算量，而是結(jié)論增加了復(fù)雜性.

矛盾：結(jié)論陷入圍城，真諦與之解圍

透過上述例題可以發(fā)現(xiàn)，生硬的套用結(jié)論增加了問題的難度，而有時(shí)生硬的套用結(jié)論還會(huì)將結(jié)論關(guān)入圍城，讓問題與結(jié)論產(chǎn)生“沖突”. 例如上述例題僅僅需要將不等號的方向轉(zhuǎn)換一下，恒成立的結(jié)論就不再適用了.

例 當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式sin≤kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是多少？

相似的題目，相似的思路，在解決問題時(shí)，按照結(jié)論的套路：

①當(dāng)x=0時(shí)，k∈R.

②當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，轉(zhuǎn)化為：k≥，可記f（x）=，即求k≥f（x）max，根據(jù)上述解題過程不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，而函數(shù)f（x）=在零處無意義，無法取得最大值. 在高中學(xué)生現(xiàn)有的知識范圍內(nèi)，結(jié)論就與問題產(chǎn)生了矛盾：要求k不小于函數(shù)的最大值，而函數(shù)的最大值卻不存在.

其實(shí)，求函數(shù)f（x）最大值的實(shí)質(zhì)是高等數(shù)學(xué)中，這是一種求型的極限值，其處理方式是洛必達(dá)法則，對分子、分母同時(shí)求導(dǎo)即==，所以k≥f（x）max=. 那么就帶來一個(gè)問題，高中生未學(xué)過洛必達(dá)法則，那么按照恒成立的結(jié)論來處理勢必會(huì)走進(jìn)死胡同，無法求解.

在結(jié)論無法問題一個(gè)明確的解釋時(shí)，讓我們再次梳理一下題目，其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)，問題的本質(zhì)其實(shí)是要求在[0，1]上y=kx圖象恒在y=sin圖象上方的直線斜率的取值范圍. 由圖象可知，當(dāng)直線位于k1位置時(shí)，k≤的臨界位置，當(dāng)直線繼續(xù)繞著原點(diǎn)向上轉(zhuǎn)會(huì)出現(xiàn)k≥的臨界位置，即直線與三角函數(shù)相切時(shí)，過曲線上一點(diǎn)的直線與曲線相切，顯然這點(diǎn)為切點(diǎn)，（0，0）即為切點(diǎn). 對f（x）求導(dǎo)，可得f ′（x）=cosx，則f ′（0）=. 所以k≥.

對比兩種方法，在結(jié)論的生硬套用過程中，結(jié)論讓學(xué)生陷入思維的困境，而不得不借助于高等數(shù)學(xué)中的知識才能解決，但在實(shí)際教學(xué)中，除了頂尖的學(xué)校中會(huì)將一些高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容下放高中學(xué)習(xí)，這就失學(xué)習(xí)失去了平等性. 但如果學(xué)生在解題過程中不拘囿于結(jié)論，通過已有知識來認(rèn)清問題實(shí)質(zhì)，其實(shí)可以通過圖象的關(guān)系來輕松克服問題. 這恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦，也是數(shù)學(xué)靈動(dòng)的美麗.

反思：結(jié)論乃非王道，解題尚需靈活

在教學(xué)中人們常說：教學(xué)有法，但無定法，貴在得法，將這句話借用到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，筆者想說：數(shù)學(xué)有法，但無定法，貴在得法. 這就是說數(shù)學(xué)中的確存在著一定的規(guī)律性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)可以遵守它，但數(shù)學(xué)又是靈活的，學(xué)習(xí)時(shí)不能死抱結(jié)論，需要掌握它的本質(zhì).

再次審視上述“特例”，其實(shí)也再次佐證了這種說法：題目是活的，結(jié)論是死的，生硬的套用往往會(huì)將問題復(fù)雜化，甚至?xí)呦蛎芑? 對此教師和學(xué)生均需要反思. 從教師層面來講：在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)過程中，很多老師往往熱衷于將每一單元中的知識點(diǎn)分割為幾種類型來歸納相對應(yīng)的結(jié)論，但上述論證說明了結(jié)論乃非王道，因此教學(xué)過程中，教師不應(yīng)當(dāng)熱衷于機(jī)械地將知識點(diǎn)歸納為幾種特殊的類型，數(shù)學(xué)的規(guī)律是應(yīng)當(dāng)認(rèn)識的，但不是在結(jié)論的總結(jié)中認(rèn)識，而應(yīng)當(dāng)在教學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的真諦中傳授；從學(xué)生層面上講：在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程里，很多學(xué)生在思想中固執(zhí)地認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實(shí)很簡單，只需將老師歸納好的結(jié)論記住，在具體的問題情境中遷移即可，但上述論證充分說明了學(xué)生的解題尚缺靈活性，機(jī)械套用結(jié)論，有時(shí)候會(huì)將自己、結(jié)論和問題都逼進(jìn)死胡同，結(jié)論是可以用的，但不是機(jī)械運(yùn)用，它是建立在你真正認(rèn)識問題的本質(zhì)基礎(chǔ)上的運(yùn)用.

總之，我們的結(jié)論是：結(jié)論乃非王道，解題尚需靈活.